第七節(jié)立體幾何中的向量方法

,最新考綱，

1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題.

2.了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：本節(jié)內(nèi)容以幾何體為載體，重點(diǎn)考查有關(guān)空間的線線角、線面角、二面角與

空間的距離的計(jì)算問(wèn)題，這仍會(huì)是高考的熱點(diǎn)，多出現(xiàn)在解答題的第(2)問(wèn).

學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系解決空間角及空間的探究性問(wèn)題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)

學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端

一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.異面直線所成角的求法

設(shè)a，》分別是兩異面直線/2的方向向量，則

a與b的夾角為夕與/2所成的角為，

范圍(0,71)

ab

求法C°S/o?-|a||b|COS0=\COSP\=__________

2.直線和平面所成角的求法

如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為e,

平面a的法向量為〃，直線/與平面a所成的角為仰兩向量e與〃的夾角為樂(lè)則有

sin9=|cos9\=.

3.二面角的求法

(1)如圖①，AB,是二面角a-//兩個(gè)半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小

為9=.

(2)如圖②③，"1，”2分別是二面角a1/的兩個(gè)半平面a,￡的法向量，則二面角的大

小，滿足COS0=COS<?1?"2〉或一COS〈〃1，112).

4.利用空間向量求距離

(1)兩點(diǎn)間的距離

設(shè)點(diǎn)A(X1，Z1),點(diǎn)8(X2,丫2,Z2),則|A8|=|通|=J(X1-X2)2+(yi-y?"+(z］一毋

(2)點(diǎn)到平面的距離

如圖所示，已知A8為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量，則8到平面a的距

離為|由尸嚕弱

|n|

二、必明1個(gè)常用結(jié)論

直線的方向向量與平面的法向量的確定

(1)直線的方向向量：/是空間一直線，4,8是直線/上任意兩點(diǎn)，則稱麗為直線/的方

向向量，與融平行的任意非零向量也是直線/的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a,5是平面a內(nèi)兩不共線向量，〃為平面a的

法向量，則求法向量的方程組為Pa=。，

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或"X”).

(1)兩直線的方向向量的夾角就是兩條直線所成的角.()

(2)已知a=(—2,—3,1)?b=(2,0,4),c=(—4,一6,2),則?！╟,a)

(3)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),〃=(0,1,1),則兩平面所成的二面角

的大小為45。.()

(二)教材改編

2」選修2—1R18復(fù)習(xí)參考題Tio改編］在正方體ABCD-A由1GG中,E是G修的中點(diǎn),

則異面直線OE與AC所成角的余弦值為()

C仁D.嚕

［選修2-LPU3習(xí)題T9改編］如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長(zhǎng)為。的正方體

ABCD-A'B'C'D',A9的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為.

(三)易錯(cuò)易混

C,

a

AB

（不恰當(dāng)建立?空間直角坐標(biāo)系）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱MBCAICi的底面邊

長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2vL則AG與側(cè)面ABB\A\所成的角為.

（四）走進(jìn)高考

5.

[2020.山東卷]日展是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到劈面

的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為O）,地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球

赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一

個(gè)日唇，若唇面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則辱針與點(diǎn)A處的水平面

所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

詳解答案

、（05】麗

_|e-n|

一、而

三、（AB,CD）

1.答案：（1）X（2）V（3）X

2.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)DA=1,A（l,0,0）,C（0,1,0）,

E（0,I，1）,則近=（一1,1,0）,DE=（0,I，1）,設(shè)異面直線DE與AC所成的角為0,

則cos9=|cos<AC,DE）|=—.

答案：D

3.解析：由圖易知A(d0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a),所以F(a,10),

/住，P3?所以EF=J(a-1?+(|—I?+(o_J2

r^-i

箸/r/r案：—a

4.

解析：以A為原點(diǎn)，以靠，AE(AE1AB),AA1所在直線為坐標(biāo)軸(如圖)建立空間直角

坐標(biāo)系，設(shè)。為ABi中點(diǎn)，則4(0,0,0),Ci(l,V3,2V2),0(1,0,2V2),

?,?福=(1,V3,2V2),AD=(1,0,2V2).

ZCiAD為AG與平面ABB\A\所成角，

/(AcAC]?AD

COSZC\AD=T^—...——..

|AC】||AD|

_(1,B2在)x(1,0,26)一百

V12xV92'

又,.,/GA￡>e[o,J.\ZCiAD=^.

套案?-

o

5.