數(shù)學(xué)分析課本(華師大三版)-習(xí)題及答案第六章第六章微分中值定理及其應(yīng)用一、填空題1．若a0,b0均為常數(shù)，則________。3axbx2xlimx02．若，則a______，b______。1acosxbsinx1x2limx03．曲線yex在x0點(diǎn)處的曲率半徑R_________。4．設(shè)y4x42，則曲線在拐點(diǎn)處的切線方程為x2___________。5．1___________。(1x)xelimx0x6．設(shè)f(x)x(x21)(x4)，則f(x)0有_________個(gè)根，它們分別位于________區(qū)間；7．函數(shù)f(x)xlnx在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的1,2__________；8．函數(shù)f(x)x3與g(x)1x2在區(qū)間上滿足柯西定0,2理?xiàng)l件的_____；9．函數(shù)ysinx在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件0,2的____；10．函數(shù)x的單調(diào)減區(qū)間是；__________f(x)ex211．函數(shù)yx3x的極大值點(diǎn)是______，極大值是3A.沒有實(shí)根B.有兩個(gè)實(shí)根C.有無窮多個(gè)實(shí)根D.有且僅有一個(gè)實(shí)根5．已知在處某鄰域內(nèi)連續(xù)，，f(x)x0f(x)x01cosxlim2則在處()。x0f(x)A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo)且C.取得極大值f'(0)2D.取得極小值6．設(shè)函數(shù)在區(qū)間1,內(nèi)二階可導(dǎo)，且滿足條f(x)件f(1)f(1)0，x1時(shí)，則在內(nèi)f(x)f(x)0g(x)1,x()A．必存在一點(diǎn)，使f()0B．必存在一點(diǎn)，使f()0C．單調(diào)減少D.單調(diào)增加7．設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，f(x)f(0)0limx01f(x)x則()A．是的極大值B.是的極小值f(0)f(x)f(0)f(x)C．是曲線yf(x)的拐點(diǎn)0,f(0)D．f(0)不是f(x)的極值，也不是曲線0,f(0)yf(x)的拐點(diǎn)8．若和在處都取得極小值，則函數(shù)f(x)g(x)xx0在處()xxF(x)f(x)g(x)0A．必取得極小值B.必取得極大值C.不可能取得極值D.是否取得極值不確定9．設(shè)由方程確定，且，yy(x)x3axy2by0y(1)1x123是駐點(diǎn)，則()A.ab3B.C.D.a2,b3a,b53a,b13222210．曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()y(x1)(x3)22A.0B.1C.2D.311．是大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x),g(x)，則當(dāng)時(shí)有()axbf'(x)g(x)f(x)g'(x)0A．B.f(x)g(a)f(a)g(x)f(x)g(b)f(b)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)12．曲線的漸近線有()xx112yearctanx2x1x2A．1條B.2條C.3條D.4條13．2xq的O點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()f(x)x3A．1B.2C.3D.個(gè)數(shù)與有關(guān)q1x14．曲線則曲線()t1bt1A．只有垂直漸近線B.只有水平漸近線C．無漸近線D.有一條水平漸近線和一條垂直漸近線15．設(shè)為的解，且，則有yf(x)yyesinx0f(x)00f(x)()A．的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加x0B．的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少x0C．處取得極小值x0D．處取得極大值x016.羅爾定理中的三個(gè)條件;在上連續(xù),在f(x)[a,b]內(nèi)可導(dǎo),且是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)(a,b)f(a)f(b)f(x)(a,b)).,使得成立的(f()0必要條件充分條件充要條(A)(B)(C)件既非充分也非必要(D)17.下列函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l[1,e]件的是().;;1(A)ln(lnx);(B)lnx(C)lnx(D)ln(2x);18.若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且是內(nèi)任意f(x)(a,b)x,x2(a,b)1兩點(diǎn),則至少存在一點(diǎn)使得下式成立().(a,b);(A)f(x)f(x)(xx)f()2112(B)f(x)f(x)(xx)f()xx212121(C)f(x)f(x)(xx)f()xx212211(D)f(x)f(x)(xx)f()xx22121119.設(shè)是內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),x,xx是內(nèi)的yf(x)(a,b)(a,b)任意兩點(diǎn),則().(A)yf(x)x在之間恰有一個(gè),使得yf()x(B)(C)(D)x,xx在之間至少存在一點(diǎn),使得yf()xx,xx對(duì)于與xx之間的任一點(diǎn),均有yf()xx20.若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)f(x)(a,b)(a,b)恒有f(x)f(x)(xx)2,則必有().x,x212121(A)f(x)0(B)f(x)x(D)f(x)c(C)f(x)x(常數(shù))21.已知函數(shù)f(x)(x1)(x2)(x3)(x4),則方程有f(x)0().分別位于區(qū)間內(nèi)的三個(gè)根;(1,2),(2,3),(3,4)(A)(B)四個(gè)根,它們分別為x1,x2,x3,x4;1234四個(gè)根,分別位于(C)(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);分別位于區(qū)間內(nèi)的三個(gè)根;(1,2),(1,3),(1,4)(D)22.若為可導(dǎo)函數(shù),為開區(qū)間內(nèi)一定點(diǎn),而f(x)且有(a,b),則在閉區(qū)間上必總有[a,b]xfx()0,()()0f().(A)f(x)0(B)f(x)0(C)f(x)0(D)f(x)023.若a3b0,則方程f(x)x3ax2bxc0().2無實(shí)根有唯一實(shí)根有(A)(B)(C)三個(gè)實(shí)根有重實(shí)根(D)24.若在區(qū)間[a,]上二次可微,且f(x)(),則方程在上f(x)00,()0,f(a)0f(a)Afaxa[a,]().沒有實(shí)根有重實(shí)根有無(A)(B)(C)窮多實(shí)根有且僅有一個(gè)實(shí)根(D)25.設(shè)f(x)為未定型,則存在是f(x)也g(x)f(x)limxxlimxxlimxxg(x)g(x)000存在的().必要條件充分條件充要條件(C)(A)(B)既非充分也非必要條件(D)26.指出曲線y的漸近線().x3x2沒有水平漸近線,也沒有斜漸近線;(A)為垂直漸近線,無水平漸近線;x3(B)(C)(D)既有垂直漸近線,又有水平漸近線;只有水平漸近線.27曲線1的漸近線有().x2xyex2arctan(x1)(x2)11條;4條;2條;3條;(A)(D)(B)(C)28．函數(shù)在x取得極值，則af(x)acosx1cos2x23（）。0；；1；12(A)(B)(C)2。(D)29．下列曲線集郵水平漸近線，又有垂直漸近線的是（）。sin2x；x3x；f(x)x23x1f(x)(A)(B)；。f(x)xex2ef(x)ln(3)(C)(D)x30．=（）。11xlimxx11；；；(A)(B)e(C)e1。(D)三、計(jì)算題1.試討論下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在一點(diǎn)ξ使得f′(ξ)=0：（1）f(x)=1,0x1π,xsinx0,x0;（2）f(x)=|x|,—|≤x≤|.2.求下列不定式極根:(1);(2)1-2sinx;cosx;e1xlimx0sinxlimxx(3)1n(1x)-x;(4)6limx0limtgx-xcosx-1x-sinxx0(5)tgx-6;xsecx5(6);lim(1x1ex1)limx0x2(7);(8);1-x1lim(tgx)sinxx0limxx1(9);(10);limsinxlnx1lim(1x2)xxx0(11);(12).lim(11)tgxlim()x01x2xsin2xxx023.求下列不定式極限:(1);limlncos(x1)xx11sin2(2)lim(π2arctgx)lnx;(3)xlimxsinxx0(4)lim(tgx)tg2xxx4(5)(6)limln(1x)(1x)1x2xx0lim(ctgx1);xx0(7)(8);1lim(1x)xexx0.1lim(arctgx)lnx2x4.求下列函數(shù)在提定點(diǎn)處帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式:(1)f(x)=x3+4x2+5,在x=1處;(2)f(x)=在x=0處;11x,(3)f(x)=cosx的馬克林公式.5.求下列函數(shù)帶皮亞諾型余項(xiàng)的馬克勞林公式：（1）f(x)=arctgx到含x5的項(xiàng)；（2）f(x)=tgx到含x5的項(xiàng).6.求下列極限:(1)(3);exsinxx(1x)1limx0;(2)limxx2ln(1)xx3x.11lim(ctgx)xxx07.估計(jì)下列近似公式的絕對(duì)誤差:(1);sinxx,當(dāng)|x|1x362(2)當(dāng)x∈[0,1].xx2821x1,8.計(jì)算:(1)數(shù)e準(zhǔn)確到10-9;(2)lg11準(zhǔn)確到10-5.1.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=2x2-lnx;(3)f(x)=2xx2;(4)f(x)=.x12x9.求下列函數(shù)的極值.(1)f(x)=2x3-x4;(2)f(x)=2x;1x2(3)f(x)=(|nx);(4)f(x)=arctgx-1ln(1+x2).2x210.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值:(1)y=x5-5x4+5x3+1,[-1,2];(2)y=2tgx-tg2x,[0,];2(3)y=lnx,(0,+∞).x11.把長(zhǎng)為1的線段截為兩段,問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積為最大?12.一個(gè)無蓋的圓柱形容器,當(dāng)給定體積為V時(shí),要使容器的表面積為最小,問底的半徑與容器的高的比例應(yīng)該怎樣?13.設(shè)用某儀器進(jìn)行測(cè)量時(shí),讀得n次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為a1,a2,…,an.問以怎樣的數(shù)值x表達(dá)所要測(cè)量的真值，才能使它與這n個(gè)數(shù)之差的平方和為最小？14.求下列函數(shù)的極值:(1)f(x)=|x(x2-1)|;(2)f(x)=;(3)x(x21)x4x21f(x)=(x-1)2(x+1)3.15.設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2處都取得極值;試定出a與b的值;并問這時(shí)f在x1與x2是取得極大值還是極小值?16.求正數(shù)a,使它與其倒數(shù)之和為最小.17.要把貨物從運(yùn)河邊上A城運(yùn)往與運(yùn)河相距為BC=a千米的B城(見圖7-1).輪船運(yùn)費(fèi)的單價(jià)是α元/千米.火車運(yùn)費(fèi)的單價(jià)是β元/千米(β>α),試求運(yùn)河邊上的一點(diǎn)M,修建鐵路MB,使總運(yùn)費(fèi)最省.18.確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn):(1)y=2x3-3x2-36x+25;(2)y=x+1;x(3)y=x2+1;(4)y=ln(x2+1);x19.問a和b為何值時(shí),點(diǎn)(1,3)為曲線y=ax3+bx3的拐點(diǎn)?四、證明題1.證明：（1）方程x3—3x+c=0（這里C為常數(shù)）在區(qū)間[0，1]內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；（2）方程xn+px+q=0(n為自然數(shù)，p，q為實(shí)數(shù))當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)至多有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)至多有三個(gè)實(shí)根。2.證明：（1）若函數(shù)f在[a，b]上可導(dǎo)，且(x)f≥m，則f(b)≥f(a)+m(b-a);(2)若函數(shù)f在[a,b]上可導(dǎo)，且|(x)|≤M，則f|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.3.應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：（1）bba，其中0<a<b;ba1nbaa（2）h<arctgh<h，其中h>0.1h24.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可導(dǎo)。證明：存在ξ∈（a,b），使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)(ξ).f5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)a具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。證明：.f(ah)f(ah)2f(a)f''(a)limh2h06.試討論函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x3在閉區(qū)間[-1，1]上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么？7.設(shè)0<α<β<，試證明存在θ∈(a,b)，使得2ctgθ.sinasincoscosa8.設(shè)h>0，函數(shù)f在[a-h,a+h]上可導(dǎo)。證明：（1），θ∈（0，1）；f'(ah)f'(ah)f(ah)f(ah)h（2），θ∈（0，1）.f'(ah)f'(ah)f(ah)f(a)f(ah)h9.以S(x)記由（a,f(a)）,(b,f(b)),(x,f(x))三點(diǎn)組成的三角形面積，試對(duì)S(x)應(yīng)用羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理。10.若函數(shù)f,g和h在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，證明存在實(shí)數(shù)ξ∈(a,b)，使得f(a)g(a)h(a)=0.f(b)g(b)h(b)f'()g'(ξ)h'(ξ)再?gòu)倪@個(gè)結(jié)果導(dǎo)出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11.設(shè)f為[a,b]上二階可導(dǎo)函數(shù)，且f(a)=f(b)=0,并存在一點(diǎn)c∈（a,b）使得f(c)>0.證明至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得f(ξ)<0.12.證明達(dá)布定理：若f在[a,b]上可導(dǎo)，且(a)f≠f(b),k為介于(a)與(b)之間的任一實(shí)數(shù)，則ff至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=k.13.設(shè)函數(shù)f在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f＇單調(diào)。證明f＇在（a,b）內(nèi)連續(xù)。14.證明：設(shè)f為n階可導(dǎo)函數(shù)，若方程f（x）=0有n+1個(gè)相異實(shí)根，則方程f(n)(x)=0至少有一個(gè)實(shí)根。15.設(shè)p(x)為多項(xiàng)式，α為p(x)=0的r重實(shí)根。證明：α必定是p＇(x)=0的r-1重實(shí)根。16.證明：（1）設(shè)f在（a,+∞）上可導(dǎo),若和都limf(x)xlimf'(x)x存在,則=0;limf'(x)x(2)設(shè)f在(a,+∞)上n階可導(dǎo).若和都limf(x)xlimf(x)xk存在,則=0,(k=1,2,…,n)。limfk(x)x17.設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),試應(yīng)用羅比塔法則證明:limf(ah)f(a-h)-2f(a)f''(a)h2h018.對(duì)函數(shù)f在區(qū)間[0,x]上應(yīng)用拉格朗日中值定理有f(x)-f(0)=f＇(θx)x,θ∈(0,1).試證對(duì)下列函數(shù)都有1;limx02(1)f(x)=ln(1+x);(2)f(x)=ex.19.設(shè)f(0)=0,f＇在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù),且f＇(0)=0.證明:.limxf(x)1x020.證明定理6.5中l(wèi)imf(x)0,limg(x)0情形時(shí)的羅比xx塔法則:若(i)limfx0,lim(x)0xx(ii)存在M0>0,使得f與g在(M0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且g＇(x)≠0;(iii)A(A為實(shí)數(shù),也可為±∞或g'(x)limf'(x)limf'(x)g'(x)xx∞),則limf(x)limf'(x)Ag(x)g'(x)xx21.證明:f(x)xe為有界函數(shù).3x222.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式.(1)tgx>x-x3;;3,x(0,π3)(2)2πxsinxx,x(0,π2)(3)xπ2|n(1x)x2(1x),x0x2223.設(shè)1.xsin2,x0,4f(x)x0,x0(1)證明:x=0是函數(shù)f的極小值點(diǎn);(2)說明在f的極小值點(diǎn)x=0處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件.24.證明:設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(x)在x=b連續(xù),則當(dāng)(x)≥0(a<x<b)時(shí),對(duì)一切x∈(a,b)有f(x)≤ff(b),當(dāng)(x)≤0(a<x<b)時(shí),對(duì)一切x∈(a,b)有f(x)f≥f(b).25.證明:若函數(shù)f在點(diǎn)x0處有f+(x0)<0(>0),f_(x0)>0(<0),則x0為f的極大(小)值點(diǎn).26.證明：若函數(shù)f,g在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),且(x)>(x),f(a)=g(a),則在內(nèi)有f(x)>g(x).a,bfg27.證明:tgxx.πx,x0,sinx228.證明:(1)若f為凸函數(shù),λ為非負(fù)實(shí)數(shù),則λf為凸函數(shù);(2)若f、g均為凸函數(shù)，則f+g為凸函數(shù)；(3)若f為區(qū)間I上凸函數(shù),g為Jf(I)上凸的遞增函數(shù),則gof為I上凸函數(shù).29.設(shè)f為區(qū)間I上嚴(yán)格凸函數(shù).證明:若X0∈I為f的極小值點(diǎn),同x0為f在I上唯一的極小值點(diǎn).30.應(yīng)用凸函數(shù)概念證明如下不等式:(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,有;ab1e(ee)ab22(2)對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,有2arctg≥arctga+arctgb.ab231.證明:若f.g均為區(qū)間I上凸函數(shù),則F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸函數(shù).32.證明:(1)f為區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是對(duì)I上任意三點(diǎn)x1<x2<x3,恒有1Δ11xf(x)≥0.11xf(x)22xf(x)33(2)f為嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意x1<x2<x3,△>0.33.應(yīng)用詹禁不等式證明:(1)設(shè)ai>0(i=1,2,…n)，有.aaa12nn11aa(2)設(shè)ai,bi>0(I=1,2,…,n),有1naaan12nan121，81nnmab(a)(bq)ppiiii1i1i1其中P>0,q>0,=1.11pq五、考研復(fù)習(xí)題1.證明:若f(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且limf(x),則至少存在一點(diǎn)ξ∈a,b),使limf(x)xaxb(ξ)=0.f2.證明:若x>0,則(1)(2),其中1;12x(x)14(x)2x1x1.lim(x)14,lim(x)3.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且ab>0.2x0x證明存在ξ∈(a,b),使得.ab1f()f()abf(a)f(b)4.設(shè)f在[a,b]上三階可導(dǎo),證明存在ξ∈(a,b),使得.f(b)f(a)1(ba)[f(a)f(b)]1(ba)f()32125.對(duì)f(x)=ln(1+x)應(yīng)用拉格朗日中值定理,證明:對(duì)x>0有.10ln(1x)1x16.證明:若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)>0,則對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2,都有,f(x)f(x)fxx121222其中等號(hào)僅在x1=x2時(shí)才成立.7.證明:第6題中對(duì)(a,b)內(nèi)任意n個(gè)點(diǎn)x1,x2…,xn也成立nx，1nkf(x)fk1nnkk1其中等號(hào)也僅在x1=x2=…=xn時(shí)才成立。8.應(yīng)用第7題的結(jié)果證明：對(duì)任意n個(gè)正數(shù)x1,x2,…,xn恒成立，x1x2xnnxxxn12n即算術(shù)平均值不小于幾何平均值。9.設(shè)a1,a2,…,an為n個(gè)正實(shí)數(shù)，且a