8.3簡單幾何體的表面積與體積預(yù)備知識——平面圖形的面積1.多面體的表面積公式多面體的表面積：圍成它的各個面的面積之和。如：棱長為2的正四面體的表面積2.多面體的體積公式(S,h分別為棱柱的底面積和高)(1)棱柱的體積：(2)圓/棱錐的體積：(S,h分別為棱錐的底面積和高)圓柱體積：(r,h分別為圓柱的底面半徑和圓柱的高)祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”：兩個等高的幾何體，若在等高處的截面積總相等，則體積相等。前后體積不變底面積和高都相等的棱柱，體積相等。祖暅原理——推導(dǎo)棱錐體積公式底面積和高都相等的棱錐，體積相等。兩個等高的幾何體，若在等高處的截面積總相等，則體積相等。將三棱柱分割成3個小三棱錐，由等底等高易證得V1=V2=V32.多面體的體積公式(S,h分別為棱柱的底面積和高)(1)棱柱的體積：(2)棱錐的體積：(S,h分別為棱錐的底面積和高)(3)棱臺的體積：(S',S分別為上/下底面積，h為棱臺的高)推廣：圓臺體積(r',r分別為上/下底半徑，h為圓臺的高)棱臺是由棱錐截出來的，因此可利用兩個錐體的體積差，得到棱臺的體積公式．推導(dǎo)棱臺體積公式根據(jù)面積比=相似比的平方，得S為底面面積，h為柱體高S分別為上、下底面面積，h為臺體高S為底面面積，h為錐體高上底擴(kuò)大上底縮小柱體、椎體、臺體體積公式的關(guān)系[變式]如圖，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為_________,體積為_______.P119-1.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，且4個頂點(diǎn)A,B,C,D在同一個平面內(nèi)，若四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形，則該八面體的表面積為____.小結(jié)(S,h分別為棱/圓柱的底面積和高)(1)柱體體積：(2)錐體體積：(S,h分別為棱/圓錐的底面積和高)(3)棱臺體積：(S',S分別為上/下底面積，h為棱臺的高)圓臺體積：(r',r分別為上/下底半徑，h為圓臺的高)[變式]如圖，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為_________,體積為_______.P119-1.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，且4個頂點(diǎn)A,B,C,D在同一個平面內(nèi)，若四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形，則該八面體的表面積為____.

P120-3.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱AA1=8，若側(cè)面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水面高為多少？解：設(shè)底面ABC的面積為S，

底面ABC水平放置時，水面高為h.3.如圖，棱長為1的正方體的8個頂點(diǎn)中，有4個為正四面體的頂點(diǎn)，(1)這個正四面體與正方體的表面積之比為_________.(2)三棱錐B-ACB1的體積為_________.(3)正四面體B1-ACD1的體積為_________.(換底法)(割補(bǔ)法)求三棱錐體積通常可用換底法(也叫等積法).P116-3.廣場的石凳：棱長為50cm的正方體石塊截去八個相同的四面體，求表面積or體積(割補(bǔ)法)變式練習(xí).“魯班鎖”玩具：每條棱的長均為2，則該魯班鎖玩具的表面積為（

）魯班鎖可看成是1個棱長為_______的正方體截去了8個底面邊長為___，側(cè)棱為___的正三棱錐所余下來的幾何體.22魯班鎖可看成由6個邊長為__的正六邊形和8個邊長為__的正三角形圍成的多面體.P119-2.如圖，將一個長方體沿相鄰3個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比.[變式]設(shè)長方體的長寬高分別為4,3,5，求棱錐B'-A'C'B的體積.(換底法)綠優(yōu)-5.如圖，正方體棱長為1，E,F分別為棱AA1,B1C上的點(diǎn)，求三棱錐D1-EDF的體積.(換底法)(割補(bǔ)法)4.如圖，多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，EF⊥面FBC，則該多面體的體積為_________.(分割法)[變式]如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD是邊長為4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，則該多面體的體積為_____.(分割法+換底法)新知：旋轉(zhuǎn)體的表面積公式(1)圓柱的表面積：O(l為圓柱的母線長)(2)圓錐的表面積：(l為圓錐的母線長，S錐側(cè)=πrl)(3)圓臺的表面積：扇環(huán)面積=大圓錐側(cè)-小圓錐側(cè)(l為圓臺的母線長，S臺側(cè)=π(r+r')l)P119-1.已知圓錐的表面積為am2，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，求這個圓錐的底面半徑.rl2πr解：[變式]若圓錐的表面積為14π，且其側(cè)面展開圖的圓心角為60°，求這個圓錐體積.解：新知：球的表面積和體積公式(1)球的表面積：(2)球的體積：體積公式推導(dǎo)法1(祖暅法)祖暅原理：兩個等高的幾何體，若在等高處的截面積總相等，則體積相等。3.球的表面積和體積公式(1)球的表面積：(2)球的體積：體積公式推導(dǎo)法2(極限法)OABCD把球O的表面分成n個小網(wǎng)格,連接球心O和每個小網(wǎng)格的頂點(diǎn),整個球體就被分割成n個“小錐體”.當(dāng)n越大，每個小網(wǎng)格越小，每個“小椎體”的底面越平，“小椎體”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R.O例3.如右圖，某種浮標(biāo)由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m.

如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料?

(π取3.14)解：一個浮標(biāo)的表面積為S表=2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2)

∴給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆所需涂料約為0.8478×1000×0.5=423.9(kg).公式運(yùn)用公式運(yùn)用P119例4.如圖所示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，

(1)求球與圓柱的體積之比.(2)求球與圓柱的表面積之比.OR解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.即球與圓柱的體積和表面積之比均為2:3！

這是我生平最得意的定理！圓柱容球P119-2.當(dāng)一個球的半徑滿足什么條件時，其體積和表面積的數(shù)值相等？解：由S球=V球，得解得