群的定義

設(shè)非空集S上有一個運算·,1、假如運算滿足結(jié)合律，則稱(S,·)是半群。2、假如半群S中有一個元素e滿足a∈S有e·a=a·e=a，則稱(S,·,e)是幺半群，稱e為單位元或幺元。3、假如幺半群S滿足a∈S有ｂ∈S使得a·ｂ=ｂ·a=e則稱a是可逆元，并稱ｂ是a的一個逆元。注：通常用1表示單位元。2/22/20231群定義４命題若a是可逆元，則a的逆元是唯一的，記為a－１．證明：若a有兩個逆元ｂ和ｃ，即有ab=ba=1,ac=ca=1b=1b=cab=c1=c.■5、假如幺半群S的每個元素都有逆元，則稱Ｓ是一個群(group)。運算滿足交換律的群Ｓ稱為交換群.2/22/20232群定義6、對群G中的元a和正整數(shù)n．

an表示n

個a

相乘;

a-n

=(a-1)n,a0=17、驗證：amn

=(am)n;

am+n

=aman.2/22/20233幾個問題:(1)、為什么要求群的運算滿足結(jié)合律?(2)、為什么要有單位元？(3)、逆元的存在性有何運算意義?2/22/20234群的例子再明確一下群的概念定義設(shè)Ｇ是一個非空集合，假如Ｇ上定義了一個運算滿足（Ｉ）結(jié)合律a,b,c∈A有(ab)c=a(bc)；（Ⅱ）有單位元e：a∈A有ea=ae=a；（Ⅲ）有逆元a∈G，有b∈Ｇ使得ab=ba=e(其中b稱為a的逆元，記為a－１)。則稱Ｇ是一個群．留意：記住驗證運算的封閉性！2/22/202351.１群的概念和例子例１實集Ｒ、有理數(shù)集Ｑ、整數(shù)集Ｚ關(guān)于數(shù)的加法都是交換群（滿足交換律的群）；關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣？規(guī)定：只有交換群的運算符才能用加號“+”表示。當(dāng)交換群G的運算符才能用加號“+”表示時，則稱G為加群。例２正實集Ｒ＋、正有理數(shù)集Ｑ＋關(guān)于數(shù)的乘法都是交換群；正整數(shù)集Ｚ＋關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣？2/22/20236例３即方程xn=1的全部根之集，不難驗證:1.１群的概念和例子設(shè)是n次單位根集．Ｕn關(guān)于數(shù)的乘法是一個群．叫做n次單位根群。2/22/202371.１群的概念和例子證明：例４

域Ｆ上的全體n階可逆方陣GLn(F)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群，稱為Ｆ上的n階一般線性群．即Ａ,Ｂ∈GLn(F)，有AB∈GLn(F)．封閉性可逆矩陣的乘積還是可逆矩陣，結(jié)合律:矩陣的乘法滿足結(jié)合律；單位元:單位矩陣Ｉ就是單位元；逆元:Ａ∈GLn(F)，Ａ可逆，A的逆矩陣就是Ａ的逆元．2/22/202381.１群的概念和例子例５域Ｆ上的行列式為1的全體n階方陣之集SLn(F)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群，稱為Ｆ上的n階特殊線性群．例6實數(shù)域R上的全體n階正交矩陣之集On(R)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群，稱為n階正交群．2/22/20239例7向量空間VＦ上的全體可逆線性變換GL(V)關(guān)于變換的合成運算構(gòu)成一個群．例8n維歐氏空間VＦ上的全體正交變換之集On(V)關(guān)于變換的合成運算構(gòu)成一個群．例9平面上繞確定點按同一方向旋轉(zhuǎn)2k/n的變換記為k，