第16講數(shù)列不等式的范圍與最值問(wèn)題

參考答案與試題解析

一.選擇題(共3小題)

1.(2021秋?武昌區(qū)期末)已知數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和-設(shè)“=」一，7；為數(shù)

22ana?+l

列他“｝的前〃項(xiàng)和，若對(duì)任意的〃eN*,不等式27；<9〃+3恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍

為()

A.(-oo,48)B.(-oo,36)C.(-co,16)D.(16,+oo)

【解答】解：由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，a,=S.=—?12——4=1.

1,22

當(dāng)幾.2時(shí)，

3131

--(n-I)J=3n-2,

2222

4=3〃-2,〃eN*.

則bn=—=------?------=-(―------—).

"%%+](3〃-2)(3〃+1)33九一23H+1

設(shè)數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和7；，則

T

n="+〃2+.??+〃，

3434733n-23n+1

=-(1------)

33〃+1

n

-3n+r

?.?對(duì)任意的〃wN*,不等式;1(<9"+3恒成立，

.?.對(duì)任意的“eN*,不等式；1」一<9"+3恒成立,

3774-1

即對(duì)任意的“eN*,不等式2<災(zāi)3"+」恒成立.

n

構(gòu)造數(shù)列{c,J：令q=3(3"+1)2,nwN*一

n

3(3〃+43(3〃+1)23(9/+9〃-1)八

C+i~C=-------------------=------------->0

n+1nn{n+1)

數(shù)列｛g｝是單調(diào)遞增數(shù)歹

數(shù)列｛c“｝的最小值為q=48.

.-.A<48.

故選：A.

2.（2021?潮南區(qū)模擬）已知等差數(shù)列伍“｝中，/=9,%=17,記數(shù)列的

前〃項(xiàng)和為S“，若§2〃+]-黑，*,（mcZ）,對(duì)任意的〃mN”成立，則整數(shù)機(jī)的最小值

為（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：設(shè)公差為d,

4+24=9

由%=9，%=17,得.,「，解得4=1,d=4,

q+4d=17

/.=4〃一3,

故s=i+!+l+1

+4n-3

"59

1

令〃fT=—r+...H-----

8〃+l

1.1.1,,11_,11111

則bi—b=r[---------F…+---------]—[------F…+----]n=-----+-----------

w+,”4(774-1)+18(/2+1)+14/2+18n+l8/2+58〃+94〃+1

.?.｛2｝是遞減數(shù)列,

;也最大,-+-=—,

5945

根據(jù)題意，S?-5??—-,

2B++11"4545109

：.m的最小值為4.

故選：B.

3.（2021?宣城二模）等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為正數(shù)，44_2=《=1024,4-3=8,若對(duì)滿足

4>128的任意/,當(dāng)..也都成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.(—co,―6]B.(—co,—8]C.(―oo,—10]D.(一co,—12]

【解答】解：由題意有可得R+%—2=12,=7,4=8.又=1024,％=32,

4rt4w1

公比夕=2,an=a4./-=8x2-=2-,故滿足4>128=2?的/的最小值等于9.

^±￡=7+￡=-(f-7)-14=_1__14_)在+oo)上是增函數(shù)，

k-t7-zt-1r-7

故f取最小值9時(shí)，巴有最小值為一8,由題意可得-8.功，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,

-8］，

故選：B.

二.填空題(共4小題)

4.(2021秋?淮安期中)已知數(shù)列為=3",記數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為7；,若對(duì)任意的〃eN*,

-17

(7；,+士火..3"-6恒成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍北..一.

2—27—

【解答】解：4=3",

,3(1-3")3(3"-1)

/=-------=-------?

3n-62〃一4

2（九+1）—42〃-410-4/?

數(shù)列:〒｝前3項(xiàng)單調(diào)遞增，從第3項(xiàng)起單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)”=3時(shí)，數(shù)列｛讓3有最大值工,

故答案為：A:...—

5.(2021秋?廣東月考)已知數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和'M-4-gyi+ZSeN*),設(shè)數(shù)列｛QJ滿

足：4。-3")=(-1廣'/1〃(/1為非零常數(shù)，〃eN”)，存在整數(shù)幾，使得對(duì)任意〃eN*,都

有則4=—一1_-

【解答】解：5“=一4-(g)"T+2(〃wN*),

4=S]=-4-1+2,解得q=g.

1

九.2時(shí)，an=Sn-S?_t=-an-(^)"+2--+2],

化為:2a“=4T+

變形為：

.??數(shù)列｛2%“｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為1.

n

2an=1+-1)=〃，

n

'a,t=27,

—")=(-1尸加1(2為非零常數(shù)，nwN*),

與◎-3")=(—1)F〃，

.?.4=3"+(-1)1九2”,

?.?存在整數(shù)4,使得對(duì)任意〃GN*,都有

r.3'用+(-ir2.2n+l>3"+(-1),-|2.2,,,

化為：（|r'+（-I）"2>0,

a

〃=2攵-IGtcN"）時(shí)，4<仁產(chǎn)2.

2

a

〃=2攵時(shí)，2>-（-）2^.

2

.?.?4為非0整數(shù).則；1二一1.

2

故答案為：-1.

6.（2021?沈河區(qū)校級(jí)四模）數(shù)列｛4｝滿足：q=I1+4=，,記S.=fd，若

S2?+l-S??《對(duì)任意的n｛ne乂）恒成立，則正整數(shù)，的最小值為10.

【解答】解：?.?數(shù)列｛4｝滿足：a,=l.U+4=—，.-.L=4,

a

Vn?n+1冊(cè)

二數(shù)列（a；）是以4為公差、以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，

易得：/1a，令g（"）=S2“+i-SJ

4n-3

a0

而g（〃）-g（〃+1）=a：+i_a；“+2-2n+3=7^—r-->，為減數(shù)列，

4n+l8〃+58〃+9

所以：&“+「s熟⑴q4，而f為正整數(shù)，所以，0=10

7.（2021?江西模擬）已知函數(shù)f（x）=」_,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4（〃J5））（〃eN*）,向

x+2

COS4+COS+COS^++cos0

量f=（O,l）,必是向量西與f的夾角，則使得n<r恒

sin2

sin0｝sin02sin

成立的實(shí)數(shù)/的取值范圍為

一4~

【解答】解：根據(jù)題意得，會(huì)'是直線。兒的傾斜角'

c°se=s嗚-幻

"醞I。嗎-即

=tan(--^,)

J(〃)

n

1

n(n+2)

1

):

2nn+2

cosO,cos。、COS0,COS0?

------L+-------4--------++-------

sin02sinOysin0n

11、1J1、1JI、1J1、

=5Z。I一/漢一/+為一/…+5（丁苗）

1,1111111、

=——(1----H-----------1---------+__H---------------)

232434nn+2

11

=-(1+--)

22n+\n+2

32/1+33

=------------<一;

4療+3〃+24

加/士0.0L中一

要使-C-O-S-L+-C-O-S-a+--C-O-S-a-+C-O-S--n^<廣恒成區(qū),

sin4sin02sin0ysin0n

則實(shí)數(shù)，的取值范圍是弓

故答案為：

4

三.解答題（共16小題）

8.已知｛q｝的前n項(xiàng)和為S?=2ali-2(〃eN*)

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式;

1

(2)若b,=,求｛"｝的前〃項(xiàng)和工;

/ogMj/ogM山

(3)若對(duì)于任意的乂cN*%>0,不等式2bgM+2/+4〃+5恒成立，求k的取值范圍.

k

【解答】解：(1)當(dāng)九=1時(shí),a]=2a1-2,即q=2,

當(dāng)n..2時(shí),an—Stt—Sn_j=(2an—2)—(2an_l—2),

故an=2ali_i，

所以數(shù)列｛a,,｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

則求｛《,｝的通項(xiàng)公式為an=2"；

(2)由(1)知1皿《,=/陷2"=三，

logM”=‘%2""=等，

所以“二-----1------

lo&ajIogMz

]

n

—?-77-+--1

22

4

〃(〃+1)

=4(------，

nn+\

則｛2｝的前〃項(xiàng)和為

h=4(1一])+4(、一?)+...+4(-^―)

223nw+l

=4(1--------)；

〃+1

(3)由(1)知Iog44=/og42〃=4,

n

所以2/og4%+2=2+J+2,

kkk

從而不等式2bg&q+2/+4〃+5

k

等價(jià)于"+2,,/+4〃+5,

k

又4>0,則上式整理

可得kn2+(4k-l)n+5k-2..O,

則△=(4%—1)2—4以54一2)

=1-4優(yōu)，0,

解得k.L

2

9.（2021?溫州模擬）已知等差數(shù)列｛〃,｝滿足&=2,―0一=1,數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和

a+4+々

n+2

S?=b]-2-4,n&N'.

（1）求數(shù)列｛4｝、｛"｝的通項(xiàng)公式;

（2）記數(shù)列伍也,）的前〃項(xiàng)和為7；,若存在正數(shù)4，使紙＞_邁—對(duì)一切〃wN*恒成

ann-9〃+36

立，求”的取值范圍.

【解答】解：（1）\,數(shù)列｛/?“｝是等差數(shù)列，，伉+&=2+々，b4+b5+b6=3b5,

由-4—=1,得星=1,.?.久=3.

4+4+43b$

T7,—?b、—h-,3—21.i.1八、〃+1

又仇=2,:.d=.---=----=—,貝mij仇=2+一(z〃-3)=----;

5-322n22

:也=1,則S“=*2M+2-4=2"+2-4,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=5=4,

n+2n+l+l

當(dāng).2時(shí),an=S?-Si=2-4-2+4=2",

驗(yàn)證”=1時(shí)成立,

%=2"”；

(2)由(1)得，生也,=2"|.號(hào)=(〃+1).2",

?1-(=2x2'+3x2?+4x23+...+(“+1)2",

2T?=2X22+3X23+4X24+...+(M+1)2,,+I,

兩式作差可得:-7；=4+2?+23+…+2"-(〃+1)2B+1

=4+(〃+i)2-

1-2

7；=/i-2n+,.

?/^->----對(duì)一切恒成立，

an"2-9"+36

:.k>———---對(duì)一切nGN*恒成立，即&>且----對(duì)一切〃￡N*恒成立,

/-9〃+36〃+電-9

n

6則g(")=—盤—，，￡=2，當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時(shí)等號(hào)成立.

令g5)=

〃+生_92病-9

nn

:.k>2.

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2,zo).

a

10.(2021春?浙江期中)已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4=3,%=；，且2a“+|=3a”-a”7.

(1)求證：數(shù)列伍的-4｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛〃〃｝通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛〃4｝的前〃項(xiàng)和為7；,若7；>12-4對(duì)任意的正整數(shù)〃恒成立，求女的取值范

n

圍.

【解答】解：(1)證明：2an+i=3a?-a?_,,

數(shù)列｛an+l-a?｝是首項(xiàng)為-°，公比為'的等比數(shù)歹I,

又”=1也適合上式，

2,

(2)解：?1-Tn=3x(1)°+6x(1)'+9x(i)+...+3wx(1)"-(D.

；?4=3x(?+6x$+...+(3〃_3)x(與-+3”*(與②,

22222

由①一②得

3[]_(l)n]

21

^7；=3+3x(1)'+3x(l)+...+,zx^r-3?x(lf=——2__3x(；)"=6-6x(；)"-3〃x(

1--

7；=12-(6/7+12)x(1)",

又T.>\2-七,

n

k>"(6〃+12)(—)n,

令c”=”(6〃+12).(g)",

由c用一c“=(〃+1)(6”+18)(；)"-〃(6〃+12).(1)H=3?(g)"(3-n2).

.,.當(dāng)〃=1時(shí)，c?+l>c?；當(dāng)”..2時(shí)，c?+l<c?,

「?C)麗=G=12,

：.k>12.

11.(2021秋?沙河口區(qū)校級(jí)期中)已知數(shù)列｛q｝滿足S,,=，等比數(shù)列｛"｝滿足旬=4,

d=16.

(1)求數(shù)列｛a,,),數(shù)列｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛4也,｝的前〃項(xiàng)和7；；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)幾.2時(shí)上二、+2"5.，恒成立，求我的取值范圍.

T..-2

2

【解答】解：(1)數(shù)列｛〃"｝滿足S"=’；",.,.71=1時(shí)，4=5]=1；〃..2時(shí)，

°?n2+n(n-1)2+(n-l)

4=S,1S“T=---------------------------=n,

n=1時(shí)也滿足，an=n.

設(shè)等比數(shù)列｛"“｝的公比為q>0，?.,包=4,Z>4=16.;.麗=4,b"=16,解得伉=?=2,

:h=2".

n

(2)a?>bn=n.2.

數(shù)列｛。,,直｝的前〃項(xiàng)和1=2+2*22+3*23+—+小2",

27；=2?+2x2?+...+(n-1).2"+〃.2同，

.'.-T=2+22+...+2"-=2(2-1)-〃@用，

2-1

.1.7；,=(n-l).2w+,+2.

(3)在(2)的條件下，當(dāng)〃..2時(shí)^^+2"5."恒成立，等價(jià)于：嫁出+2心(〃2)恒成

立.

?.”2時(shí)，擊+2J2斷獲總，當(dāng)且僅當(dāng)〃=2時(shí)取等號(hào).

七1

.?"的取值范圍是

12.(2021春?青秀區(qū)校級(jí)期末)已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S“=2"+2—4(〃WN"),數(shù)列｛2｝為

等差數(shù)列，且滿足2+仇=4,仇=3.

(1)分別求數(shù)列｛4｝、｛"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛Q,｝滿足。=4,女，7；是數(shù)列口｝的前〃項(xiàng)和，若存在正實(shí)數(shù)k,使不等式

22

k(n-9〃+36)]>6nan對(duì)于一切的neN*恒成立，求k的取值范圍.

【解答】解：(1)數(shù)列a｝的前〃項(xiàng)和S“=2"+2_4(〃eN.),n..2時(shí)，

afl=Sfl-=2〃+2-4—(2'向-4)=2向.

3

〃=1時(shí)，aA=S]=2-4=4.〃=1時(shí)滿足上式，「.%=2".

設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,?.?2+d=4,么=3.??.24+4d=4,4+4d=3,解得偽=1,

.1八九+1

?泣r=i+5z(〃-i)=〒-

(2)dn=an?bn=(n+l).2".

.?.7；=2x2+3x22+4x23+...+(“+1).2".

27；,=2x22+3X23+...+n.2"+(〃+l).2"+l,

:.-T=4+22+23+...+2"-(n+l).2"+l=2+；)-(?+l).2n+1,

n

n+

可得：Tn=n.2'.

不等式紅〃2_9〃+36)毒>6〃包,即不等式AW_9〃+36).〃.2"M>6n2.2n+1,化為:

,6〃

k>--------------

優(yōu)一9〃+36

——，，不工=2,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時(shí)取等號(hào).

,362-9

n+-9o

n

?.,存在正實(shí)數(shù)％,使不等式以〃2-9〃+36)北>對(duì)T*一切的〃￡M恒成立，

:.k>2.

即k的取值范圍為（2,+oo）.

13.（2021?寶山區(qū)一模）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，q=1,3%+4S,,=3（〃為正整數(shù)）.

（1）求數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式；

（2）記S=q+%+…+4+…，若對(duì)任意正整數(shù)〃，修＜5,恒成立，求后的取值范圍？

（3）已知集合4=+4,（“+l）x,a＞0｝,若以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列前w項(xiàng)

和記為7；,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)〃使得對(duì)于任意的〃eN*,均有7；,€A.若存在，求出a的取值

范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

【解答】解：⑴由題意知，當(dāng)”..2時(shí)，[叨+”“=：兩式相減變形得：入=」（〃⑵

l3q,+4S“T=3a?3

又”=1時(shí)，〃，=」■,于是生=-L.（1分）

-3a,3

故｛4｝是以4=1為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.?.4=」7T,（〃€*）…（4分）

3（-3）'

1341

（2）由S=----=—得％＜—S=1------=f（〃）...（5分）

1+143〃（-3）”

3

當(dāng)w是偶數(shù)時(shí)，/（〃）是〃的增函數(shù)，于是/（〃）.,”,=〃2）=§，故人＜當(dāng)…（7分）

當(dāng)”是奇數(shù)時(shí)，/（〃）是"的減函數(shù)，因?yàn)閘imf（〃）=l,故匕,1.…（9分）

“一＞00

綜上所述，k的取值范圍是（-8,號(hào)）…（10分）

CT+?！?..0

（3）①當(dāng)a.1時(shí)，A=｛x|掇!ka],%=〃+/,若《wA,貝U掇/+片a.得《八0

a.A

此不等式組的解集為空集.

即當(dāng)。..1時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。.…（13分）

②當(dāng)Ovavl時(shí),A=[x\c^!k1）.

而（=a+a2+...+a"=，-（1—優(yōu)）是關(guān)于”的增函數(shù).

l-a

且\"以仇。plimlimitsn^JTn=0,故（ea,〃]....（15分）

\-aLl-a）

0<（7<1

因此對(duì)?任意的〃要使4WA,只需Va解得0<a,—.…（18分）

；---，，12

U-n

14.（2021秋?葫蘆島期末）已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且滿足々=（），4=12,數(shù)列｛2｝的

前“項(xiàng)和為5“，且4=1,b?+l=25?+1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：｛"｝是等比數(shù)列，并求｛"｝的通項(xiàng)公式；

(3)若對(duì)任意的“eN"不等式h(S“+g)..q恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【解答】解：(1)4—〃2=44=12,/.d=3,

/.an=a2+(n—2)d，即a”=3九一6；

(2)?/bn+i=2Sn+1,/.b?=2Sw_j+l(n..2),

.-.bn+l-bn=2(5?-5?,,),.-.b?+l=3bn(n..2),13(常數(shù))，

b.

又優(yōu)=2d+1=3,b2=3瓦也成立，

???｛2｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

(3)”史一=工匕1

"\-q1-32

邛一］1

k，(-------+—.3〃一61寸nGN”恒成立，

22

即k.竺二々對(duì)恒成立,

3"

77-2n-2〃-3-2n+7

3〃gw-i3〃3〃T3〃

當(dāng)4,3時(shí)，cn>cn_x,當(dāng)〃..4時(shí)，cn<￡??_1

12

=’3=萬(wàn)，故.6c3=3，

即1的取值范圍為[|,+00).

15.(2021春?東湖區(qū)校級(jí)月考)已知數(shù)列｛a,,｝滿足：a?=-a?

2+]2/7

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛外｝的前〃項(xiàng)和S“；

若集合｛川耍^｝中含有個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3)4=2-5”.142

n"+n

【解答】解：(1)由題意得—=\"，

a?2n

當(dāng)幾.2時(shí)，?也?...?%?%nn-\2〃

/2-2",'T

%限4

又也滿足上式，故4=/；.........(3分)

(2)由(1)可得S“=g+|+城+…+￡,①

1c12n-\ne

22223T2n+'

n

①G一自②如'得/1o=萬(wàn)11+齊1濟(jì)1產(chǎn)=1i—「〃+2'

所以S,,=2-9...........(7分)

〃2”

(3)由(2)可得2-邑=年，

所以2-S,,展箸40921^-2,即4,廣

"n2+n2nn2+n2"

令/(?)=〃2：〃(〃wN*).

則/(1)=1,/(2)==3,f(3)=93，/(4)5=1,A5)=315,

22416

(/?+1)(2-n)

因?yàn)槿?1)7(〃)="琮g一耍

所以,當(dāng)幾.3時(shí)，/(n+l)-/(n)<0,即/(〃+1)</5).

2')

因?yàn)榧螦含有4個(gè)元素，所以4,《士^(〃wN*),即上1.〃,〃€N*的解的個(gè)數(shù)為4,

TX

因?yàn)?(2)=f(3)>f(4)>f(1)>f(5)>...,

:.f(5)<A,/⑴，

15,,

?.—<4,1..

16

16.(2021?天津校級(jí)二模)已知數(shù)列｛4｝,4=1,前〃項(xiàng)和S“滿足〃5,用一(〃+3電=0,

(I)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若"=4(%y,求數(shù)歹IJ｛(-1)"bj的前〃項(xiàng)和T?；

n

(IH)設(shè)。=2"(2-團(tuán)，若數(shù)列｛Q,｝是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【解答】解：(I)由已知&?=9,且6=4=1,

s.n

當(dāng)〃..2時(shí)，

77+2++2)

-若??吉啥n-16

也適合，

當(dāng)”..2時(shí)，4-,1="(丁),且q也適合，

〃5+1)

‘'a"=2

(II)勿=4(4)2=("+1)2,設(shè)。=(_1)”(〃+1)2,

n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),???C,I+a=(-l)n-l?n2+(-1)"4"+1)2=2〃+1,

^[5+(2/2+1)]

〃(〃+3)

T=(C,+C)+(C+C)+...(C?-i+^,)=5+9+...+(2n—1)=-------------

n2342

當(dāng)w為奇數(shù)時(shí)，Z,=T.7+弱=("-lg〃+2)_(〃+1)2=_"2+；〃+4,且i=G=y也適合.

一匯+3"+4（〃為奇數(shù)）

綜上得7；=:

也上D（〃為偶數(shù)）

（III）?.?Q,=2"（4-4）,使數(shù)列同｝是單調(diào)遞減數(shù)列,

49

則￡小一。,=2"(-------------2)<0,對(duì)都成立,

〃+2〃+1

4-3)

則（?,1max<幾?

〃+2n+1

4______2_2._2

〃+2〃+15+1)(〃+2)〃+3+2

n

1

當(dāng)〃=1或2時(shí),

〃+2〃+13

17.（2021春?天津校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列5,為數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和,且S,=2a“-2向，〃=1,

2,3...

（I）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)仇,=log.“2,數(shù)列｛/?“｝的前”項(xiàng)和8“，若存在整數(shù)/，使得對(duì)任意〃eN*且"..2

都有—成立，求m的最大值

3.“20

(III)設(shè)。=芻--1,證明：—+—+—<-(ne2V)

"+1GGcn+i3

【解答】(I)解：?.?S“=2a“-2"M,

S〃_]=2〃“_1-2"(〃..2).

兩式相減得：an=2an-2an_}-T,

二?4-2%=2-

兩邊同時(shí)除以2",可得：組_4彳=1,

2〃2〃一|

又4=￡=2q-22,

4=4,—=2,

2

$=2+(〃-1)=〃+1,

?'.%=(〃+1)?2〃；

(II)解：???可=(九+1)?2",

:.…2=%2=4

"+1

-B=----------1-------------H...H-------，

3""n+\n+23n

令"")=W+/+-+￡

1

貝iJ/5+l)―/(〃)=L+

3/?+13〃+23〃+3n+\

2

------------1-----------------------------

3〃+13〃+23〃+3

2

>-------------1-----------------------------

3〃+33〃+33〃+3

=0,

即/(n4-1)>/(/?)，

，數(shù)列f(n)為遞增數(shù)列,

當(dāng).2時(shí)，/(?)的最小值為"2)=：+；+；+：=為，

由題意知布言

，加的最大整數(shù)值為18；

(III)證明：?！?2一1=2"-1,

"〃+1

1_11j_1

2n-22c

4JJ-I

則s--—),

G2c2GC,c22c?+l

即s<Z'="_L<2.

GC+i3Cn+l3

18.已知數(shù)列｛/｝是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d,S”為前〃項(xiàng)和，且滿足

neN*,數(shù)列｛2｝滿足“=——-——，，為數(shù)列｛4｝的前，項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式/和數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和Tn；

(2)若對(duì)任意的〃cN*,不等式47；<8(-1)〃-10恒成立，求實(shí)數(shù)；I的取值范圍.

.口2二(2/-1)(。+生,1)

【解答】解：⑴?.,d=S2.「neN”,=(2n-l)a,

2n

?「a〃A0,4=2〃—1,

,11111、

**n=_________—_____________—_/z____________j

?"一凡?〃用―(2〃-1)(2〃+1)-22〃-12/1+1

+…+(----------)]=—(1---------)=--------

2/1-12〃+122〃+12〃+1

(2)?.?27；<8x(—1)"-10,恒成立，

—<8x(-1)"-10恒成立，

2〃+1

①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，有;lv-18(2+2)恒成立，解得：2<-18(2+-)=-54：

n1

②當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，有;1<-2(2+!)恒成立，解得：A<-2(2+-)=-5；

n2

綜合①②知：A<-54,

:.A的取值范圍為(7),-54).

+

19.(2021春?齊齊哈爾期中)已知數(shù)列｛《,｝滿足q=2,an+l-2a?=2"'.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)記〃,=(一1)""+4〃+2)2”,數(shù)列電｝的前〃項(xiàng)和為騫，若7；+(T)"+i/l<0對(duì)任意正整

數(shù)w恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【解答】解：(1)數(shù)列應(yīng)｝滿足4=2,--24=2叫

.4㈤??_1

..-------;--------------1,

2〃

...數(shù)列爭(zhēng)為等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為卜1.

墨=1+n—1="，可得：an=n*2".

(2)

,(-l)“W+4〃+2)2"(-1)"(〃2+4”+2)?2"(-l)n[(n2+H)+2(M+1)+M](-1)"(-1)"(-l)"+l

b---------------------------------=----------------------------------=---------------------------------------------=-----------1-------------------------------

"?.2".(n+l).2"+lM(n+1).2,H|2""n.2"(n+l).2"+1

+噌4

+一-1

2

1,+(-1嚴(yán)/l<0,

①當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，2

令，⑺—、

則f(n+1)—f(n)=—+5-(-)/,+2--^-(―!-)rt+,=(i)M+,.一獷<0

3(〃+2)235+1)226(〃+1)(〃+2)

f(n+l)<f(n),

227

???%>-§+/(%〃=-]+/⑵=--.

②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，2<-+n+4(--r1=-+/(n).

33(〃+1)23

由①可知：/(〃)單調(diào)遞減，又當(dāng)>+8時(shí)，/(/?)->0.

綜上可得：-Z<4,2.

123

20.(2018春?定州市校級(jí)期中)已知數(shù)列｛〃“｝滿足4=1,前"項(xiàng)和S,,滿足nS?+l-(?+3)5?=0

(1)求｛S,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)q,=2"(2-4),若數(shù)列｛QJ是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)2的取值范圍

【解答】解：(1)，電山一(〃+3電=0=>%=8,

.S?S,-S“S_n+2n\4

?-----?------?-----?——2----------?----+---?..，

Sn—i.Sn—9i5?zj-l,S.1n-\n1

,S_(n+2)(〃+\)n_(n+2)(〃+1)〃，..、

..—n=----------------------------------------(n..Z),

5,3-26

￡=q=1滿足上式，

(〃+2)(九+l)n

?.3=-------------------

“6

-4-n(n-bl)(n+2)(n-l)n(n+l)〃(〃+l)

(2)幾M.2on時(shí)，見(jiàn)二Sc〃-Sc“=--------------------------------------=---

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1符合上式，

:.a="5+D

"2

nn2

W

(3)CN=2\--2)=2(—-2)=2\---2),

ani+1)H+1

2

即

???{QJ是遞減數(shù)列:NnsN*，cn+l<dn

o74?4?

2,,+l(—--A)<2f,(-=--A)=>—--22<---2=>2>-........—,

〃+2〃+1幾+2〃+l〃+2〃+l

只需2>(上;一二7),皿設(shè)數(shù)列乩}的通項(xiàng)公式=上；-二，

n+2n+\〃+2〃+1

42,42、462,。、

4n(/t+1)-6n(n+2)+2(n+l)(n+2)4—2〃

〃(〃+1)(〃+2)〃(〃+1)(〃+2)

時(shí)，。-*<0,即叱*

當(dāng)〃=2時(shí),t2=f|

所以｛匕｝的最大項(xiàng)為，2=%=；，

21.(2021秋?下城區(qū)校級(jí)期中)已知數(shù)列｛4｝滿足4>0,且對(duì)一切“eN*,有

a：+$+…+a：=S；,其中Sn為數(shù)列｛a?｝的前"項(xiàng)和.

(1)求證：對(duì)一切“cN*,有。3-4田=25;(；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(3)求證：幺烏.況

?2%?6a2n也用

【解答】(1)證明：…+a；=S；,.?.a：+嬉+…+a：+]=S：+],

兩式作差可得：光「氏=匕「

3

(\+i+5?)(S?+I-S?)=??tl,即a,,*](5?+1+S?)=</?/,

又4>0，得5?+|+S,,=,則2Sn+1=4+：,

??。"+1-。"+1=2S“；

(2)解：當(dāng)”..2時(shí)，由匕「。向=2，及a；-4=2S“T，

得(a“+i—a?)(an+]+a?)=an+t+a?,

>0>=1

,-???+i+??'

當(dāng)”=1時(shí)，a；=S，=a；,q>0,可得4=1;

5｝2

當(dāng)九=2時(shí)，a,+a2=S2.得到1+a：=(1+a?)?,5La2>0>解得々=2，

a2-ax=1,滿足an+l-an=\,

則數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為q=l+(〃-l)xl=〃:

(3)證明：要證不等式幺。<一=成立,

a2%4%也向

山1、?1352n-l1

即證一X-X-X...X------<.,

2462n12n+l

2462/i

—X—X—X...X------

2462n3572〃+1

,;M<N,:.M2<MN=—^—,<-==

2n+\,2〃+l

則幺?幺?巴.….包zLv—^成立.

a2%a6a2?M”+1

22.(2021?廣東二模)已知數(shù)列｛6｝滿足a“,1+a“=4〃-3(〃€N*).

(1)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，求4的值；

(2)當(dāng)4=2時(shí)，求數(shù)列｛”"｝的前"項(xiàng)和S”；

(3)