專題20解三角形

【考點預(yù)測】

知識點一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在aABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,h,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

4=上=工=27?

公式b2=c2+/-2<7CCOSB；

sinAsinBsinC

c1=a1+b2-2abcosC

b2+c2-a1

cosA=---------------；

⑴〃=2RsinA,Z?=2RsinB,c=2RsinC；2bc

常見_c2+a2-h2

(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

變形2R2R2R2ac

ca2-^b2-c2

cosC=---------------.

2ah

(2)面積公式：

S,\ABC=g必sinC=；%csinA=gacsinBSXABC==g(a+6+c)-r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并

可由此計算R,r.)

知識點二：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:6:c=sinA:sin8:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>￡><=>A>B<=>sin>sinB<=>cosA<cosB③合分比

a+b+ca+bb+ca+cabc*_

======-------=ZA

sinA+sin8+sinC--sinA4-sinB---sin8+sinC----sinA+sinC---sinA---sinB---sinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=TT

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB0c.=acosB+0cosA

同理有：a=/?cosC4-ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+3)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中,-lanC二tan(A+B)=由"+，311'<=>tanA+tanB+tanC=tanA?tantanC

1-tanA-tanB

④sin(?)=cosScos(3)=sinC

2222

⑤在AABC中，內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列o8=^,A+C=j.知識點三：實際應(yīng)用

33

(1)仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).

視線

鉛

垂

線、視線

圖①圖②圖③圖④(2)方位角

從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為a(如圖②).

(3)方向角：相對于某一正方向的水平角.

⑴北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達目標(biāo)方向(如圖③).

(2)北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達目標(biāo)方向.

(3)南偏西等其他方向角類似.

(4)坡角與坡度

(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角。為坡角).

(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度).坡度又稱為坡比.

【方法技巧與總結(jié)】

1.方法技巧：解三角形多解情況

在aABC中，已知“，〃和A時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

zLC

X

圖形

A-BA.......BA力

AB

hsinA<a<ha>h

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個

一解兩解一解一解無解

數(shù)

2.在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要

選擇“邊化角''或"角化邊”，變換原則常用：

(1)若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

(2)若式子含有。，瓦。的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

(3)若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

(4)代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

(6)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三個自由角)時，要用到A+B+C=i.

【題型歸納目錄】

題型一：正弦定理的應(yīng)用

題型二：余弦定理的應(yīng)用

題型三：判斷三角形的形狀

題型四：正、余弦定理與的綜合

題型五：解三角形的實際應(yīng)用

題型六：倍角關(guān)系

題型七：三角形解的個數(shù)

題型八：三角形中的面積與周長問題

【典例例題】

題型一：正弦定理的應(yīng)用

例1.(2022.浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高三開學(xué)考試)在AMC中，A=30。，8c=1,則外接圓的半徑為()

A.1B.gC.2D.3

例2.(2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)(文))在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,且AABC

的面積5=￥(“2+02-/).

(1)求角8的大小；

(2)若a+&Z?=2c，求sinC.

例3.(2022?全國?高考真題)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,分別以a,b,c為邊長

的三個正三角形的面積依次為Sz，邑，已知S,+'=3，sinB=

23

(1)求AA3C的面積；

(2)若sinAsinC=—,求b.

3

例4.(2022?安徽?合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(文))在△43C中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c

3

若sinA=w，A=2B,角。為鈍角，b=5.

(1)求sin(A-B)的值；

(2)求邊c的長.

例5.(2022?湖北?黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)測)在△A5C中，內(nèi)角A民C的對邊分別為。，b,J

已知2cosC(acosB+lfcosA)=c.

(1)若cosA=^,求sin(2A+C)的值；

(2)若c=",AABC的面積為邁，求邊”，人的值.

2

例6.(2022?青海西寧?二模(理))在①a=6；②a=8；③a=12這三個條件中任選一個，補充在下

面問題中，若問題中的三角形存在，求cosA的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,C,面積為S,且片+從-。?=4S，

c=5五，?

【方法技巧與總結(jié)】

（1）已知兩角及一邊求解三角形：

（2）已知兩邊一對角；.

大角求小角一解（銳）

兩解一sinA<1（—■銳角、一鈍角）

（3）兩邊一對角，求第三邊.

小角求大角一<一解一sinA=l（直角）

無角軍一sinA>1

題型二：余弦定理的應(yīng)用

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若AABC的面

積為S,且4AQS=（a+b）--c?,則sin[c—%）=（）

A.1B.；C.業(yè)D.9例8.(2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)(理))在中，內(nèi)角A,

222

B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2次，cosA=4,sin3=2sinC,貝峰=()

4

A.1B.2C.3D.4

例9.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（理））在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C

的對邊.若a,b,c成等比數(shù)列，且Y-c2=（a-b）c,則A的大小是（）

A-B.三C.與D.

6336

例10.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測（理））在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足

2b2-3c2-ac=0,sin（A+B）=2sinA,則tanC=.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.

（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

>0,則△ABC為銳角三角形

若余弦值<=0,則△ABC為直角三角形.

<0,則△ABC為鈍角三角形

題型三：判斷三角形的形狀

例11.（2022?吉林?三模（理））在AA6C中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a2-b2=c2-y/2bc3.

bcosC=asmB,則“WC是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

例12.（2022.陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)AMC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是。、

b、c,^-+7--=—'—,則A4?C的形狀是（）

abca+b-c

A.等邊三角形

B.C為直角的直角三角形

C.C為頂角的等腰三角形

D.A為頂角的等腰三角形或B為頂角的等腰三角形

例13.（2022.青海?海東市教育研究室一模（理））AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

c2+b2cos2A=2/JCCOSA，則^ABC為（）

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

例14.（2022?全國?高三專題練習(xí)汨知AABC中，三內(nèi)角A8,C滿足2B=A+C,三邊a,6,c滿足b2=ac,

則AMC是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

例15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC的三個內(nèi)角AB,C滿足2B=A+C,又sin?3=sinAsinC,

則這個三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

Ab+（*

2

例16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在AA3C中，乙4,DB,NC的對邊分別為。，b,c,cos=,

22c

則AABC的形狀一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【方法技巧與總結(jié)】

（1）求最大角的余弦，判斷AABC是銳角、直角還是鈍角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.

題型四：正、余弦定理與的綜合

例17.（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））如圖，在AABC中，。是AC邊上一點，NA8C為鈍角，ADBC=90°.

(1)證明：cosz64￡)B+sinC=0；

Q）若AB=2出,BC=2,再從下面①②中選取一個作為條件，求△43。的面積.

①sinNABC=^^;?AC=3AD.

14

注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.

例18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在①45=2AD,0sinZACB=2sinZACZ）,③山肥=2$次”這三

個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知在四邊形A8CO中，ZABC+ZADC=n,8C=C￡>=2,且.（1）證明：tanNABC=3tanN8AC；

（2）若AC=3,求四邊形ABCO的面積.

例19.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在①sin2c=GcosC,②c（2+cosB）=回sinC,③

AinA+G“cosB=0這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形

的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角AK所對的邊分別為a,4c,且/?=7,c=5,?

例20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面

積為&2-〃}inC.

（1）證明：sinA=2sinB；

3

（2）若acosC=-Z?,求cosA.

2

例21.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在銳角中，角A,B,。所對的邊分別為mb,c,已知5c邊

上的高等于〃.

⑴求證：siri/4=sinBsinC；

cb

（2）若NB4C=45。，求丁+一的值.

bc

例22.（2022.山東濰坊?模擬預(yù)測）在AABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別為aec,〃tanA+AanB=小所.

cosA

⑴求角8；

（2）0是AC邊上的點，若CD=l,AD=BD=3,求sinA的值.

【方法技巧與總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化

求解.

題型五：解三角形的實際應(yīng)用例23.（2022.陜西.西安中學(xué)一模（理））為了測量隧道口A、8間的距離，

開車從A點出發(fā)，沿正西方向行駛400萬米到達。點，然后從。點出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達C

點，再從C點出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達隧道口8點處，測得3。間的距離為1000米.

⑴若隧道口8在點。的北偏東。度的方向上，求COS。的值;

(2)求隧道口48間的距離.

例24.(2022?上海市建平中學(xué)高三期中)如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通4、B兩地，A處位

于東西方向的直線MN上的陸地處，B處位于海上一個燈塔處，在A處用測角器測得tan/B⑷V=±,在A

4

處正西方向1km的點C處，用測角器測得tan4CN=l.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在

岸MN上選一點P,設(shè)NBPN=?,先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算

地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元/km、4萬元/km.

(1)求A、8兩點間的距離;

(2)請選擇一種鋪設(shè)費用較低的方案，并說明理由.

例25.(2022?廣東湛江?二模)如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距200km.飛行員為了避開某一

區(qū)域的雷雨云層，從機場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成6角的方向飛行，飛行到C地，再沿與原來的

《行方向成45。角的方向繼續(xù)飛行60夜km到達終點.

(1)求A、C兩地之間的距離;

(2)求lan，.

例26.(2022.山東泰安?高三期末)在某海域A處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東60方向，相距4海里的B處有一

可疑船只，此可疑船只正沿射線y=4x(xW0)(以8點為坐標(biāo)原點，正東，正北方向分別為x軸，了軸正

方向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系)方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡

邏船出發(fā)/小時后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為從.若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，則恰

好1小時與可疑船只相遇.

(1)求“力的值；

(2)若巡邏船以5e海里/小時的速度進行追擊攔截，能否據(jù)截成功？若能，求出撼截時間，若不能，請

說明理由.

例27.(2022?遼寧?大連市一。三中學(xué)模擬預(yù)測)如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個小島，小島B

位于小島A北偏東75。距離60海里處，小島8北偏東15距離306-30海里處有一個小島C.

(2)如果有游客想直接從小島4出發(fā)到小島C,求游船航行的方向.

例28.(2022?黑龍江大慶?高三階段練習(xí)(理))如圖，測量河對岸的塔高48時，可以選取與塔底B在

同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.現(xiàn)測得ZBCD=夕=35。，NBDC=夕=100。，CD=400m.在點C測得

塔頂A的仰角為50.5。.

D

(1)求8與。兩點間的距離(結(jié)果精確到1m);

(2)求塔高A8(結(jié)果精確到1m).

參考數(shù)據(jù)：取&sin35°=0.811，夜sin80°=1.393，tan50.5°=1.2.

【方法技巧與總結(jié)】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識求解.

題型六：倍角關(guān)系

例29.(2022?北京豐臺?二模)在AABC中，a=2,b=6,A=2B,則cos8=.

例30.(2022?全國?高考真題(文))記的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A-8)=sinBsin(C-A).

⑴若A=23,求C；

(2)證明：2〃=從+C2

例31.(2022.江蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí))在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且6=4.

（1）若sinC=2sin8,?cosC=4,求AA8C的面積；

（2）若A=28,且A4?C的邊長均為正整數(shù)，求

例32.（2022?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）已知AABC中，A,B,C所對的邊分別為“，b,c.

（1）若A<8<C,B=pAABC的外接圓半徑為R,ac=2R2（l-2cosAcosC）,求A的大小；

（2）若a=3,b=2,A-2B,求c邊的長.

例33.（2022?山東?高三開學(xué)考試）在△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,邊長均為正

整數(shù)，且b=4.

（1）若角8為鈍角，求aABC的面積；

（2）若A=28,求a.

例34.（2022?天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A8C的對邊分別為且

b=3,c=l,A=2B.

⑴求。的值：

⑵求cos（2A+.）的值.

題型七：三角形解的個數(shù)

例35.（2022?江西?二模（文））設(shè)在△43c中，角A、B、C所對的邊分別為a,6,c,若滿足a=g,b=〃?,8=f

TT

例36.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））在AABC中，ZA=y,6=6,下面使得三角形有兩組解的。的值

可以為（）

A.4B.3石C.2幣D.3G

例37.（2022?河南?許昌高中高三開學(xué)考試（文））在三角形48（?中（4點在8（7上方）,若4=3，/^=2班，

BC邊上的高為從三角形ABC的解的個數(shù)為〃，則以下錯誤的是（）

A.當(dāng)人>3時，〃=0B.當(dāng)力=3時，n=\

C.當(dāng)0</i41時，n=0D.當(dāng)1<力<3時，〃=2

例38.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））已知在AABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，則

根據(jù)條件解三角形時恰有一解的一組條件是（）

7V71

A.a=3,/?=4,A=—B.<2=4,b=3,A=—

63

C.a=l,h=2,A=—D.a=2,b=3,A=—

43

例39.(2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)(文))△ABC中，已知下列條件：①8=3,c=4,8=30；②

a=5,b=8,A=30。；③c=61=36,8=60。；④c=9,b=12,C=60。，其中滿足上述條件的三角形有兩解的

是()A.①④B.①②C.①②③D.③④

題型八：三角形中的面積與周長問題

例40.(2022?湖南?模擬預(yù)測)在AABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知C=2A.

(1)求證：c=2acosA；

(2)若c=2acosA,A<B<C,6=10,且a+c=2Z?,求“18。的面積.

例41.(2022.全國.模擬預(yù)測)從①A=。，②a=30sinB這兩個條件中選一個，補充到下面問題中，

并完成解答.

已知銳角AASC中，a,b,c分別是內(nèi)角4,B,C所對的邊，Ksin2B=sin:A+sin2C->^sinAsinC.

(1)求角8;

(2)已知b=",且______,求sinC的值及AABC的面積.

例42.(2022?全國?高考真題(理))記AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為aec,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴證明:2a2=b2+c2;

25

(2)若a=5,cosA=可-,求AABC的周長.

例43.(2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(文))在A45C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,

c.Ae(0,g),百sinA+cosA=G.

⑴求tan2A的值；

(2)若〃=2退，a-2,b2>a2+c2,求c和面積5的值.

例44.(2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(理))在AA3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,

c.GsinA+cosA=G,匕=2>/5.請再從條件①：a=2,sin2B>sin2A+sin2C;條件②：a<b,

acosAcosC=csin2A+-a.這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

2

⑴tan2A的值；

(2)c和面積S的值.

例45.(2022.北京.高考真題)在AABC中，sin2c=&sinC.

⑴求NC;

（2）若）=6,且AABC的面積為66，求AABC的周長.

例46.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分

別為“、b、c,且2/?cos8=ccosA+acosC.

（1）求角8的大?。?/p>

（2）若a+2c=16,且A/lfiC的面積為86,求AABC的周長.

例47.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為m

h,c,且asin（A+8-C）=csin（B+C）.

（1）求角C的值；

⑵若2"+b=6,且AMC的面積為G，求A43C的周長.

例48.（2022?廣東深圳?高三階段練習(xí)）已知AA8C的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,6,c,b=不，

c=4,2cos(B-^J+V7sinC=3.

⑴求8；

(2)若C為銳角，求AA8C的面積.

例49.（2022?浙江?高考真題）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a”,c.已知4a=石c:,cosC=g.

（1）求sinA的值；

（2）若。=11,求AABC的面積.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?江西師大附中三模（理））滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永

徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，小明同學(xué)為測量滕王

閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物43,高為12m,在它們的地面上的點M（B,M,。三點共

線）測得樓頂A,滕王閣頂部C的仰角分別為15。和6（）。，在樓頂4處測得閣頂部C的仰角為3（T,則小明

估算滕王閣的高度為（）（精確到1m）

A.42mB.45mC.51m

D.57m

2-（2。22?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測（文））記△曲的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a",c,si?理,

c=2,b=3,則cos3的值為()

A不B"cD.4

1414-4

4

3.（2022?江西?模擬預(yù)測（理）/△ABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a也c,且bsinB+csinC=-?sinA,

則踐岑的值為（）

sinnsinC

A.4B.5C.6D.7

4.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測（理））記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,iC=—

sn7

b=3,c=2.則cosB的值為()

_V7B.立

A.

1414

4

C.d-4

5.（2022.江西宜春.模擬預(yù)測（文））△ABC的內(nèi)角A3,C的對邊分別為〃也c,若A=,a=2^/7?

6

c=\f3b,則△A5C的面積為（)

A.2瓜B.瓜C.8D.2月

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知AB=5,BC=3,C4=4,則通.磴=（）

A.16B.9C.-9D.一167.(2022?北京昌平?二模)在△A8C中，NB=45°,c=4,只需添加

-L4

一個條件，即可使△A8C存在且唯一.條件：①a=30;②b=28,③cosC="中，所有可以選擇的

條件的序號為（）

A.①B.①②C.②③D.①?@

Ar

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中,三邊長々也c滿足a+c=3〃，則lan^tan萬的值為（）

1

A.B.

54

2

C.D.

23

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,仁已知時必=（3》-次皿8,

且則下列結(jié)論正確的是（

cosA=g,)

A.a+c=3bB.tanA=2\[1

D.AABC的面積為逋/

C.△ABC的周長為4c

9

10.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測）已知AA3C中，A8=3,AC=5,3C=7,。為AABC外接圓的圓心,

/為AABC內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正確的是（）

A.”15。外接圓半徑為兇B.△ABC內(nèi)切圓半徑為立

32

c.AOBC=SD.Ai-BC=\

11.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在AABC中各角所對得邊分別為a,b,c,下列結(jié)論正確的有（)

ab

A.則A4?C為等邊三角形;

cosAcosBcosC

B.已知(a+b+c)(a+b-c)=3而，則NC=60。;

C.已知a=7,b=40,c=J15,則最小內(nèi)角的度數(shù)為301

D.在a=5,A=6（）,b=4,解三角形有兩解.

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，角A、8、C的對邊分別為〃、b、c,且滿足

sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.a=2bB.h=2aC.A=2BD.C=90

三、填空題

13.（2022?河北?高三期中）已知△至C中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,p=￡±|±￡,則白.。

的面積S7P（p-a）（p叫（p-c）,該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出.若AMC的

周長為15,（sinA+sinB）:（sin5+sinC）:（sinC+sinA）=4:6:5,則AABC的面積為

.14.（2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)（理））在銳角“LfiC中，角A,B,C的對邊分

別為a,b,c,sin。B=之且sinA,b-4a,a+c=5,則AABC的面積為.

2

15.（2022?遼寧?沈陽二中模擬預(yù)測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水

蜿蜒形成了一個“秀''字，故稱“秀湖湖畔有秀湖閣（A）和臨秀亭（8）兩個標(biāo)志性景點，如圖.若為測量隔

湖相望的A、5兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與A、8不共線的C處，構(gòu)成AABC,以下是測量數(shù)據(jù)

的不同方案：

①測量NA、AC,BC；

②測量NA、SB、BC；

③測量NC、AC、BC；

④測量NA、NC、f）B.

其中一定能唯一確定A、8兩地之間的距離的所有方案的序號是.

16.(2022?河南安陽?模擬預(yù)測(文))在△ABC中，角A,B,C的對

邊分別為“，b,c,滿足力2-3<?-4。=0,sin(A+8)=2sinA,則cosC=.

四、解答題

17.(2022?上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測)已知在三角形AMC中，a=2b,三角形的面積S=12.

⑴若b=4,求tan(A+3)；

3

(2)若sinC=-,求sinA,sinB.

18.(2022?上海交大附中高三階段練習(xí))已知三角形花園A3C,頂點A、B、C為花園的三個出入口，

滿足48=20面，BC=20而,CA=20>/91(單位：米).

(1)求三角形花園的面積(精確到1平方米)；

(2)若三角形3個內(nèi)角均小于120,到三角形三個頂點距離之和最短的點M必滿足M4、MB、MC正好

三等分M點所在的周角，該點所對三角形三邊的張角相等，均為120.所以這個點也稱為三角形的等角中

心.請根據(jù)此知識求出三角形花園的最佳會合點P到三個出入口的最小距離和(滿足到三個出入口的距離

和最小).

19.(2022?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=cosxsin^-A^-^sinxsin^1+xj.

(1)求/*)的最小正周期以及在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)將.f(x)的圖象向右平移?個單位長度得到函

6

7

數(shù)g(x)的圖象.在AABC中，?,b,c分別是角A,B,C的對邊，若g(B)=0,a=4,b=；,求c的值.

20.(2022?河南?平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測(理))在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為

b

b,c,且，J-/=c(acosB——).

2

(1)求角4的大??；

(2)若c=8,的面積為46，求BC邊上的高.

21.(2022?全國?模擬預(yù)測)在AABC中.sinAcos(A—1)=5.

(1)求角A；

(2)若4C=8,點。是線段8。的中點，DELAC于點E,且。石=邁，求CE的長.

4

22.(2022?重慶?高三階段練習(xí))已知對任意。，。，都有:sin2^-sin2(p=sin(^4-^)sin［0-(p),若△ABC

的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.a1力，且asinA-Z?sin8=3sin(A-8).

⑴求C；

⑵若匕=2a,過點c作CH，A8,垂足為H,若AH=4,求A"C的面積S.

專題20解三角形

【考點預(yù)測】

知識點一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在aABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,h,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

4=上=工=27?

公式b2=c2+/-2<7CCOSB；

sinAsinBsinC

c1=a1+b2-2abcosC

b2+c2-a1

cosA=---------------；

⑴〃=2RsinA,Z?=2RsinB,c=2RsinC；2bc

常見_c2+a2-h2

(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

變形2R2R2R2ac

ca2-^b2-c2

cosC=---------------.

2ah

(2)面積公式：

S,\ABC=g必sinC=；%csinA=gacsinBSXABC==g(a+6+c)-r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并

可由此計算R,r.)

知識點二：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:6:c=sinA:sin8:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>￡><=>A>B<=>sin>sinB<=>cosA<cosB③合分比

a+b+ca+bb+ca+cabc*_

======-------=ZA

sinA+sin8+sinC--sinA4-sinB---sin8+sinC----sinA+sinC---sinA---sinB---sinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=TT

?sinC=sin