小波變換發(fā)展和應用第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個不相關的領域：包括語音識別中的鏡向濾波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時波形處理等。當在某一個分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。例如：第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日小波分析是純數(shù)學、應用數(shù)學和工程技術的完美結合。從數(shù)學來說是大半個世紀“調和分析”的結晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀最輝煌科學成就之一。在計算機應用、信號處理、圖象分析、非線性科學、地球科學和應用技術等已有重大突破，預示著小波分析進一步熱潮的到來。

第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

“小波分析”是分析原始信號各種變化的特性，進一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號：是高音還是低音，發(fā)聲時間長短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對“原始信號”進行分解。

第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日小波的時間和頻率特性運用小波基，可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化。時間：提取信號中“指定時間”（時間A或時間B）的變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時間A時間B第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日

參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日小波的3個特點小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：

第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日小波基表示發(fā)生的時間和頻率“時頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時間采樣基第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日信號的時頻分析：信號時頻分析的重要性：時間和頻率是描述信號的兩個最重要的物理量。信號的時域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。信號時頻分析的主要方法：第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日反映傅立葉變換缺點的一個例子：

第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日傅立葉變換的缺點：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日解決傅立葉變換缺點的方法：

第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：假設f(t)L2(R)，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義為：窗口傅立葉變換的物理意義：若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(,b)給出的是f(t)在局部時間范圍[b-Dt/2,b+Dt/2]內的頻譜信息。有效窗口寬度Dt越小，對信號的時間定位能力越強。第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換的頻域性質：問題的提出：窗口傅立葉變換WFg(,b)=<f(t),g,b(t)>給出的是信號在時域上的處理信息，一個很自然的問題是窗口傅立葉變換在頻域上是怎樣處理信號的？假設f(t)的傅立葉變換為F()，g,b(t)的傅立葉變換為G,b()，則根據(jù)Parseval定理有：WFg(,b)=<F(),G,b()>/(2)窗口傅立葉變換頻域上的物理意義：若G()的有效窗口寬度為D，則WFg(,b)給出的是F()在局部頻率范圍[-D

/2,+D

/2]內的頻譜信息。有效窗口寬度D越小，對信號的頻率定位能力越強。第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換的性能分析：問題的提出：窗口傅立葉變換是否既具有強的時間定位能力，又具有強的頻率定位能力？選擇什么樣的窗函數(shù)才能使得窗口傅立葉變換具有好的性能？解決問題的思想：從物理意義上來看Dt和D是矛盾的，因此先定義Dt和D后，再計算Dt和D的乘積用以作為判斷窗口傅立葉變換性能的依據(jù)。第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換的性能分析：具體分析過程：假設：定義：第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換的性能分析：計算Dt2×D2：海森堡測不準原理第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換的性能分析：等號成立條件：結論：窗口傅立葉變換的時間分辨率和頻率分辨率不可能同時提高，只能以一種分辨率的降低來換取另一種分辨率的提高。以高斯函數(shù)作為窗函數(shù)相對來說綜合效果最好。第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日解決窗口傅立葉變換缺點的方法：問題的提出：窗口傅立葉變換窗口沒有自適應性，只適合分析所有特征尺度大致相同的信號，不適于分析多尺度信號和突變過程。解決方法：引入窗口變化機制，同時求各種窗口大小下的變換，這樣變換系數(shù)中就同時包含各種特征尺度下信號的信息。第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日小波變換的分類：連續(xù)小波變換時間、控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換時間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時間、控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)都離散的小波變換。第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：假設信號f(t)L2(R)，則它的連續(xù)小波變換定義為：尺度伸縮參數(shù)時間平移參數(shù)歸一化因子第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的物理意義：時域上的意義：數(shù)學顯微鏡（一組有效寬度不同的窗口傅立葉變換的匯集）第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換：頻域上的意義：若f(t)的傅立葉變換為F()，a,b(t)的傅立葉變換為a,b()，則根據(jù)Parseval定理，有：第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換：“恒Q性質”：假設(t)的中心為t0，有效寬度為Dt；()的中心為0，有效寬度為D；則a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2,b+at0+aDt/2]|中的性質，相應地從頻域上說a,b()提取地是F()在窗口[0/a-D/(2a),0/a+D/(2a)]中的性質，因此對于小波來說時域窗口寬度和頻域窗口寬度的乘積始終為DtD。第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日母小波的例子：Harr小波：第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日母小波的例子：Mexico草帽小波：第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日母小波的例子：Morlet小波：第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的逆變換：連續(xù)小波變換逆變換存在的可能性：窗口寬度任意調節(jié)，在時域上或頻域上能完全恢復出信號的信息。連續(xù)小波變換結果有很大的冗余度。以a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：假設f(t)、(t)L2(R)：第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的逆變換：證明思路：第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日母小波的容許條件：從逆變換公式可以看出母小波的容許條件為：第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的逆變換的其他形式：以不等于a,b(t)的小波函數(shù)a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：互為對偶關系第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日小波變換的分類：連續(xù)小波變換時間、控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換時間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時間、控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)都離散的小波變換。第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日尺度和時移參數(shù)的離散化：問題的提出：連續(xù)小波變換中含有很多冗余信息，冗余信息不利于對信號的分析和處理。連續(xù)小波變換的計算量也大。由于連續(xù)小波變換中有冗余信息，可能對尺度和時移參數(shù)進行離散化后仍可重構信號。尺度和時移參數(shù)離散化要解決的問題：尺度和時移參數(shù)要怎樣離散化？尺度和時移參數(shù)離散化后要想重構信號對小波函數(shù)應有什么樣的要求？第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日尺度和時移參數(shù)的離散化：尺度和時移參數(shù)離散化的方法：尺度參數(shù)的離散化：

a=a0j,jZ（通常取a0的值為2，稱為二進小波）時移參數(shù)的離散化：取決于尺度參數(shù)

b=k×a0j,j,kZ第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日尺度和時移參數(shù)的離散化：離散化后的小波變換：怎樣選擇小波函數(shù)才能夠重構信號：小波函數(shù)仍應滿足連續(xù)小波變換中的容許條件。小波函數(shù)的選擇與離散化的程度有關系，離散化參數(shù)取樣間隔很小時對小波函數(shù)的限制也小，而離散化參數(shù)的取樣間隔很大是對小波函數(shù)的限制也會很大。第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日尺度和時移參數(shù)的離散化：重構信號小波函數(shù)應滿足的條件（框架理論）：對任意的f(t)L2(R)，稱{j,k}為一個框架，如果存在正參數(shù)A和B（0AB<），使得：分析小波