課時素養(yǎng)檢測十五離散型隨機變量的方差(30分鐘55分)一、選擇題(每小題5分，共25分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)1.(多選題)若隨機變量X服從兩點分布，其中PX=0=13，E(X)，D(X)分別為隨機變量X的均值與方差，A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 X=4【解析】選AB.隨機變量X服從兩點分布，其中PX=0=13，所以P(X=1)=E(X)=0×13+1×23=D(X)=0-232×13+1在A中，P(X=1)=E(X)，故A正確；在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3×23在C中，D(3X+2)=9D(X)=9×29在D中，D(X)=292.隨機變量X的分布列如下：X-101Pa1b若E(X)=13，則D(X)的值是A.19 B.29 C.49 【解析】選D.由題設可得a+b=23，b-a=13?a=16所以由數(shù)學期望的計算公式可得：E(X)=-1×16+0×13+1×12D(X)=-1-132×16+0-133.隨機變量ξ的分布列如下表，且，則D(ξ)= ()ξ01xP1p3 【解析】選C.先由隨機變量分布列的性質求得p=12.由E(ξ)=0×15+1×12所以D(ξ)=(0-1.1)2×15+(1-1.1)2×12+(2-1.1)2×4.已知隨機變量X的取值為1，2，3，若PX=3=16，EX=則DX= ()A.19 B.39 C.59 【解析】選C.設P(X=1)=p，P(X=2)=q，所以E(X)=p+2q+3×16=5316+p+q=1②由①②得，p=12，q=13，所以D(X)=12×1-532+13×5.已知隨機變量ξ，η的分布列如下表所示，則 ()ξ123P111η123P111A.E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η)B.E(ξ)<E(η)，D(ξ)>D(η)C.E(ξ)<E(η)，D(ξ)=D(η)D.E(ξ)=E(η)，D(ξ)=D(η)【解析】選C.由題意得E(ξ)=1×13+2×12+3×16D(ξ)=1-1162×13+2-1162E(η)=1×16+2×12+3×13D(η)=1-1362×16+2-1362×12+3-136二、填空題(每小題5分，共10分)6.有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質量分別為隨機變量X1，X2，已知E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，則自動包裝機________的包裝質量較好.

【解析】因為E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包裝機的包裝質量穩(wěn)定.答案：乙7.已知隨機變量X的分布列為：X-101P11a隨機變量Y=2X+1，則X的數(shù)學期望E(X)=________；Y的方差D(Y)=________.

【解析】由隨機變量X的分布列得：12+16+a=1，解得a=13，所以E(X)=-1×12+0×16+1D(X)=-1+162×12+0+162×所以Y的方差D(Y)=4D(X)=299答案：-16三、解答題(每小題10分，共20分)8.已知隨機變量X的分布列為X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值；(2)若Y=3X-2，求D(Y)的值.【解析】由12+13+p=1，得p=又E(X)=0×12+1×13+16(1)D(X)=0-232×12+1-232×1(2)因為Y=3X-2，所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.9.甲、乙兩人輪流射擊，每人每次射擊一次，先射中者獲勝，射擊進行到有人獲勝或每人都已射擊3次時結束.設甲每次射擊命中的概率為23，乙每次射擊命中的概率為25，且每次射擊互不影響，(1)求甲獲勝的概率；(2)求射擊結束時甲的射擊次數(shù)x的分布列和數(shù)學期望及方差.【解析】(1)記甲第i次射中獲勝為Aii=1,2,3，則A1，A2，A3彼此互斥，甲獲勝的事件為A1+A2+A3，因為PA1=23，PA2=PA3=132×352所以PA1+A2+A=23+215+275=62X=1=23+13×25=45，PX=2=13×35×23+1PX=3=132×35所以X的分布列為X123P441所以X的數(shù)學期望E(X)=1×45+2×425+3×125X的方差D(X)=1-31252×45+2-31252(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)1.已知ξ的分布列為ξ-101p111則在下列式中①E(ξ)=-13；②D(ξ)=23③P(ξ=0)=13.正確的個數(shù)是 B.1 【解析】選C.由題意，根據(jù)隨機變量的分布列的期望與方差的計算公式可得：Eξ=(-1)×12+0×13+1×16=-1Dξ=-1+132×12+0+132×13又由分布列可知P(ξ=0)=13，所以③2.已知隨機變量X+ξ=8，若X～B10,0.6，則Eξ，和 和和 和【解析】選C.因為X～B10,0.6，所以EX=10×0.6=6，D因為X+ξ=8，所以ξ=8-X，由期望和方差的性質可得Eξ=E8-X=8-EX=2，Dξ=D8-3.(多選題)設離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq若離散型隨機變量Y滿足Y=2X+1，則下列結果正確的有 () 【解析】選ACD.因為q+0.4+0.1+0.2+0.2=1，所以q=0.1，故A正確；又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8，故C正確；因為Y=2X+1，所以E(Y)=2E(X)+1=5，D(Y)=4D(X)=7.2，故D正確.4.設0<p<1，隨機變量ξ的分布列是ξ-101P11p則當p在(0，1)內(nèi)逐漸增大時 ()A.D(ξ)增大 B.D(ξ)減小C.D(ξ)先增大后減小 D.D(ξ)先減小后增大【解析】選A.因為0<p<1，所以由隨機變量ξ的分布列的性質得Eξ=-1×12+0×1-p2+1×pDξ=-12-p22×12+12-p2所以當p在(0，1)內(nèi)增大時，D(ξ)遞增.二、填空題(每小題5分，共20分)5.隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，則D(ξ)=________【解析】設P(ξ=1)=a，P(ξ=2)=b，則15+a+b=1,a+2b=1,解得a=35,b答案：26.已知不透明口袋中裝有除顏色外其余完全相同的2個白球和3個黑球，現(xiàn)從中隨機取出一球，再換回一個不同顏色的球(即若取出的是白球，則放回一個黑球；若取出的是黑球，則放回一個白球).記換好后袋中的白球個數(shù)為X，則X的數(shù)學期望E(X)=________，方差D(X)=________.

【解析】依題意可知X的可能取值為1，3，且PX=1=25，PX=3=35X13P23所以EX=1×25+3×35=115，DX=1-1152×2答案：1157.已知隨機變量X的分布列為X012Pa2ab當D(X)最大時，E(X)=________.

【解析】由題知b=1-3a，所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a，D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a，故當a=316時D(X)最大，此時E(X)=5答案：58.隨機變量X的概率分布為P(X=n)=an2+n(n=1，2，3)，其中a是常數(shù)，則D【解析】由題意得a1×2+=a1-12則a=43，所以PX=1=23，PXPX=3=19，則E(X)=23+49+13=139，D(X)=1-1392×23+2-13答案：608三、解答題(每小題10分，共20分)9.某實驗中學從高二年級部中選拔一個班級代表學校參加“學習強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定回答1個相關問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學校參加大賽.每個班級6名選手，現(xiàn)從每個班級6名選手中隨機抽取3人回答這個問題.已知這6人中，甲班級有4人可以正確回答這道題目，而乙班級6人中能正確回答這道題目的概率每人均為23，甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相互獨立，互不影響的(1)求甲、乙兩個班級抽取的6人都能正確回答的概率；(2)分別求甲、乙兩個班級能正確回答題目人數(shù)的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，并由此分析由哪個班級代表學校參加大賽更好？【解析】(1)甲、乙兩個班級抽取的6人都能正確回答的概率為C43C63(2)甲班級能正確回答題目的人數(shù)為X，X的取值分別為1，2，3，P(X=1)=C41C22C6P(X=3)=C43C63=15，則E(X)=1×15+2×35+3×15=2，D(X)=(1-2)2×15+(2-2)乙班級能正確回答題目的人數(shù)為Y，Y取值分別為0，1，2，3，因為Y～B3,23，所以E(Y)=3×23=2，D(Y)=3×2310.天氣預報，在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為16，至少有一個地方降雨的概率為23，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，(1)分別求甲、乙兩地降雨的概率；(2)在甲、乙兩地3天假期中，僅有一地降雨的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望與方差.【解析】(1)設甲、乙兩地降雨的事件分別為A，B，且P(A)=x，P(B)=y.由題意得xy=所以甲地降雨的概率為12，乙地降雨