對數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識網(wǎng)絡對數(shù)與對數(shù)函數(shù)構造簡圖畫龍點晴觀點對數(shù)：假如aa0,a1的b次冪等于N,就是abN，那么數(shù)b叫做a為底N的對數(shù)，記作logaNb，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。對數(shù)的性質:(1)零和負數(shù)沒有對數(shù);(2)logaa1；(3)loga1=0.常用對數(shù)：以10作底log10N寫成lgN.自然對數(shù)：以e作底e為無理數(shù)，e=2.71828，logeN寫成lnN。對數(shù)的運算性質：積、商、冪、方根的對數(shù)假如a>0,a1,M>0,N>（1）loga(MN)logaMlogaN（2）logaMlogaMlogaNN（）nnlogaM(nR)0有：3logaM對數(shù)恒等式:alogaNN.兩個較為常用的推論：1logablogba1;2logambnnlogabm（a,b>0且均不為1）.[活用實例][例1]計算：log9log4381log2323log3462527，，，5.則ax27,32x33∴x3[題解]設xlog927,2;4xx設令令

xlog381則381343416;,,∴xlog323log231x1x223,∴2323,∴x1;=354x4log5625625x34∴x5.x∴,55,,[例2]計算：log155log1545+(log153)2.[題解1]原式=log155(log153+1)+(log153)2=log155+log153(log155+log153)=log155+log153log1515=log155+log153=log1515.log1515log15(153)(log153)2[題解2]原式=3=(1-log153)(1+log153)+(log153)2=1-(log153)2+(log153)2=1.換底公式：[活用實例]

logaN

logmNlogma.111[例3]設x,y,z（0，）x2yz；（2）比較3x,4y,且3x=4y=6z，（1）求證：6z的大小。[題解]（1）設3x=4y=6z=k，由于x,y,z（0，），因此k>1，取對數(shù)得lgklgklgkx=lg3,y=lg4,z=lg6，11lg3lg42lg3lg42lg32lg2lg61因此x2ylgk2lgk2lgk2lgklgkz;34)lg64lg81lgk(2)3x-4y=lgk(lg3lg4lg3lg446)lgklg36lg64又4y-6z=lgk(lg4lg6lg2lg6[例4]已知log189=a,18b=5,示）.

lgklg64810lg3lg4，因此3x<4y.lgk9lg16lg2lg6<0，因此4y<6z，則3x<4y<6z.求log3645（用a,b表log18182a[題解]∵log189=a1log18∴2∵18b=5∴l(xiāng)og185=b

∴l(xiāng)og182=1a∴[活用實例]

log3645log1845log189log185ablog18361log1822a.對數(shù)函數(shù)：函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)；它是指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)的反函數(shù)。對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,)，值域為R。對數(shù)函數(shù)的圖象和性質:[活用實例][例5]比較以下各數(shù)大?。汉?log0.30.7與log0.40.3（1）;（2）3

12;（3）log0.30.1和log0.20.1.[題解](1)∵log0.30.7log0.30.31,log0.40.3log0.40.41,∴l(xiāng)og0.30.7log0.40.3;1111221log3.40.7log0.60.8(2)∵0log0.60.81log3.40.703;,∴3log0.30.110log0.20.110(3)log0.10.3,log0.10.2∵log0.10.3log0.10.2∴l(xiāng)og0.30.1log0.20.1.[例6]ylog1(x24x5)求函數(shù)3的定義域、值域。[題解]函數(shù)存心義，一定：x24x50x24x501x5由進而

1x5∴在此區(qū)間內292(x4x5)max，∴0x4x59log1(x24x5)log1922。33即：值域為y[例7]已知f(x)1logx3，g(x)2logx2試比較f(x)和g(x)的大小。3x[題解]f(x)g(x)logx4,當當

x140x13x1x03x10x1344時，f(x)g(x);或3x即x4413時，f(x)g(x);x040x103x11x3x1x33當44時，f(x)g(x);或x(0,1)(4,)g(x)；x4x(1,4)時f(x)g(x)。綜上所述：3時f(x)3時f(x)g(x)；3[例8]求函數(shù)ylog1(x23x18)2的單一區(qū)間，并用單一性的定義賜予證明。[題解]定義域x23x180x6或x3，單一區(qū)間是(6,),設x1,x2(6,)且x1x2y1log1(x123x118)y2log1(x223x218)則2，22218)=(x2x1)(x2x13)(x13x118)(x23x2∵x2x16∴x2x10，x2x130∴x223x218x123x11811又底數(shù)0，∴y2y10即y2y1，∴y在(6,)上是減函數(shù)。2[例9]f(x)=2x,設f(x)的反函數(shù)為f–1(x).（1）若對于x的方程f–1(ax)f1(ax2)=f–1(16)的解都在區(qū)間（0，1）內，務實數(shù)a的范圍；a（2）若函數(shù)f–1(x+x-3)在區(qū)間2,上單一遞加，求正實數(shù)a的取值范圍。[題解]f(x)=2x，f–1(x)=log2x.原方程化為log2(ax)log2(ax2)=log216(log2a+log2x)(log2a+2log2x)=42log22x+3log2alog2x+log22a-4=0,令log2x=t<0,方程2t2+3log2at+log22a-4=0的根為負，9log22a8(log22a4)0t1t23log2a02t1t21(log22a4)02

解得log2a>2,a>4.aa(2)f–1(x+x-3)=log2(x+x-3)在區(qū)間2,上單一遞加，aag(x)=x+x-3在區(qū)間2,上恒為正且單一遞加，g(2)>2+2-3>0,x1x2a即a>2,且當2x1<x2時，恒有g(x2)-g(x1)=(x2-x1)x1x2>0成立，x2-x1>0,x1x2>4,a4,又a>2,a的取值范圍為2,4.f(x)12x)1[例10]設xloga(ax)loga(a1，最小值是8，2,8，函數(shù)2的最大值是求a的值。[題解]f(x)1(logax1)(logax2)1loga2x3logax21(logax3)2122228.[f(x)]min13由題設，∵logax2，又∵x2,8∴a(0,1)8這時∵f(x)是對于logax的二次函數(shù)，∴函數(shù)最大值或最小值必在x2或x8時獲得。132131x231122(loga22)3，∵獲得最小值時這時x2,8舍若28，則a2去.131111(loga8)8a此時獲得最小值時x若22,則22

3222[2,8]切合題意,a

12.函數(shù)的應用題,成立數(shù)學模型的一般步驟是：（1）仔細審題，正確理解題意，達到以下要求：一是明確問題屬于哪種應用題；二是弄清題目中的主要已知事項；三是明確所求的結論是什么。2）抓住數(shù)目關系，聯(lián)想數(shù)學知識和數(shù)學方法，適合引入?yún)?shù)變量或成立適合坐標系，將文字語言翻譯成數(shù)學語言，將數(shù)目關系用數(shù)學式子表達；3）將實質問題抽樣抽象為數(shù)學識題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學關系式（如函數(shù)關系或方程）。4）成立函數(shù)模型.應用問題的解答絕大多數(shù)是經(jīng)過成立模型（經(jīng)常是函數(shù)模型）并借助圖象和性質來進行研究的，研究結果再應用于實踐。[例11]如圖，已知⊙O的半徑為R，由直徑AB的端點B作圓的切線，從圓周上任一點P引該切線的垂線，垂足為M，連AP設AP=xP寫出AP+2PM對于x的函數(shù)關系式;ADO求此函數(shù)的最值。設AD=a則x22Ra，ax2[題解]（1）過P作PDAB于D，連PB2R，x2PM2R2R，f(x)AP2PMx2x4Rx2R).∴R，(0f(x)1(xR)217R（2）R24，xRf(x)max17R當x2R時f(x)min2R。當2時4;[例12]已知某商品的價錢每上升x%，銷售的數(shù)目就減少mx%，此中m為正常數(shù)。m

1（1）當2時，該商品的價錢上升多少，就能使銷售的總金額最大？（2）假如適合的漲價，能使銷售總金額增添，求m的取值范圍。[題解]（1）設商品此刻訂價a元，賣出的數(shù)目為b個。由題設：當價錢上升x%時，銷售總數(shù)為ya(1x%)b(1mx%)yab[mx2100(1m)x10000]即10000m1yab[(x50)222500]，當x=50ymax9ab取2得：20000時，8.即該商品的價錢上升50%時，銷售總金額最大。(2)yab[mx2100(1m)x10000]∵二次函數(shù)10000(x,50(1m)][50(1m),)在m上遞加，在m上遞減,50(1m)0∴適合地漲價，即x>0,m即,就是0<m<1,能使銷售總金額增添。[例13]一物體加熱到T0C時，移入室內，室溫保持常溫aC，這物體漸漸冷卻，經(jīng)過t分后，物體的溫度是TC，那么T與t之間的關系有以下形式Ta(Toa)ekt，k為常數(shù)），現(xiàn)有加熱到100C的物體，（這里e=2.71828移入常溫為20C的室內，經(jīng)過20分后，物體的溫度是80C，求：（1）經(jīng)過20分后，物體的溫度是多少度?（精準到1C）（2）經(jīng)過多少分（精準到1分），物體的溫度是30C？[題解]將T0=100,T=80,a=20,t=10代入關系式Ta(Toa)ekt得：8020(10020)e10k化簡得：e10k0.75兩邊取自然對數(shù)，并計算