雙曲線及其方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的實(shí)際背景,感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它們的簡單幾何性質(zhì).知識梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識梳理·自主探究知識探究正常數(shù)1.雙曲線的定義雙曲線的定義一般地,如果F1,F2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),a是一個(gè)

,且2a<|F1F2|,則平面上滿足

的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線,其中,兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2稱為雙曲線的

,兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的

.||PF1|-|PF2||=2a焦點(diǎn)焦距2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0,b>0)焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程

.

.

.

.圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)

.

.a,b,c的關(guān)系式

.(a>0,b>0)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a2+b2=c2拓展總結(jié)(1)雙曲線的定義.①關(guān)于“小于|F1F2|”:a.若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”,其余條件不變,則動(dòng)點(diǎn)軌跡是分別以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn));b.若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”,其余條件不變,則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.②若將“絕對值”去掉,其余條件不變,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡只有雙曲線的一支.③若常數(shù)為零,其余條件不變,則點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.(2)①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b,確定了雙曲線的形狀和大小,是雙曲線的定型條件,這里b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a與b的大小關(guān)系不確定;而在橢圓中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c與b大小不確定.②如果含x2項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù),那么焦點(diǎn)在x軸上,如果含y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),那么焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線,焦點(diǎn)位置與a與b的大小無關(guān)系,因而不能像橢圓那樣,通過比較a與b的大小來確定其焦點(diǎn)位置.師生互動(dòng)·合作探究探究點(diǎn)一雙曲線定義的理解及應(yīng)用針對訓(xùn)練:若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩定點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0)的距離的差的絕對值為定值a(a≥0),討論點(diǎn)P的軌跡.解:由題意可知|F1F2|=2,①當(dāng)a=2時(shí),P點(diǎn)的軌跡是兩條射線,方程為y=0(x≥1)或y=0(x≤-1);②當(dāng)a=0時(shí),P點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線,軌跡方程為x=0;③當(dāng)0<a<2時(shí),P點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線;④當(dāng)a>2時(shí),P點(diǎn)的軌跡不存在.方法總結(jié)雙曲線定義的兩種應(yīng)用:(1)根據(jù)雙曲線的定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí),一定要注意雙曲線定義中的各個(gè)條件,不要一看到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值是常數(shù),就認(rèn)為其軌跡是雙曲線,還要看該常數(shù)是否小于兩個(gè)已知定點(diǎn)之間的距離且大于零,否則就不是雙曲線.(2)巧妙利用雙曲線的定義求雙曲線的軌跡方程的基本步驟為:①尋求動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F1,F2之間的關(guān)系.②根據(jù)題目的條件計(jì)算是否滿足||MF1|-|MF2||=2a(常數(shù),a>0).③判斷.若2a<2c=|F1F2|,滿足定義,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是雙曲線,且2c=|F1F2|,b2=c2-a2,進(jìn)而求出相應(yīng)a,b,c.④根據(jù)定點(diǎn)F1,F2所在的坐標(biāo)軸寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究點(diǎn)二待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方法總結(jié)待定系數(shù)法求方程的步驟:(1)定位.確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸.(2)設(shè)方程.根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.①若不知道焦點(diǎn)的位置,則進(jìn)行討論或設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0).(3)計(jì)算.利用題中的條件列出方程組,求出相關(guān)值.(4)結(jié)論.寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究點(diǎn)三雙曲線定義的綜合應(yīng)用[例3]已知A,B兩地相距2000m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚4s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.方法總結(jié)結(jié)合雙曲線的定義,解