第7章三角函數(shù)7．1角與弧度7．1.1任意角1．任意角類型定義圖示正角一條射線繞其端點，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角一條射線繞其端點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，這樣，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角．3．終邊相同的角(1)定義：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)．(2)表示：集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)本質(zhì)：表示成角α與整數(shù)個周角的和．1．在下列說法中，正確的是()①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是60°；②鈍角一定大于銳角；③射線OA繞端點O按逆時針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0°；④－2000°是第二象限角．A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】選D.①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，因而轉(zhuǎn)過的角為－60°，所以①不正確．②鈍角α的取值范圍為90°<α<180°，銳角θ的取值范圍為0°<θ<90°，因此鈍角一定大于銳角，所以②正確．③射線OA按逆時針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是360°，所以③不正確．④－2000°＝－6×360°＋160°與160°終邊相同，是第二象限角，所以④正確．2．與－30°角終邊相同的角是()A．30° B．330°C．－330°D．150°【解析】選B.與－30°角終邊相同的角連同－30°在內(nèi)，可表示為－30°＋k·360°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，令k＝1得，選項B正確．3．與－457°角終邊相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}【解析】選C.－457°＝－2×360°＋263°，所以與－457°角終邊相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．4．若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限角B．第一、四象限角C．第二象限角D．第二、四象限角【解析】選D.因為α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋90°，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一、三象限角，又因為－eq\f(α,2)與eq\f(α,2)的終邊關(guān)于x軸對稱，所以－eq\f(α,2)是第二、四象限角．5．下面與－850°12′終邊相同的角的是________．①230°12′②229°48′③129°48′④130°12′【解析】與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當k＝3時，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′，其他都不是．答案：②6．在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°12′角終邊相同的角為________，它是第________象限角．【解析】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°12′終邊相同的角是129°48′，所以它是第二象限角．答案：129°48′二7．如圖所示.(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合．(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)題目給出的角度分別寫出OA，OB表示的角．(2)根據(jù)陰影部分寫出不等式，注意兩個角的先后順序．【解析】(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．一、選擇題1．下列各組角中，終邊相同的角是()A．－145°，585° B．45°，585°C．225°，585° D．315°，585°【解析】選C.－145°－585°＝－730°＝－360°×2－10°，故A錯誤；45°－585°＝－540°＝－360°－180°，故B錯誤；225°－585°＝－360°，故C正確；315°－585°＝－270°，故D錯誤．2．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°【解析】選B.－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°.3．若α是第四象限角，則180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】選C.可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．4．2021°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】選C.2021°＝5×360°＋221°，且180°<221°<270°，所以2021°是第三象限角．5．與－463°角終邊相同的角可表示為()A．k·360°＋463°(k∈Z)B．k·360°＋103°(k∈Z)C．k·360°＋257°(k∈Z)D．k·360°－257°(k∈Z)【解析】選C.因為－463°＝257°＋(－2)×360°，所以與－463°角終邊相同的角可表示為k·360°＋257°(k∈Z).6．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范圍(如圖陰影部分)正確的是()【解析】選C.令k＝0得，45°≤α≤90°，排除B、D，令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除A.7．(多選)下列與412°角的終邊相同的角是()A．52°B．778°C．－308°D．1132°【解析】選ACD.因為412°＝360°＋52°，所以與412°角的終邊相同的角為β＝k×360°＋52°，k∈Z.當k＝－1時，β＝－308°；當k＝0時，β＝52°；當k＝2時，β＝772°；當k＝3時，β＝1132°；當k＝4時，β＝1492°.8．(多選)在下列四個角中，屬于第二象限角的是()A．160° B．480°C．－960° D．1530°【解析】選ABC.A中，160°是第二象限角；B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；D中，1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．【誤區(qū)警示】判斷角所在的象限時，先在0°～360°內(nèi)找到與已知角終邊相同的角，判斷這個角所在的象限，即原角所在的象限．二、填空題9．與2019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對值最小的角是________．【解析】與2019°角的終邊相同的角為2019°＋k·360°(k∈Z).當k＝－5時，219°為最小正角；當k＝－6時，－141°為絕對值最小的角．答案：219°－141°10．已知角α的終邊與－100°角的終邊關(guān)于y軸對稱，則α的取值集合為________．【解析】如圖，－80°角與－100°角的終邊關(guān)于y軸對稱，因此α的取值集合為{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．答案：{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}三、解答題11．在[0，4π]內(nèi)找出與eq\f(2π,5)角終邊相同的角．【解析】因為eq\f(2π,5)與角度2kπ＋eq\f(2π,5)(k∈Z)的終邊相同，故令0≤2kπ＋eq\f(2π,5)≤4π，解得k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(9,5)))，又k∈Zeq\f(2π,5)終邊相同的角為2π＋eq\f(2π,5)＝eq\f(12π,5).12．寫出終邊在如圖所示直線上的角的集合．【解析】(1)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸上的角有兩個，即0°和180°，因此所有與0°角的終邊相同的角構(gòu)成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有與180°角的終邊相同的角構(gòu)成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．于是，終邊落在x軸上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°.因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．一、選擇題1．在0°到360°范圍內(nèi)，與角－120°終邊相同的角是()A．120°B．60°C．180°D．240°【解析】選D.因為與－120°終邊相同角的集合為{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范圍內(nèi)，與角－120°終邊相同的角是240°.2.eq\f(θ,2)終邊在第三象限，則θ的終邊可能在()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限或y軸非負半軸上D．第三、四象限或y軸非正半軸上【解析】選C.因為eq\f(θ,2)終邊在第三象限，所以180°＋k·360°<eq\f(θ,2)<270°＋k·360°，k∈Z，所以360°＋2k·360°＜θ＜540°＋2k·360°，k∈Z.(2k＋1)·360°＜θ＜180°＋(2k＋1)·360°，k∈Z.所以θ的終邊可能在第一、二象限或y軸非負半軸上．3．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的終邊都在()A．x軸正半軸上B．y軸正半軸上C．x軸或y軸上D．x軸正半軸或y軸正半軸上【解析】選C.令k＝1，2，3，4，終邊分別落在y軸正半軸上，x軸負半軸上，y軸負半軸上，x軸正半軸上，又k∈Z.二、填空題4．(多選)如果角α的終邊在第三象限，那么eq\f(α,3)的終邊可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選ACD.因為α為第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，所以k·120°＋60°<eq\f(α,3)<k·120°＋90°，k∈Z.分別取k＝0，1，2，3，…，可得eq\f(α,3)的終邊分別在第一、第三、第四、第一、…象限，均不過第二象限；取k＝－1，－2，－3，…時，eq\f(α,3)的終邊分別在第四、第三、第一、…象限，均不過第二象限．5．已知角α，β的終邊關(guān)于直線y＝－x對稱，且α＝－60°，則β＝__________.【解題指南】結(jié)合圖象，找出一個角后表示．【解析】－60°角的終邊關(guān)于直線y＝－x對稱的射線的對應(yīng)角為－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z.答案：－30°＋k·360°，k∈Z6．若角α的終邊在y軸的負半軸上，則角α－150°的終邊在第______象限．【解析】因為角α的終邊在y軸的負半軸上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以角α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以α－150°的終邊在第二象限．答案：二7．如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標原點，點P從點A(1，0)出發(fā)，以逆時針方向勻速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知P點在1s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ(0°<θ<180°)，經(jīng)過2s到達第三象限，經(jīng)過14s后又回到了出發(fā)點A處，則θ＝________．【解題指南】因為2s到達第三象限，所以k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°(k∈Z)，又因為經(jīng)過14s后又回到了出發(fā)點，所以14θ＝n·360°(n∈Z).【解析】因為0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z，則一定有k＝0，于是90°<θ<135°.又因為14θ＝n·360°(n∈Z)，所以θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n·180,7)))°，從而90°<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n·180,7)))°<135°，所以eq\f(7,2)<n<eq\f(21,4)，所以n＝4或5.當n＝4時，θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(720,7)))°；當n＝5時，θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,7)))°.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(720,7)))°或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,7)))°8．射線OA繞端點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°到達OB位置，由OB