生活中的優(yōu)化問題舉例1．某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數(shù)關系是y＝f(x)，假設f(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較()A．公司已經虧損B．公司的盈利在增加，且增加的幅度變大C．公司在虧損且虧損幅度變小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度變小答案D解導數(shù)為正說明盈利是增加的，導數(shù)變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的．2．某公司生產一種產品，固定成本為20000元，每生產一單位的產品，成本增加100元，若總收入R與年產量x(0≤x≤390)的關系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x,0≤x≤390，則當總利潤最大時，每年生產的產品單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300答案D解析由題意可得總利潤P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，所以P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.當0≤x<300時，P′(x)>0，當300<x≤390時，P′(x)<0，所以當x＝300時，P(x)最大．3．一點沿直線運動，如果由始點起經過t秒運動的距離為s＝eq\f(1,4)t4－eq\f(5,3)t3＋2t2，那么速度為零的時刻是()A．1秒末B．0秒C．4秒末 D．0,1,4秒末答案D解析s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，故選D．4．設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()A．eq\r(3,V)B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)答案C解析設底面邊長為x，高為h，∴eq\f(\r(3),4)x2·h＝V，∴h＝eq\f(4V,\r(3)x2)＝eq\f(4\r(3)V,3x2).∴S表＝2·eq\f(\r(3),4)x2＋3x·h＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)(x>0)，S′(x)＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′(x)＝0可得eq\r(3)x＝eq\f(4\r(3)V,x2)，x3＝4V，x＝eq\r(3,4V).當0<x<eq\r(3,4V)時，S′(x)<0；當x>eq\r(3,4V)時，S′(x)>0，∴當x＝eq\r(3,4V)時S(x)最?。?．內接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．RB．2RC．eq\f(4,3)RD．eq\f(3,4)R答案C解析設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，∴V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.V′＝0時，得h＝eq\f(4,3)R或h＝0(舍去)．當0<h<eq\f(4,3)R時，V′>0；當eq\f(4,3)R<h<2R時，V′<0，∴h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．6．若商品的年利潤y(萬元)與年產量x(百萬件)的函數(shù)關系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產量為________百萬件．答案3解析依題意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，當0<x<3時，y′>0；當x>3時，y′<0.因此，當x＝3時，該商品的年利潤最大．7.圓柱形金屬飲料罐的體積一定，要使生產這種金屬飲料罐所用的材料最省，它的高與底面半徑之比為()A．2∶1B．1∶2C．1∶4 D．4∶1答案A解析設其體積為V，高與底面半徑分別為h，r，則V＝πr2h，即h＝eq\f(V,πr2).由題意，知當表面積S最小時所用材料最?。甋＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·eq\f(V,πr2)＝2πr2＋eq\f(2V,r).令S′＝4πr－eq\f(2V,r2)＝0，得r＝eq\r(3,\f(V,2π))，當r＝eq\r(3,\f(V,2π))時，h＝eq\f(V,π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))))2)＝eq\r(3,\f(4V,π))，則h∶r＝2∶1時，所用材料最?。?．做一個容積為256升的方底無蓋水箱，那么用料最省時，它的底面邊長為()A．5分米B．6分米C．7分米 D．8分米答案D解析設底面邊長為x分米，則高為h＝eq\f(256,x2)，其表面積S＝x2＋4·eq\f(256,x2)·x＝x2＋eq\f(256×4,x)(x>0)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，則x＝8.當0<x<8時S′<0，當x>8時S′>0，故x＝8時S最?。?.用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊形折起，就能焊成鐵盒．所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()A．6cmB．8cmC．10cm D．12cm答案B解析設四角截去的小正方形邊長為xcm，則V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0<x<24)，V′＝12x2－8×48x＋482＝12(x2－8×4x＋48×4)＝12(x－24)·(x－8)．當0<x＜8時，V′＞0；當8＜x＜24時，V′＜0，∴V在x＝8處取最大值，故選B.10.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，當行駛每千米的費用總和最小時，此輪船的航行速度為________．答案20km/h解析設輪船的速度為xkm/h時，燃料費用為Q元，則Q＝kx3(k≠0)．因為6＝k×103，所以k＝eq\f(3,500)，所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以行駛每千米的費用總和為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)(x＞0)．所以y′＝eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2).令y′＝0，解得x＝20.因為當x∈(0,20)時，y′＜0，此時函數(shù)單調遞減；當x∈(20，＋∞)時，y′＞0，此時函數(shù)單調遞增，所以此輪船以20km/h的速度行駛時，每千米的費用總和最?。?1.某廠生產某種產品x件的總成本c(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(萬元)，已知產品單價的平方與產品件數(shù)x成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，則產量定為________件時，總利潤最大．答案25解析設產品的單價為p萬元，根據(jù)已知，可設p2＝eq\f(k,x)，其中k為比例系數(shù)．因為當x＝100時，p＝50，所以k＝250000，所以p2＝eq\f(250000,x)，p＝eq\f(500,\r(x))(x>0)．設總利潤為y萬元，則y＝eq\f(500,\r(x))·x－1200－eq\f(2,75)x3＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200.求導數(shù)得，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.令y′＝0，得x＝25.當0<x<25時，y′>0；當x>25時，y′<0.因此當x＝25時，函數(shù)y取得極大值，也是最大值．12.將8分為兩個非負數(shù)之和，使兩個非負數(shù)的立方和最小，則應分為()A．2和6B．4和4C．3和5 D．以上都不對解析：選B設一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當0≤x<4時，y′<0；當4<x≤8時，y′>0.所以當x＝4時，y最小．13.某廠要圍建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當砌新墻所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為()A．32m,16mB．30m,15mC．40m,20m D．36m,18m解析：選A設建堆料場與原墻平行的一邊邊長為xm，其他兩邊邊長為ym，則xy＝512，堆料場的周長l＝x＋2y＝eq\f(512,y)＋2y(y>0)，令l′＝－eq\f(512,y2)＋2＝0，解得y＝16(另一負根舍去)，當0<y<16時，l′<0；當y>16時，l′>0，所以當y＝16時，函數(shù)取得極小值，也就是最小值，此時x＝eq\f(512,16)＝32.14.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為________cm.解析：設高為h，則底面半徑r＝eq\r(400－h(huán)2)，0<h<20，V＝eq\f(1,3)π·r2·h＝eq\f(1,3)π·(400－h(huán)2)·h＝eq\f(400,3)πh－eq\f(π,3)h3.由V′＝eq\f(400,3)π－πh2＝0得h2＝eq\f(400,3)，h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)，因為當0<h<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0，當h>eq\f(20\r(3),3)時，V′<0，所以當h＝eq\f(20\r(3),3)時，V最大．答案：eq\f(20\r(3),3)15.如圖，內接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設CD＝x，則點C坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點B坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))，∴矩形ACBD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f