課時規(guī)范練33基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積基礎(chǔ)鞏固組1.能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是()2.用斜二測畫法得到一個水平放置的平面圖形OABC的直觀圖為如圖所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底長是下底長的13,若原平面圖形OABC的面積為32,則O'A'的長為(A.2 B.2 C.3 D.33.如圖所示的扇形是某個圓錐的側(cè)面展開圖,已知扇形所在圓的半徑R=5,扇形弧長l=4π,則該圓錐的表面積為()A.2π B.(4+25)πC.(3+5)π D.8π+54.(2021湖北十堰二模)已知某圓柱的軸截面是正方形,且該圓柱的側(cè)面積是4π,則該圓柱的體積是()A.2π B.4πC.8π D.12π5.將半徑為3,圓心角為2π3的扇形圍成一個圓錐,則該圓錐的內(nèi)切球的體積為(A.2π3 BC.4π3 D.26.(2021北京,8)定義:24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度(單位:mm)來判斷降雨程度.其中小雨(<10mm),中雨(10mm—25mm),大雨(25mm—50mm),暴雨(50mm—100mm),小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水,如圖,則這天降雨屬于哪個等級()A.小雨 B.中雨C.大雨 D.暴雨7.下列四個論斷不正確的是()A.過圓錐兩母線的截面面積中,最大的不一定是軸截面面積B.經(jīng)過一條已知直線有且只有一個平面與已知平面垂直C.等底面積等高的棱柱與圓柱的體積相等D.表面積相等的正方體和球體,體積較大的是球體8.(2021山東淄博一模)已知某圓錐底面圓的半徑r=1,側(cè)面展開圖是一個半圓,則此圓錐的體積為.

9.已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為45°,側(cè)面積為43,則該棱錐的體積為.

綜合提升組10.如圖,一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,則下列結(jié)論正確的是()A.圓柱的體積為4πR3B.圓錐的側(cè)面積為2πR2C.圓柱的側(cè)面積與圓錐的表面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶211.用長度分別是2,3,5,6,9(單位:cm)的五根木棒連接(只允許連接,不允許折斷),組成共頂點的長方體的三條棱,則能夠得到的對應(yīng)長方體的最大表面積為()A.258cm2 B.414cm2C.416cm2 D.418cm212.(2021廣東汕尾模擬)如圖,一個圓錐形物體的母線長為6,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā),繞圓錐表面爬行一周后回到點P處.若該小蟲爬行的最短路程為62,則該圓錐形物體的底面半徑為.

13.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=14,BC=5,AA1=4,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=2.(1)求直線CF與C1E所成角的余弦值;(2)過點E,F的平面α與此長方體的表面相交,交線圍成一個正方形,求平面α把該長方體分成的較小部分與較大部分的體積的比值.創(chuàng)新應(yīng)用組14.有一種外形為圓錐形的斗笠,稱為“燈罩斗笠”,根據(jù)人的體型、高矮等制作成大小不一的型號供人選擇使用,不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長(母線長)和帽底寬(底面圓直徑長)兩個指標進行衡量,現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”,帽坡長20厘米,帽底寬203厘米,關(guān)于此斗笠,下面說法錯誤的是()A.分笠軸截面(過頂點和底面中心的截面圖形)的頂角為120°B.過斗笠頂點和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為1003平方厘米C.若此斗笠頂點和底面圓上所有點都在同一個球上,則該球的表面積為1600π平方厘米D.此斗笠放在平面上,可以蓋住的球(保持斗笠不變形)的最大半徑為(203-30)厘米15.(2021八省聯(lián)考模擬卷)用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定:多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如:正四面體在每個頂點有3個面角,每個面角是π3,所以正四面體在各頂點的曲率為2π-3×π3=π,故其總曲率為4(1)求四棱錐的總曲率;(2)若多面體滿足:頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明:這類多面體的總曲率是常數(shù).

課時規(guī)范練33基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積1.A解析:此幾何體自上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構(gòu)成,是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選A.2.D解析:設(shè)O'A'=x,則O'B'=2x,在原圖形中OB=2O'B'=22x,BC=B'C'=x3,OA=O'A'=x,OB為原圖形中梯形的高,面積為S=12×x+13x×22x=32,解得x=32,故選3.B解析:設(shè)圓錐底面圓半徑為r,則2πr=4π,解得r=2.圓錐的表面積S表=S底面圓+S側(cè)=πr2+12lR=π×22+12×4π×5=(4+25)故選B.4.A解析:設(shè)該圓柱的底面圓半徑為r,則圓柱的高(母線)為h,而圓柱的軸截面是正方形,則h=2r,圓柱側(cè)面積為2πrh=4π,即4πr2=4π,解得r=1,h=2,故該圓柱的體積是πr2h=2π.故選A.5.A解析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則2πr=2π3×3,所以r=1,則h=32-1設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則R22-R=13,所以R=22,所以V=4π3R3=4π3×6.B解析:由題可知,圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐高度的一半,則圓錐內(nèi)積水部分的半徑為r=12×12×200=50(mm),h=12所以由定義可得,積水厚度d=13π×502×150π×10故選B.7.B解析:由于圓錐母線長度都相等由于圓錐母線長度都相等,設(shè)兩母線的夾角為θ,母線長為2,則過圓錐兩母線的截面面積為12×2×2sinθ=2sinθ,當軸截面兩母線的夾角θ=150°時,軸截面的面積為2sin150°=1,此時可以找到一個兩母線的夾角θ=90°不是軸截面的截面,其面積為2sin90°=2,故A正確;當已知直線垂直于已知平面時,過已知直線的所有平面都垂直于已知平面,故B錯誤;由于棱柱和圓柱的體積都是底面積乘高,則等底面積等高的棱柱與圓柱的體積相等,故C正確;設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為R,則S=4πR2=6a2,球的體積為V1=43×πR3=S3×S4π,正方體的體積為V2=a3=S6×S6,所以V18.3π3解析:∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,圓錐的底面周長為2π,即側(cè)面展開圖半圓的弧長是2π,則半圓的半徑,即圓錐的母線為圓錐的高為22∴圓錐的體積V=13π×12×39.423解析:設(shè)正四棱錐底面邊長為2a,且正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為45°,則四棱錐的高為2a.又正四棱錐的側(cè)面積為43,所以每個側(cè)面的面積為則12×2a×3a=3,解得a=1即正四棱錐的高為2,故該棱錐的體積為13×22×210.D解析:依題意圓柱的底面半徑為R,則圓柱的高為2R,故圓柱的體積為πR2×2R=2πR3,故A錯誤;由題可得,圓錐的母線長為5R,圓錐的側(cè)面積為πR×5R=5πR2,故B錯誤;∵圓柱的側(cè)面積為4πR2,圓錐表面積為5πR2+πR2,故C錯誤;∴V圓柱=πR2·2R=2πR3,V圓錐=13πR2·2R=23πR3,V球=43π∴V圓柱∶V圓錐∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∶2,故D故選D.11.C解析:設(shè)長方體的三條棱的長度為a,b,c,所以長方體表面積S=2(ab+bc+ac)≤(a+b)又由題意可知a=b=c不可能成立,所以當a,b,c的長度最接近時,此時對應(yīng)的表面積最大,此時三邊長分別為8cm,8cm,9cm,用2cm和6cm連接在一起形成8cm,用3cm和5cm連接在一起形成8cm,剩余一條棱長為9cm,所以最大表面積為2×(8×8+8×9+8×9)=416(cm2).故選C.12.32解析:圓錐側(cè)面展開圖為扇形POP',如圖由題知,OP=OP'=6,小蟲爬行的最短路程為線段PP',即PP'=62.顯然有OP2+OP'2=72=PP'2,即∠POP'=π2設(shè)圓錐底面圓半徑為r,則有2πr=6×π2=3π,解得r=3即圓錐形物體的底面半徑為3213.解(1)連接EF,EB,BC1,長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1E=D1F=2,且A1E∥D1F,所以四邊形A1EFD1是平行四邊形,所以A1D1與EF平行且相等,所以EF與BC平行且相等,所以四邊形EFCB為平行四邊形,所以FC∥BE,直線CF與C1E所成角就是∠C1EB或其補角,C1E=EF2EB=EB12+C1B=B1在△C1EB中,由余弦定理,cos∠C1EB=C1E2+EB2-C1(2)設(shè)過點E,F的平面α與此長方體的表面相交,交線圍成一個正方形,即正方形EFNM,則EM=5,作EP⊥AB于點P,作FQ⊥DC于點Q,所以PM=3,所以點M在點P的右側(cè),平面α把該長方體分成的兩部分為直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1,兩個直棱柱的高相等,兩部分體積之比為V=72114.B解析:對于A,作出圖形如圖所示,PO=202所以sin∠APO=AOAP因為0°<∠APO<90°,故∠APO=60°,所以∠APB=120°,故選項A正確;對于B,設(shè)∠APB=θ,截面三角形面積為S=12·PA2·sinθ=200sinθ≤200,故選項B不正確對于C,設(shè)外接球球心為M,半徑為R,所以MA=MP=R,在△AOM中,由勾股定理可得300+(R-10)2=R2,解得R=20,所以該球的表面積S=4π×202=1600π,故選項C正確;對于D,設(shè)球心為O',截面主視圖如圖所示,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,△ABP各邊長分別為PA=PB=20,AB=203,所以12×(20+20+203)r=12×203解得r=203-30,故選項D正確.故選B.15.(1)解由題可知,四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和.可以從整個多面體的角度考慮,所有頂點相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知,四