8．2.2函數(shù)的實際應(yīng)用一、選擇題1．埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇跡之一，其中較為著名的是胡夫金字塔．令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周長如果除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159，這就是圓周率較為精確的近似值．金字塔底部形為正方形，整個塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后，底座邊長大約230米.因年久風(fēng)化，頂端剝落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為()【解析】選C.胡夫金字塔原高為h，則eq\f(230×4,2h)＝3.14159，即h＝eq\f(230×4,2×3.14159)≈146.4米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.4米．2．某網(wǎng)站開展了以核心價值觀為主題的系列宣傳活動，并將“社會主義核心價值觀”作為關(guān)鍵詞便于網(wǎng)民搜索．此后，該網(wǎng)站的點擊量每月都比上月增長50%，那么4個月后，該網(wǎng)站的點擊量和原來相比，增長為原來的()A．2倍以上，但不超過3倍B．3倍以上，但不超過4倍C．4倍以上，但不超過5倍D．5倍以上，但不超過6倍【解析】選D.4個月后網(wǎng)站點擊量變?yōu)樵瓉淼膃q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))4＝eq\f(81,16)，所以是5倍以上，但不超過6倍．3．據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度，設(shè)2018年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m，則從2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝·mB．y＝·m50－x·m50－x)·m【解析】選A.設(shè)北冰洋每年冬季冰雪覆蓋面積為上一年的q%.由題意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝，所以從2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝·m.4．某特種冰箱的食物保鮮時間y(單位：小時)與設(shè)置儲存溫度x(單位：℃)近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝3kx＋b(k，b為常數(shù))，若設(shè)置儲存溫度0℃的保鮮時間是288小時，設(shè)置儲存溫度5℃的保鮮時間是144小時，則設(shè)置儲存溫度15℃的保鮮時間近似是()A．36小時B．48小時C．60小時D．72小時【解析】選A.由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3b＝288，,35k＋b＝144，))所以35k＋b＝35k×3b＝144，所以35k＝eq\f(144,288)＝eq\f(1,2)，所以當(dāng)x＝15時，y＝315k＋b＝315k×3b＝(35k)3×3b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×288＝eq\f(1,8)×288＝36，故設(shè)置儲存溫度15℃的保鮮時間近似是36小時．5．世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010，100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%【解析】選C.設(shè)每年世界人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.6．已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間t(年)的衰變規(guī)律滿足：N＝N0·2eq\f(－t,5730)(N0表示碳14原來的質(zhì)量)，經(jīng)過測定，良渚古城某文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的0.6倍，據(jù)此推測良渚古城遺址存在的時期距今大約是()(參考數(shù)據(jù)：log23≈1.6，log25≈2.3)A．3440年B．4010年C．4580年D．5160年【解析】選B.0＝N0·2eq\f(－t,5730)，即2eq\f(－t,5730)＝0.6＝eq\f(3,5)，兩邊取以2為底數(shù)的對數(shù)，可得eq\f(－t,5730)＝log23－log25≈1.6－2.3＝－0.7，所以t≈0.7×5730＝4011年．7．已知火箭的最大速度v(單位：km/s)和燃料質(zhì)量M(單位：kg)，火箭質(zhì)量m(單位：kg)的函數(shù)關(guān)系是：v＝2000ln(1＋eq\f(M,m))，若已知火箭的質(zhì)量為3100公斤，燃料質(zhì)量為310噸，則此時v的值為多少(參考數(shù)值為ln2≈0.69；ln101≈4.62)()A．13.8B．9240C．9.24D．1380【解析】選B.由題意火箭的最大速度v(單位：km/s)和燃料質(zhì)量M(單位：kg)，火箭質(zhì)量m(單位：kg)的函數(shù)關(guān)系是：v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，火箭的質(zhì)量為3100公斤，燃料質(zhì)量為310噸，可得v＝2000×lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(310000,3100)))＝2000×(ln101)＝2000×4.62＝9240km/s.8．(多選)某食品的保鮮時間t(單位：小時)與存儲溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系t＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，x≤0,2kx＋6，x>0))且該食品在4℃的保鮮時間是16小時．已知甲在某日上午10時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示，則以下四個結(jié)論正確的是()A．該食品在6℃的保鮮時間是8小時B．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，6))時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少C．到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi)D．到了此日14時，甲所購買的食品已然過了保鮮時間【解析】選AD.因為食品的保鮮時間t與儲藏溫度x滿足函數(shù)關(guān)系式t＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，x≤0,2kx＋6，x>0))，且該食品在4℃時保鮮時間是16小時．所以24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－eq\f(1,2).所以t＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，x≤0,2－\f(1,2)x＋6，x>0)).A．當(dāng)x＝6時，t＝8，所以該食品在6℃的保鮮時間是8小時，故A正確；B．當(dāng)x∈[－6，0)時，時間t不變，故B錯誤；C．由圖象可知，當(dāng)?shù)酱巳?2小時，溫度超過12度，此時的保鮮時間不超過1小時，所以到了此日13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內(nèi)，故C錯誤；D由C知，D正確．二、填空題9．喬經(jīng)理到老陳的果園里一次性采購一種水果，他倆商定：喬經(jīng)理的采購價y(元/噸)與采購量x(噸)之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線段ABC所示(不包含端點A，但包含端點C.已知老陳種植水果的成本是2800元/噸，那么喬經(jīng)理的采購量為________噸時，老陳在這次買賣中所獲的利潤W最大．【解析】由題意，可得y與x函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8000，0<x≤20,12000－200x，20＜x≤40))；又由W＝x(y－2800)，知：W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5200x，0<x≤20,9200x－200x2，20＜x≤40))；所以在0<x≤20時，x＝20有Wmax＝104000元；在20＜x≤40時，x＝23有Wmax＝105800元；所以采購量為23噸時，所獲的利潤W最大答案：2310．2020年春季蝗災(zāi)波及印度和巴基斯坦，假設(shè)蝗蟲的日增長率為5%，最初有N0只．則經(jīng)過________天能達(dá)到最初的16000倍(參考數(shù)據(jù)：ln1.05≈0.0488，ln1.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803).【解析】設(shè)過x天能達(dá)到最初的16000倍，由已知N0(1＋0.05)x＝16000N0，x＝16000，所以x＝eq\f(ln16000,ln1.05)≈198.4，又x∈N，所以過199天能達(dá)到最初的16000倍．答案：199三、解答題11．李莊村某社區(qū)電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度，每度0.4元，超過30度時，超過部分按每度0.5元．方案二：不收管理費，每度0.48元．(1)求方案一收費L(x)元與用電量x(度)間的函數(shù)關(guān)系；(2)小李家九月份按方案一交費34元，問小李家該月用電多少度？(3)小李家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？【解析】(1)當(dāng)0≤x≤30時，L(x)＝2＋0.4x；＝0.5x－1，所以L(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋0.4x，0≤x≤30，,0.5x－1，x>30.))(2)當(dāng)0≤x≤30時，由L(x)＝2＋0.4x＝34，解得x＝80，舍去；當(dāng)x>30時，由L(x)＝0.5x－1＝34，解得x＝70，所以小李家該月用電70度．(3)設(shè)按第二方案收費為F(x)元，則F(x)＝0.48x，當(dāng)0≤x≤30時，由L(x)<F(x)，解得2＋0.4x<0.48x，解得x>25，所以25<x≤30；當(dāng)x>30時，由L(x)<F(x)，得0.5x－1<0.48x，解得x<50，所以30<x<50，綜上25<x<50.故小李家月用電量在25度到50度范圍內(nèi)(不含25度、50度)時，選擇方案一比方案二更好．12．因新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入90萬元安裝了一臺新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計使用該設(shè)備前n(n∈N＋)年的材料費、維修費、人工工資等共為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n2＋5n))萬元，每年的銷售收入55萬元．設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為f(n)萬元．(1)寫出f(n)關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計該設(shè)備從第幾年開始盈利；(2)使用若干年后，對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以10萬元的價格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以50萬元的價格處理；問哪種方案處理較為合理？并說明理由．【解析】(1)由題意得：f(n)＝55n－90－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n2＋5n))＝－eq\f(5,2)n2＋50n－90.由f(n)＞0，得－eq\f(5,2)n2＋50n－90＞0，即n2－20n＋36＜0，解得2＜n＜18.由于n∈N＋，故該企業(yè)從第3年開始盈利；(2)方案一：總盈利額f(n)＝－eq\f(5,2)(n－10)2＋160，當(dāng)n＝10時，f(n)max＝160.故方案一總利潤160＋10＝170，此時n＝10；方案二：每年平均利潤eq\f(f（n）,n)＝50－eq\f(5,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(36,n)))≤50－eq\f(5,2)×2eq\r(36)＝20，當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時等號成立．故方案二總利潤6×20＋50＝170，此時n＝6.比較兩種方案，獲利都是170萬元，但由于第一種方案需要10年，而第二種方案需要6年，故選擇第二種方案更合適．一、選擇題1．2020年8月到11月這四個月的某產(chǎn)品價格的市場平均價f(x)(單位：元/千克)與時間x(單位：月份)的數(shù)據(jù)如表x891011f(x)現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①f(x)＝bx＋a；②f(x)＝ax2＋bx＋c；③f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋a，找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并估計2020年12月份的該產(chǎn)品市場平均價()A．②，28元/千克 B．①，25元/千克C．②，23元/千克 D．③，21元/千克【解析】選A.因為f(x)的值隨x的值先增后減，所以選f(x)＝ax2＋bx＋c最合適．第二組數(shù)據(jù)近似為(9，34)，第四組近似為(11，34)，得f(x)圖象的對稱軸為x＝10，故f(12)＝f(8)＝28.2．某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為a萬元，4月份比3月份減少了10%，5月份比4月份增加了15%，則5月份的產(chǎn)值是()A．(a－10%)(a＋15%)萬元B．a(chǎn)(1－10%)(1＋15%)萬元C．(a－10%＋15%)萬元D.a(1－10%＋15%)萬元【解析】選B.由題意，5月份的產(chǎn)值為a(1－10%)(1＋15%)萬元．3．某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到100℃，水溫y(℃)與時間t(min)近似滿足一次函數(shù)關(guān)系；②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y(℃)與時間t(min)近似滿足函數(shù)的關(guān)系式為y＝80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(t－a,10))＋b(a，b為常數(shù))，通常這種熱飲在40℃時，口感最佳，某天室溫為20℃時，沖泡熱飲的部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時飲用，最少需要的時間為()A.35min B．30minC．25min D．20min【解析】選C.由題意，當(dāng)0≤t≤5時，函數(shù)圖象是一個線段，當(dāng)t≥5時，函數(shù)的解析式為y＝80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(t－a,10))＋b，將點(5，100)和點(15，60)代入解析式，有解得a＝5，b＝20，故函數(shù)的解析式為y＝80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(t－a,10))＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的時間為25min.二、填空題4．一家報刊推銷員從報社買進(jìn)報紙的價格是每份2元，賣出的價格是每份3元，賣不完的還可以以每份0.8元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)內(nèi)有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，且每天從報社買進(jìn)報紙的份數(shù)都相同，要使推銷員每月所獲得的利潤最大，則應(yīng)該每天從報社買進(jìn)報紙________份【解析】設(shè)每天從報社買進(jìn)x(250≤x≤400，x∈N)份報紙時，每月所獲利潤為y元，具體情況如下表．?dāng)?shù)量/份單價/元金額/元買進(jìn)30x260x賣出20x＋10×250360x＋7500退回10(x－250)8x－2000則推銷員每月所獲得的利潤y＝[(60x＋7500)＋(8x－2000)]－60x＝8x＋5500(250≤x≤400，x∈N)又由y＝8x＋5500在[250，400]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝400時，y取得最大值8700.答案：4005．要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價為20元/m2，側(cè)面造價為10元/m2，則該容器的最低造價是______元．【解析】設(shè)容器底的長和寬分別為am，bm，成本為y元，所以S底＝ab＝4，y＝20S底＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80≥20×2eq\r(ab)＋80＝160，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時，y取最小值160，則該容器的最低造價為160元．答案：1606．某制造商制造并出售圓柱形瓶裝的某種飲料，瓶子的底面半徑是r，高h(yuǎn)＝eq\f(4,3)2分，已知每出售1mL(注：1mL＝1cm3)的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半徑為6cm.記每瓶飲料的利潤為f(r)，則f(3)＝________，其實際意義是________．【解析】f(r)＝0.2·πr2·eq\f(4,3)2＝eq\f(0.8πr3,3)2(0＜r≤6)，故f(3)＝7.2π－7.2π＝0.表示當(dāng)瓶子底面半徑為3cm時，利潤為0.答案：0當(dāng)瓶子底面半徑為3cm時，利潤為07．碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時鐘”．碳14的殘余量占原始含量的比值P與生物體死亡年數(shù)t滿足P＝at(a為正數(shù)).已知碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大約每經(jīng)過5730年就衰變?yōu)樵瓉淼囊话耄畡ta＝________；2020年1月10日，中國社會科學(xué)院考古研究所發(fā)布了“2019年中國考古新發(fā)現(xiàn)”六大考古項目，位于滕州市官橋鎮(zhèn)大韓村東的“大韓墓地”成功入選．考古人員發(fā)現(xiàn)墓地中某一尸體內(nèi)碳14的殘余量占原始含量的73%，則“大韓墓地”距測算之時約________年．(參考數(shù)據(jù)：lg73≈1.86，lg2≈0.3)【解析】根據(jù)題意令P＝eq\f(1,2)，t＝5730，則有eq\f(1,2)＝a5730，解得a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,5730))；令P＝73%，將a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,5730))代入P＝at得＝73%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(t,5730))＝0.73，則eq\f(t,5730)＝－log20.73＝－eq\f(lg0.73,lg2)＝－eq\f(lg73－2,lg2)≈eq\f(7,15)，解得t≈eq\f(7,15)×5730＝2674.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,5730))2674三、解答題8．某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為230噸．(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本P(年總成本除以年產(chǎn)量)最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售完，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，年總利潤可以獲得最大？最大利潤是多少？【解析】(1)y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，0＜x≤230.所以P＝eq\f(y,x)＝eq\f(x,5)＋eq\f(8000,x)－48≥2eq\r(\f(x,5)·\f(8000,x))－48＝32，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200時取等號．所以年產(chǎn)量為200噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本P最低，最低成本為32萬元．(2)設(shè)利潤為z萬元，則z＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(1,5)x2＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680，即年產(chǎn)量為220噸時，利潤最大為1680萬元．9．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是y1，y2萬元，它們與投入資金x萬元的關(guān)系分別為y1＝meq\r(x＋1)＋a，y2＝bx(其中m，a，b都為常數(shù))，函數(shù)y1，y2對應(yīng)的曲線C1，C2如圖所示．(1)求函數(shù)y1與y2的解析式；(2)若該商場一共投資10萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值．【解析】(1)由題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋a＝0,3m＋a＝4))，解得m＝2，a＝－2，故y1＝2eq\r(x＋1)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥0)).又由題意8b＝4得b＝eq\f(1,2)，故y2＝eq\f(1,2)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥0)).(2)設(shè)銷售甲商品投入資金x萬元，利潤為y萬元，則乙投入(10－x)萬元．由(1)得y＝2eq\r(x＋1)－2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－x))＝2eq\r(x＋1)－eq\f(1,2)eq\r(x＋1)＝t，則1≤t≤eq\r(11)且x＝t2－1，故y＝2t－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－1))＋3＝－eq\f(1,2)t2＋2t＋eq\f(7,2)＝－eq\f(1,2)(t－2)2＋eq\f(11,2)，1≤t≤eq\r(11)，當(dāng)t＝2即x＝3時，y取最大值eq\f(11,2).答：該商場所獲利潤的最大值為eq\f(11,2)萬元．(60分鐘100分)一、選擇題(每小題5分，共45分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)1．在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當(dāng)電流通過圓柱形的電線時，其電流強度I(單位：安)與電線半徑r(單位：毫米)的三次方成正比，若已知電流通過半徑為4毫米的電線時，電流強度為320安，則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流強度為()A．60安B．240安C．75安D．135安【解析】選D.由已知，設(shè)比例常數(shù)為k，則I＝k·r3.由題意，當(dāng)r＝4時，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝eq\f(320,64)＝5，所以I＝5r3.故當(dāng)r＝3時，I＝5×33＝135(安).2．衣柜里的樟腦丸隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸的體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)eq\f(8,27)a，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A．125B．100C．75D．50【解析】選C.由已知得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，即e－50k＝eq\f(4,9)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2).所以eq\f(8,27)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)·a＝(e－50k)eq\f(3,2)·a＝e－75k·a，所以t＝75.3．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，則一年的總運費與總存儲費用和最小為()A．60萬元B．160萬元C．200萬元D．240萬元【解析】選D.由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和為eq\f(600,x)×6＋4x≥2×eq\r(\f(3600,x)×4x)＝240(萬元).當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時取等號．4．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時間t(單位：小時)滿足p(t)＝p02－eq\f(t,30)，其中p0為t＝0時的污染物數(shù)量．又測得當(dāng)t＝30時，污染物數(shù)量的平均變化率是－10ln2，則p(60)＝()A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升【解析】選C.因為當(dāng)t＝30時，污染物數(shù)量的平均變化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2.因為p(t)＝p02－eq\f(t,30)，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升).5．《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為eq\f(π,4)米，肩寬約為eq\f(π,8)米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，你估測一下擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)()A.1.012米 C．2.043米 【解析】選B.由題得：弓所在的弧長為l＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,4)＋eq\f(π,8)＝eq\f(5π,8)；所以其所對的圓心角α＝eq\f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq\f(π,2)；所以兩手之間的距離d＝2Rsineq\f(π,4)＝eq\r(2)×1.25≈1.768.6．果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度．已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時間t(天)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h(t)＝m·at.若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來的這種水果在多長時間后失去50%新鮮度(已知lg2≈0.3，結(jié)果取整數(shù))()A．23天B．33天C．43天D．50天【解析】選B.由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ma10＝0.1，,ma20＝0.2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(10,2),m＝0.05))，所以h(t)＝0.05×(eq\r(10,2))t，當(dāng)h(t)＝0.5時，0.05×(eq\r(10,2))t＝0.5，解得t＝eq\f(10,lg2)≈33.7．(多選)據(jù)美國學(xué)者詹姆斯·馬丁的測算，近十年，人類知識總量已達(dá)到每三年翻一番，到2020年甚至要達(dá)到每73天翻一番的空前速度．因此，基礎(chǔ)教育的任務(wù)已不是教會一切人一切知識，而是讓一切人學(xué)會學(xué)習(xí)．已知2000年底，人類知識總量為a，假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番，從2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天計算)是每73天翻一番，則下列說法正確的是()A．2006年底人類知識總量是2aB．2009年底人類知識總量是8aC．2019年底人類知識總量是213aD．2020年底人類知識總量是218a【解析】選BCD.選項A：2006年底人類知識總量為a×2×2＝4a，故A錯誤，選項B：2009年底人類知識總量為a×2×2×2＝8a，故B正確，選項C：2019年底人類知識總量為8a×210＝213a，故C正確，選項D：2020年底人類知識總量為213a×25＝218a，故D正確．8．(多選)“雙11”購物節(jié)中，某電商對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額滿一定額度，可以給予優(yōu)惠：(1)如果購物總額不超過50元，則不給予優(yōu)惠；(2)如果購物總額超過50元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；(3)如果購物總額超過100元但不超過300元，則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠；(4)如果購物總額超過300元，其中300元內(nèi)的按第(3)條給予優(yōu)惠，超過300元的部分給予8折優(yōu)惠．某人購買了部分商品，則下列說法正確的是()A．如果購物總額為78元，則應(yīng)付款為73元D．如果購物時一次性全部付款442.8元，則購物總額為516元【解析】選ABD.如果購物總額為78元，滿足超過50元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券，則應(yīng)付款為73元，故A正確；如果購物總額為228元，超過100元但不超過300元，則應(yīng)付款為228×0.9＝205.2元，故B正確；如果購物總額為368元，購物總額超過300元，則應(yīng)付款為300×0.9＋68×0.8＝324.4元，故C錯誤；如果購物時一次性全部付款442.8元，說明購物總額超過300元，設(shè)購物總額為x元，則300×0.9＋(x－300)×0.8＝442.8，解得x＝516元，故D正確．9．(多選)某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費，甲廠的總費用y1(千元)，乙廠的總費用y2(千元)與印制證書數(shù)量x(千個)的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所示，則下列說法正確的是()B．甲廠的總費用y1與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝0.5x＋1C．若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則該單位選擇甲廠更節(jié)省費用D．當(dāng)印制證書數(shù)量超過2千個時，乙廠的總費用y2與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)【解析】選ABD.對于選項A：由圖可知甲廠制版費為1千元，印刷費平均每個為eq\f(2－1,2)＝0.5(元)，所以選項A正確，對于選項B：設(shè)甲廠的總費用y1與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝kx＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,2k＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝1，))所以y1＝0.5x＋1，所以選項B正確，對于選項C：由圖象可知，當(dāng)印制證書數(shù)量超過6千個時，乙廠費用少于甲廠費用，所以若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則該單位選擇乙廠更節(jié)省費用，所以選項C錯誤，對于選項D：當(dāng)印制證書數(shù)量超過2千個時，設(shè)乙廠的總費用y2與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝ax＋c(a≠0)，代入點(2，3)和點(6，4)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋c＝3，,6a＋c＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,c＝\f(5,2)，))所以y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)，所以選項D正確．二、填空題(每小題5分，共15分)10．2020年是全國決勝脫貧攻堅之年，“一幫一扶”工作組進(jìn)駐某山區(qū)幫助農(nóng)民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、獼猴桃，工作人員艾明在線上進(jìn)行直播帶貨活動，促銷方案如下：若一次購買水果總價不低于200元，則顧客少付款m元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會收到支付款的80%，在促銷活動中，為了使得農(nóng)民收入不低于總價的70%，則m的最大值為________．【解析】設(shè)每筆訂單促銷前的總價為x元，根據(jù)題意有(x－m)×80%≥x×70%，即m≤eq\f(x,8)恒成立，由題意得x≥200，所以eq\f(x,8)≥eq\f(200,8)＝25，所以m≤25，所以m的最大值為25.答案：2511．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面是一個矩形，面積為60m2，房屋正面每平方米的造價為1500元，房屋側(cè)面每平方米的造價為1000元，屋頂?shù)脑靸r為6000元．如果墻高為3m，且不計房屋背面和地面的費用，那么把地面矩形較長的一邊設(shè)計為________m時，能使房屋的總造價最低(結(jié)果用根式表示).【解析】設(shè)底面的長為xm，寬為ym，則xy＝60，設(shè)房屋總造價為f(x)，則f(x)＝3x·1500＋2·3·eq\f(60,x)·1000＋6000＝4500x＋eq\f(360000,x)＋6000≥2eq\r(4500x·\f(360000,x))＋6000＝36000eq\r(5)＋6000(元).當(dāng)且僅當(dāng)4500x＝eq\f(360000,x)，即x＝4eq\r(5)時，上式等號成立，此時y＝eq\f(60,4\r(5))＝3eq\r(5).故把地面矩形較長的一邊設(shè)計為4eq\r(5)m時，能使房屋的總造價最低．答案：4eq\r(5)12．設(shè)矩形ABCD(AB>AD)的周長為8cm，把△ADC沿AC向△ABC折疊，CD折過去后交AB于點M.設(shè)AB＝xcm，則△ADM面積的最大值為________cm2.【解析】如圖，易證△ADM≌△CBM，則DM＝BM，因為矩形ABCD(AB>AD)的周長為8cm，設(shè)AB＝xcm(2<x<4)，所以AD＝(4－x)cm.設(shè)DM＝y(tǒng)cm，則AM＝(x－y)cm，則有(4－x)2＋y2＝(x－y)2，解得y＝4－eq\f(8,x).S△ADM＝eq\f(1,2)·AD·DM＝eq\f(1,2)(4－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(8,x)))＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x)＋2x))≤12－8eq\r(2)(cm2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2eq\r(2)時，等號成立．所以△ADM面積的最大值為(12－8eq\r(2))cm2.答案：12－8eq\r(2)三、解答題(每小題10分，共40分)13．某工廠生產(chǎn)一新款智能迷你音箱，每日的成本C(單位：萬元)與日產(chǎn)量x(x∈N*，單位：千只)的關(guān)系滿足C＝x＋2.每日的銷售額S(單位：萬元)與日產(chǎn)量x的關(guān)系滿足：當(dāng)1≤x≤7時，S＝eq\f(16x,x＋1)＋x；當(dāng)7＜x＜16時，S＝3x＋eq\f(k,x－16)＋2；當(dāng)x≥16時，S＝28.已知每日的利潤L＝S－C(單位：萬元).(1)求k的值，并將該產(chǎn)品每日的利潤L(萬元)表示為日產(chǎn)量x(千只)的函數(shù)；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少千只時，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值．【解析】(1)當(dāng)x＝7時，S＝eq\f(16×7,7＋1)＋7＝3×7＋eq\f(k,7－16)＋2，解得k＝18，所以L＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(16x,x＋1)－2，1≤x≤7，x∈N*，,2x＋\f(18,x－16)，7＜x＜16，x∈N*，,26－x，x≥16，x∈N*.))(2)當(dāng)1≤x≤7，x∈N*時，L＝eq\f(16x,x＋1)－2＝14－eq\f(16,x＋1)，在[1，7]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝7時，Lmax＝12，當(dāng)7＜x＜16，x∈N*時，L＝2x＋eq\f(18,x－16)＝32－[2(16－x)＋eq\f(18,16－x)]≤32－2eq\r(2（16－x）×\f(18,16－x))＝20，當(dāng)且僅當(dāng)2(16－x)＝eq\f(18,16－x)，即x＝13時，Lmax＝20，當(dāng)x≥16，x∈N*時，L＝26－x在[16，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝16時，Lmax＝26－16＝10，綜上，當(dāng)x＝13時，L取得最大值為20，所以日產(chǎn)量為13千只時，每日的利潤可以達(dá)到最大，且最大值為20萬元．14．經(jīng)調(diào)查，某產(chǎn)品在過去兩周內(nèi)的日銷售量(單位：千克)與日銷售單價(單位：元)均為時間t(天)的函數(shù)．其中日銷售量為時間t的一次函數(shù)，且t＝1時，日銷售量為34千克，t＝10時，日銷售量為25千克．日銷售單價滿足函數(shù)f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25－\f(25,t＋1)，1≤t<8且t∈N,14＋t，8≤t≤14且t∈N)).(1)寫出該商品日銷售額y關(guān)于時間t的函數(shù)(日銷售額＝日銷售量×銷售單價)；(2)求過去兩周內(nèi)該商品日銷售額的最大值．【解析】(1)設(shè)日銷售量g(t)(千克)關(guān)于時間t(天)的函數(shù)為g(t)＝kt＋b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝34，,10k＋b＝25，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝35，))所以g(t)＝35－t，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（25－\f(25,t＋1)）（35－t），1≤t<8，t∈N，,（14＋t）（35－t），8≤t≤14，t∈N.))(2)①當(dāng)1≤t＜8時，y＝25[37－(t＋1)－eq\f(36,t＋1)]≤(37－2eq\r(36))×25＝625，當(dāng)且僅當(dāng)(t＋1)2＝36，即t＝5時，等號成立，②當(dāng)8≤t≤14時，y