第12章三角形人教版八年級(上)數(shù)學(xué)章末復(fù)習(xí)課探究新知知識歸納典型例題當(dāng)堂訓(xùn)練課堂小結(jié)導(dǎo)入新課全等三角形的性質(zhì)01全等三角形的判定02全等三角形的綜合應(yīng)用03利用全等三角形解決實際問題04知識點角平分線的性質(zhì)與判定05

能夠完全重合的兩個圖形叫全等圖形，能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.重合的頂點叫做對應(yīng)頂點,

重合的角叫做對應(yīng)角.重合的邊叫做對應(yīng)邊,BCA其中點A和__

，點B和

，點C和_是對應(yīng)頂點.

AB和

，BC和

，AC和

是對應(yīng)邊.∠A和

，∠B和

，∠C和

對應(yīng)角.EFD點D點E點FDEEFDF∠D∠E∠F要點歸納知識點一全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE,BC=`EF,AC=DF(

),

A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(

).全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)角相等推導(dǎo)格式：BCAEFD要點歸納知識點一全等三角形的性質(zhì)【例1】如圖,已知△ACE≌△DBF.CE=BF,AE=DF,AD=8,BC=2.(1)求AC的長度；(2)試說明CE∥BF．解:(1)∵△ACE≌△DBF，

典型例題知識點一全等三角形的性質(zhì)∴CE∥BF．∴AC=BD,則AB=DC，∵BC=2,∴2AB+2=8，∴AB=3,∴AC=3+2=5；(2)∵△ACE≌△DBF，∴∠ECA=∠FBD，ABECDF

兩個全等三角形的長邊與長邊,短邊與短邊分別是對應(yīng)邊,大角與大角,小角與小角分別是對應(yīng)角.有對頂角的,兩個對頂角一定為一對對應(yīng)角.有公共邊的,公共邊一定是對應(yīng)邊.有公共角的,公共角一定是對應(yīng)角.方法總結(jié)1.如圖，△ABD≌△ACD，∠BAC=90o．(1)求∠B；(2)判斷AD與BC的位置關(guān)系,并說明理由．解:(1)∵△ABD≌△ACD，基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點一全等三角形的性質(zhì)ACDB∴AD⊥BC．∴∠B=∠C=45o；∴∠B=∠C，又∵∠BAC=90o，(2)AD⊥BC．理由如下：∵△ABD≌△ACD，∴∠BDA=∠CDA，∵∠BDA+∠CDA=180o，∴∠BDA=∠CDA=90o，全等三角形的性質(zhì)01全等三角形的判定02全等三角形的綜合應(yīng)用03利用全等三角形解決實際問題04知識點角平分線的性質(zhì)與判定05推導(dǎo)格式：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF(SAS)1.兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”).FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF要點歸納知識點二三角形全等的判定方法∠A=∠D

AB=DE∠B=∠E在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.(ASA)2.有兩角和它們夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.用符號語言表達為：FEDCBA要點歸納知識點二三角形全等的判定方法3.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”).ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.(SSS)AB=DE，BC=EF，CA=FD，用符號語言表達為：4.有兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).要點歸納知識點二三角形全等的判定方法5.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).ABCDEF注意：①對應(yīng)相等.②“HL”僅適用直角三角形,③書寫格式應(yīng)為:∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，

AB=DE，

AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)要點歸納知識點二三角形全等的判定方法【例2】已知,∠ABC＝∠DCB,∠ACB＝∠DBC,求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD典型例題知識點二三角形全等的判定方法1.已知△ABC和△DEF,下列條件中,不能保證△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠DD.AB=DE,BC=EF,∠C=∠F2.如圖,AB與CD相交于點O,∠A=∠B,OA=OB添加條件

，所以△AOC≌△BOD理由是

.

D基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點二三角形全等的判定方法∠C=∠D∠AOC=∠BODAASASAODCBA全等三角形的性質(zhì)01全等三角形的判定02全等三角形的綜合應(yīng)用03利用全等三角形解決實際問題04知識點角平分線的性質(zhì)與判定05【例3】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于點G,交AB于點E,EF∥BC交AC于點F,求證：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG典型例題知識點三全等三角形的綜合應(yīng)用證明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90o.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE≌△AGC(ASA)，∴GE=GC.∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90o，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF∥BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.方法總結(jié)

利用全等三角形證明角相等,首先要找到兩個角所在的兩個三角形,看它們?nèi)鹊臈l件夠不夠；有時會用到等角轉(zhuǎn)換,等角轉(zhuǎn)換的途徑很多,如：余角,補角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等,必要時要想到添加輔助線.4.如圖,OB⊥AB于點B,OC⊥AC于點C,OB=OC,求證：∠BAO=∠CAO.OCBA證明:∵OB⊥AB,OC⊥AC，

基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點三全等三角形的綜合應(yīng)用∴∠BAO=∠CAO.∴∠B=∠C=90o.在Rt△ABO和Rt△ACO中，OB=OC，AO=AO，∴Rt△ABO≌Rt△ACO(HL)全等三角形的性質(zhì)01全等三角形的判定02全等三角形的綜合應(yīng)用03利用全等三角形解決實際問題04知識點角平分線的性質(zhì)與判定05【例4】如圖,兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上,旗桿與地面垂直,另一端分別固定在地面上的木樁上,兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？ABCD典型例題知識點四利用全等三角形解決實際問題解：相等,理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90o.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，

∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD=CD.如圖,有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀,A、B間的距離不能直接測得.你能用已學(xué)過的知識或方法設(shè)計測量方案,求出A、B間的距離嗎？基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點四利用全等三角形解決實際問題解：要測量A、B間的距離，可用如下方法：過點B作AB的垂線BF,在BF上取兩點C、D,使CD=BC,再作出BF的垂線DE,使A、C、E在一條直線上,∵∠ACB=∠ECD,CB=CD,∠ABC=∠EDC,∴△EDC≌△ABC(ASA).∴DE=BA.答：測出DE的長就是A、B之間的距離.CDE全等三角形的性質(zhì)01全等三角形的判定02全等三角形的綜合應(yīng)用03利用全等三角形解決實際問題04知識點角平分線的性質(zhì)與判定05圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E

角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)要點歸納知識點五角平分線的性質(zhì)與判定【例5】如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點,∠PCB+∠BAP=180o，求證:PA=PC.BACN))12PEF典型例題知識點五角平分線的性質(zhì)與判定證明：過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90o.∵∠PCB+∠BAP=180o,∠BAP+∠EAP=180o.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90o∠EAP=∠FCPPE=PF∴△APE≌△CPF(AAS)，∴AP=CP.如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點,PA=PC,求證:∠PCB+∠BAP=180o.BACN))12PEF證明:過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90o.PA=PC，PE=PF，在Rt△APE和Rt