備戰(zhàn)中考數學行四邊形培優(yōu)易錯難題練習(含答案)附詳細答案一、平四邊形1．如圖，四邊形中對角線AC、相于點O，=BODO，ABCADC．（）證：四形ABCD是形．（）若ADF：FDC：，，求BDF的數．【答案】見析；（）18°.【解析】【分析】（）據平行邊形的判定得出四邊形ABCD是行四邊形，求出ABC=90°，據矩形的判定得出即可；（）出FDC的數，根據三角形內角和定理求DCO根據矩形的性質得出OD=OC，求出，可求出答案．【詳解】（）明，四形是行四邊形，ABC=ADC，ABC+ADC=180°，ABC=，四形是形；（）：ADC=90°ADF：FDC=3：，FDC=36°，AC，DCO=90°﹣，四形是形，OC=OD，ODC=54°BDF=ODC﹣FDC=18°．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．2．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中O為角線BD的中點，過點的線EF分交，于E，兩，連結BE，．

（）證eq\o\ac(△,)DOEBOF．（）當DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由．【答案】（）明見解析；2）DOE=90°時，四邊形為形，理由見解析【解析】試題分析：1）用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法得eq\o\ac(△,)DOE（）（）先利用組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是行四邊形，進而利用垂直平分線的性質得出BE=ED，可得出答案試題解析：1）在ABCD中，為對角線BD的點，，EDB=，eq\o\ac(△,)EOD和FOB中，DOEBOF（）（）當DOE=90°時四邊形BFDE為形，理由：DOEBOF，OE=OF又，四邊形EBFD是行四邊形，，，四形BFDE為菱形．考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．3．如圖，四邊形ABCD中，，，，點為CD的中點，射線BE交AD的延長線于點，連接CF．（）證：四形是形；（）AD=1，，求的長．【答案】（）明見解析223【解析】（）AF，=，=BFD，

點E為的點，=，FBCBFDeq\o\ac(△,)BCEeq\o\ac(△,)FDE中CDF

，

DEBCE，DF，又DFBC，四形BCDF為行四邊形，BDBC，四形BCFD是菱形；（）四形BCFD是菱形，BDDF=BC，，在eq\o\ac(△,)中，ABADAF=AD+，在eq\o\ac(△,)中，BF

AB2AF

2

=23．4．在正方形中點E，分在邊BCCD上，且EAF=CEF=45°.(1)eq\o\ac(△,)繞點順時針旋轉90°，eq\o\ac(△,)如①)求證eq\o\ac(△,)AEGAEF；(2)若線EF與AB，的延長線分別交于點M如②，證：EF+NF

；(3)將方形改為長與寬不相等的矩形，若其條件不(如③，請你直接寫出線段，BE，之的數量關系【答案】（）明見解析；2）明見解析；）EF=2BE+2DF.【解析】試題分析：1）據旋轉的性質可知AF=AGGAE=45°，可eq\o\ac(△,)AEGAEF（）eq\o\ac(△,)繞點A順針旋轉90°得eq\o\ac(△,)ABG，連結GM．由（）AEGAEF，則．eq\o\ac(△,)BMEeq\o\ac(△,)、CEF均等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，，然后證明GME=90°，，用勾股定理得出2，等量代換即可證明=ME2+NF；（）eq\o\ac(△,)繞點A順針旋轉90°得eq\o\ac(△,)ABG，根據旋轉的性質可以得到ADFABG則DF=BG，證eq\o\ac(△,)AEF得出EG=EF，，量代換得到EF=BE+DF．試題解析：1）繞著點順時針旋轉，得eq\o\ac(△,)，AF=AG，EAF=45°，，eq\o\ac(△,)與AFE中，

，AFE（）（）正方形的長．eq\o\ac(△,)繞著點順針轉，eq\o\ac(△,)ABG連結．eq\o\ac(△,)ABG．由（）eq\o\ac(△,)，．CEF=45°，BMEeq\o\ac(△,)、CEF均等腰直角三角形，CE=CF，，NF=﹣BE=a﹣，BE=DF，BMG=45°，GME=45°+45°=90°，2=ME2，

，，MG=+NF2；

BM=DF=NF（）2=2BE+2DF2．如圖所示，延長交AB延線于M點，交AD延線于N點eq\o\ac(△,)繞著點順針轉，eq\o\ac(△,)AGH，結HM，．由（）eq\o\ac(△,)AEF則由勾股定理有GH+BE）=EH2，即（GH+BE）+BM﹣）=EH

2又，BE=BM，以有（）+（﹣GH）=EF，

即2（2+BE

）2考點：四邊形綜合題5．圖1、2是張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點．（）圖1中出等腰直角三角形MON，使點N在格點上，且；（）圖2中格點為頂點畫一個正形，正形面等于（）等腰直角三角形MON面的4倍，并將正方形分成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面沒有剩余（畫出一種即可）．【答案】（）圖參見解析；2作圖參見解析【解析】試題分析：1）點O向線段OM作線，此直線與格點的交點為N連接MN即；（）據勾股理畫出圖形即可．試題解析：1）點O向線段OM作線，此直線與格點的交點為N連接MN，如圖1所示；（）腰直角角形面積是5，此正方形面積是，如圖所示；于是根據勾股定理畫出圖：

1111111111111111111111111考點：作圖﹣用與設計作圖勾定.6．如圖，在平面直角坐標系中，直線DE交x軸點（0）交y軸點D（，40）直線：＝

+5交x軸點A，交軸點，交直線于P，過點作⊥軸交直線于，EF為邊向右作正方形EFGH．（）邊EF的；（）正方形EFGH沿線FB的方向以每秒個位速度勻速平移，得到正方形FG，在平移過程中邊FG始終與軸直，設平移的時間為秒（t＞）．①當移到點時，求的；②當GH兩點中有一點移動到直線DE上，請直接寫出此正方形EFGH與重疊部分的面積．【答案】（）15；（）；②120【解析】【分析】（）據已知（，）點D0，），求出直線的線解析式y=-

x+40，求出P點坐標，進而求出F點標即可；（）易求B（，），當點移到點時，t=101010=10；②F點動到F'的離是10，垂x軸向移動的距離是，點H運到直線DE上時，在eq\o\ac(△,)F'NF中

1MH4=，eq\o\ac(△,)中EM

，

t=4，

×(12+)×11=

；當點G運動到直線DE上，在eq\o\ac(△,)F'PK中

1=，F3PK=t-3，，eq\o\ac(△,)PKG'中

t＝＝，，（15-7=120.KG3【詳解】（）直線DE的線解析式y＝kx+b將點，），點D（，），

k，b

，y＝

x+40，直線AB與直線DE的交點P，），由題意知F（，），＝；（）易求B（，），BF＝當1

10，移動到點時＝101010＝；②當運動到直線DE上時，F點移動的距離是t，在eq\o\ac(△,)F'NF中，

NF1=，NF3FN，＝3t，MH'＝＝，EM＝＝﹣＝﹣，在eq\o\ac(△,)DMH'中MH4EM3

，

tt3

，t＝，＝3MH'＝，＝)當點運到直線DE上，

；F點移動的距離是t，＝

10，PF'10

﹣，在eq\o\ac(△,)F'PK中PKF3

，PK＝3，＝﹣，在eq\o\ac(△,)PKG'中

PKt＝＝，tt＝，＝﹣7120.【點睛】本題考查一次函數圖象及性質，正方形的性質；掌握待定系數法求函數解析式，利用三角形的正切值求邊的關系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯系，準確確定陰影部分的面積是解題的關鍵．7．菱形中、BAD＝，O為線上動點，作射線與直線相交于點，射線OM繞點O逆時針旋轉60°，到線ON，線ON與線相交于點．（）圖，點O與重時，點E，分在線段BC，上，請直接寫出，，CA三條段段之間的數量關系；（）圖，點O在的長線上，且OA＝

，，分在線段的延長線和線段CD的長線上，請寫出，CFCA三線段之間的數量關系，并說明理由；（）O在段上若＝6，BO＝7，CF1時請直接寫出BE的．

【答案】（）．（）CF-CE=

AC．（）的為或或．【解析】【分析】（）圖中，結論：CA=CE+CF．要證eq\o\ac(△,)ACE（）可解決問題（）論：

AC．如圖中，如圖作AD交于，eq\o\ac(△,)是等邊三角形．只要證eq\o\ac(△,)（）可解決題；（）四種情畫出圖形分別求解即可解決問.【詳解】（）圖中，結論：CA=CE+CF．理由：四形是形BAD=120°，BAC=DAC=60°，ACD都等三角形，DAC=EAF=60°，，CA=AD，ACE=60°ADFACE（），，．（）論：

AC．理由：如圖中如圖作AD交于，eq\o\ac(△,)OGC等邊三角形．

FOE=60°，FOG=EOC，OG=OC，，FOG（，，OC=OG，CA=CD，，CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+

AC=AC（）BHAC于H．AB=6，，如圖中當點在線段AH上，點在段CD上點E在段BC上．7，

OB

2

BH

2，OC=3+1=4，由（）知，OC=4CF=1，，BE=6-3=3．如圖中當點在線段AH上，點在段DC的長線上點在段BC上．

由（）知CE-CF=OC，，．如圖中當點在線段CH上點F在段CD上，點E在線段BC上時．同法可證：，，CF=1，，BE=6-1=5．如圖中當點在線段CH上點F在段DC的延長線上，點在線段BC上．同法可知：，，，綜上所述，滿足條件的的為3或5或．

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．8．（）圖1，矩形折疊，使落對角線BD上折痕為BE，落在點∠ADBo，DBE的數為_____o.（）明手中一張矩形紙片

ABCD

，，

AD

.（畫一畫）如圖，點在張矩形紙片的邊AD上將紙片折疊，使落在

所在直線上，折痕設為

MN

（點M

，

分別在邊，

上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕

（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖，點F在張矩形紙片的邊

BC

上，將紙片折疊，使FB落射線上，折痕為

GF，A,B分落在點

，

處，若

AG

，求

長【答案】（）；2）一；見解析；算一算：

B【解析】【分析】（）用平行的性質以及翻折不變性即可解決問題；（）畫一畫，如圖中延長BA交的延長線由G，的平分線交AD于M，BC于，線即所求；【算一算】首先求出GD=9-

，由矩形的性質得出BC，，平線的性質得出DGF=，由翻折不變性可知BFG=DFG，證出DFG=，等腰三角形的判定定理證出DF=DG=

，再由勾股定理求出CF，可得BF，利用翻折不變性，可知FB′=FB，此即可解決問題．

【詳解】（）圖1所：四形是形，，ADB=，由翻折的性質可知，DBE=EBC=故答案為．（）畫一畫如圖所示：

，【算一算】如所：AG=

，，GD=9-

，四形是形，，BC=AD=9，DGF=，由翻折不變性可知，BFG=DFG，DFG=，

22

，CD=AB=4，在eq\o\ac(△,)CDF中由勾股定理CF=

DF

2

CD

2

2

，BF=BC-CF=9

11

，由翻折不變性可知，FB=FB

，′D=DF-FB′=

.【點睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用翻折不變性解決問題．9．如圖，正方形ABCD中，AD=6，點是對角線BD上意一點，連接，過P作PE交直線AB于．（）求：PC=PE;（）延AP交直線CD于點F.①如2，點F是CD的中點，eq\o\ac(△,)APE的積；②若ΔAPE的面積是

，則DF的長為（）如3，在AB上連接EC交BD于M,作E關BD的對稱點，接，，過點P作PNCD交EC于點，接QN，，MN=面積是

2

，則MNQ的【答案】（）；（2），或；）【解析】【分析】

（）用正方每個角都是90°對角線平分對角的性質，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，等角對等邊等性質容易得;（）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的高，由面積法容易求出這個高的從而得eq\o\ac(△,)PAE的和，并求出面積第2小思路一樣，通過面積法列出方程求解即;（）據已經件證eq\o\ac(△,)是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面.【詳解】(1)證：點P在對角線BD上，ADPPE，EPB+EBP+EPB=45°+90°-BPC=135°-BPC,＝∠DCP=BPC-PDC=BPC-45°,BPC-45°)=BPC,PAE,PC=PE;（）如圖，過點分別作PHAD,PG垂分別為H、延長交AB于點M.四形是方形，在對角線上，四形是方形，AB,設PH=PG=a,F是CD中點6，FD=3,SADF

=9,SADFADPnDFP

=

ADDFPG

,

,解a=2,又PA=PE,

APE

=

,②設HP＝由可

a3a3

APE

=

b6

,解得b=2.4或3.6SADF

=

S

DFP

=

ADDFPG

,

1DFDF22

,當b=2.4時，；當＝時，DF＝即DF的為4或9;（）圖，EQ關BP對，1＝22+3＝4,易eq\o\ac(△,)PNQPNC,6,7=8,EM=QM,NQ=NC,7=90°,MNQ是角三角形,設列程組73

,可得

ab=,

S

VMNQ

,【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵要注意運用數形結合思.

10．圖，現將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B′與CD交于點．（）證eq\o\ac(△,)AED；（）點作AC交AB于F，連接CF判斷四邊形AECF的形狀并給予證明．【答案】（）解析（2見解析【解析】【分析】（）題意可，B=D=B'且，用AAS證全等，則結論可得；（）eq\o\ac(△,)CEB可得，且EF，根據等腰三角形的性質可得EF垂平分AC，AEF=CEF．AF=CF，AFE=AEF可得AE=AF，可證四邊形AECF是形．【詳解】證明：1）四形ABCD是行四邊形＝，，＝平四邊形沿對角線AC折BC＝B'C，＝B'＝B'＝且DEA＝B'ECB'EC（）邊形AECF是菱形B'EC＝＝，EFAC垂平分，＝CEF＝CDCEF＝EFA且＝CEFAEF＝EFA＝＝＝＝四形AECF是形【點睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，菱形的判定，熟練掌握這些性質和判定是解決問題的關鍵．

11．圖1，形中，，；E是角BD上動點，連接CE作EFCE交AB邊于點，CE和為邊作矩形CEFG作其對角線相交于點．（）如圖，當點與點B重時CE=

，

；②如3，點E是BD中點時，

，

；（）圖1，接，矩形CEFG隨點E的動而變化時，猜eq\o\ac(△,)EBG的狀？并加以證明；（）圖1，

CGCE

的值是否會發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由；（）圖1，DE的為，矩形CEFG的積為，求關x的數關系式，直接寫出x的取值范圍．18【答案】（），，，；（eq\o\ac(△,)是角三角形，理由詳見解析；3）；（）x﹣x+48≤x）5【解析】【分析】（）利用面積法求出，再利用勾股定理求出EF即利用直角三角形斜邊中線定理求出CE，再利用相似三角形的性質求出即；（）據直角角形的判定方法：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形即可判斷；（）要證eq\o\ac(△,)，可解決問題；（）用相似邊形的性質構建函數關系式即可；【詳解】（）如圖中，在eq\o\ac(△,)中

AD

AB=10，

eq\o\ac(△,)BCD

=

1?CD?BC=?BD?CE2CE=

18．6)=

．②如3中，過點E作MNAM交AB于，交CD于MDE=BECE=

BD=5，CME△ENF，

CMENEF

，CG=EF=

154

，（）論eq\o\ac(△,)是角三角形．理由：如圖1中連接BH．在eq\o\ac(△,)BCF中，，，四形EFGC是形，，EBG是直角三角形．（）如1中，，CE、、G五點共圓，，EBF，CDAB，CDE，

ABCD=ABCD=DCB=ECG=90°，DCE=BCG，△，

6DC8

．（）（）可知：CGCDCECB4

，矩CEFG形ABCD，

SS

矩形EFG矩形ABCD

CE2CD64

，

CE

=（

24-x）+），=48，5S

CEFG

[（）（）5矩CEFG的積S=x-x+48≤x）．【點睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形的判定和性質、相似多邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．12．明在矩形紙片上畫正角形，他的做法是對矩形紙片使AB與DC重，得到折痕EF，紙片展平；沿折痕BG折紙片，使點C落EF上的點P處，再折出PB，后用筆畫eq\o\ac(△,出)PBC(1)．（）證：圖中的

是三角形：（）圖2，明在矩形紙HIJK上又畫了一個正三角形，中，且HM=JN．①求：IH=IJ②請出NJ的；（）明發(fā)現在矩形紙片中，若一邊長為，當另一邊的長度變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據小明的發(fā)現，畫出不同情形的示

意圖作工具不限，能說明問題即)，直寫出對應的a的取值范圍．【答案】（）明見解析；2）證見解析②12-63（）3＜＜，＞43【解析】分析：1）折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC，，出PB=PC=CB可；（）利用“HL證eq\o\ac(△,)IHMeq\o\ac(△,)IJN即可得；②IJ上一點，使QI=QN，由eq\o\ac(△,)IHMeq\o\ac(△,)IJN知HIM=，繼而可得，NJ=x，、QJ=x，據IJ=IQ+QJ求即得；（）等邊三形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可．（）明①對矩形紙片ABCD(AB>BC)，與DC重合，得到折痕EFPB=PC沿痕BG折紙片，使點落在EF上的點P處PBC是三角形：（）明①圖矩AHIJH=J=90°是邊三角形在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)JNI中

MININJeq\o\ac(△,)MHIeq\o\ac(△,)JNI（）HI=IJ②在段上點，eq\o\ac(△,)IHMeq\o\ac(△,)IJN，

JIN，、，，由QI=QN知，NQJ=30°設，則IQ=QN=2x，QJ=QN

3x，IJ=6cm，

3x=12-6

3，NJ=12-6（）（）三種情：①如：設等邊三角形的邊長為，0＜，則

，

，＜≤②如

3

=3；當DF與重時，，

3

=33，當DE與DA重合時，33＜；

33，

③如DEF是邊三角形FDC=30°

cos30＞4點睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質、等邊三角形的判定與性質、旋轉的性質、直角三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，難度較大．13．圖1，長方形紙片ABCD中，，中，將沿EF折點E.F分在邊、上，點落AD邊的點M處點C落點N處，MN與CD相交于點P，接設

AM

n

，其中0<n(1)如2，當即M點與點合，證四邊形BEDF為菱形；(2)如3，當

(M為AD的點，的發(fā)生變化時，求證EP=AE+DP(3)如1，當m=2(即AB=2AD)，的發(fā)變化時，

BEAM

的值是否發(fā)生變說理由【答案】證見解析；2）證明見解析；不變，理由見解.【解析】試題分析：1）條件可知，當n=1（M點D點合），時，AB=2AD，設

4A4A，則，矩形的性質可以得eq\o\ac(△,)ADE，就可以得出AE=NF，，在eq\o\ac(△,)中，由勾股定理就可以表出AE的，再求出的就可以得出結.（）長PM交EA延線于G，條件可以得eq\o\ac(△,)GAMeq\o\ac(△,)EMG由全等三角形的性質就可以得出結.（）圖1，接BM交EF于點Q，點作FKAB于K交BM于，通過證明ABMKFE，可以得出

EKKF，，AB=2AD=2BC，BK=CFAMAMAB就可以得出

BE的值是為定值．AM2（）四形是形，，，A=C=．且n=2，AB=2ADADE+EDF=90°，EDF+NDF=90°，ADE=NDF．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中A，＝，＝NDF，NDF（）AE=NF，．FN=FC，AE=FC．AB=CD，AB-AE="CD-CF."BE="DF."BE=DE．eq\o\ac(△,)中，由勾股定理，得AE

DE

，即AE2ADAE

AD2，AE=

AD.BE=2AD-AD=.5AD334

.（）圖3，長PM交EA延線于G，．M為的點．四形是形AB=CD，B=∠C=D=90°，CD.GAM=PDM．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)PDM中，＝PDM，＝，AMG＝DMP，（）eq\o\ac(△,)和EMG中＝，PME＝GME，＝，EMPEMG）PD+AE=EP即

（）

BECF1AM2

，值不變，理由如下：如圖，接BM交于Q，點F作于K，BM于點O，EM=EB，MEF=BEF，即FQO=90°.四形FKBC是形，，KBO+KOB=90°.QOF+，QOF=，KBO=OFQ.A=，ABMKFE.

KF即.AMAM，，

BE1AM2

.

BEAM

的值不變．考點：折疊問2.矩形的性質；3.全三形的判定和性質4.勾定理；相似三角形的判定和性質．14．正方形中動點，分別從，兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動．（）圖，當點自向，點自C向B移時，連接AE和DF交于點，你寫出AE與的位置關系，并說明理由；

（）圖，當，分移到邊，的延長線上時，連接AE和，（）的結論還成立嗎？（請你直接回答是或否，須證明）（）圖，當，分在，的延長線上移動時，連接，DF，1中的結論還成立嗎？請說明理由；（）圖，當，分在，上移動時，連接和