2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)奔馳定理與四心問題

奔馳定理與四心問題

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

一、四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1.

（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

二、奔馳定理——解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知的頂點(diǎn)人（。1,小），佻），。（兩，納），則AABO的重心坐標(biāo)為G（叁土登土生，"飛十仇

注意：⑴在△力中，若O為重心，則冏+礪+定=。

（2）三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2:1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=^-AB+^-AC.

oJ

奔馳定理：SA-（51+S1團(tuán)+Sc?丸=6,則△力08、AAOC、ABOC的面積之比等于A^.A,

奔馳定理證明：如圖，令4O<=OX,A2OB=OBX,=5^,即滿足++=0

St^AQB=]SMOC--A-,5AB0c=，故S^AOB-S^AOC-S^BOC~442：兒

SMOBI41義2'S^AiOCi人143DgiOCi人243

三、三角形四心與推論：

（1）0是△ABC的重心：S11goe:SA8A：S/\4O8=1：1：1oOA+OB+OC=。.

(2)0是△48。的內(nèi)心：SABoc-S^COA-S^AOB=。山:。=OA+OB+OC=6.

(3)0是ZkABC的外心：SABoc：SAca4：Sz^408=sin2Asin2B:sin2cosin2AoA+sin2JBOB+sin2coe=0.

(4)0是AABC的垂心：S^BOC'S^COA-S^AOB=tanX:tanjB:tan(7?tanAOA+tanBOB+tan。。。=0.

?【方法技巧與總結(jié)】

4DA（^>

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量,——>,+?——?,所在的直線上.

明阿|

\AB\-PC+\BC\-PC+?麗=6OP為AABC的內(nèi)心.

（2）外心：|尹司=|兩|=\PC\oP為AABC的外心.

（3）垂心：成?麗=而?用=圮?以=2為△ABC的垂心.

（4）重心：戶N+廂+戶方=6=P為△ABC的重心.

?［題型歸納目錄】

題型一:奔馳定理

題型二:重心定理

題型三:內(nèi)心定理

題型四:外心定理

題型五:垂心定理

【典例例題】

題型一:奔馳定理

例1.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)

應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已

知O是4ABe內(nèi)的一點(diǎn)，4BOC、XAOC、/\AOB的面積分別為S〃、SB、S0,貝U01+SB?赤+

Sc?0方=6.若O是銳角XABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABAC.AABC.NACB是4ABC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿

足見?兩=亦五=弧加則（）

A.O為△ABC的垂心

B.AAOB^n-ZACB

C.|OA|:|OB|:|OC|=sinZBAC:sinZABC:sinZACB

D.tanZBAC-OA+tanZABC-OB+ta.nZ.ACB-OC=6

例2.（多選題）（2022?全國(guó)?商三專題練習(xí)）點(diǎn)。在△4BC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

AB_AC'

A.若動(dòng)點(diǎn)P滿足方=。4+4+僅＞0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的

JABkinb|AC|sinC,

垂心;

ACBA

B.若=0,則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心;

C.若（52+加）?荏=（9+文）?團(tuán)=0,則點(diǎn)O為△ABC的外心;

ABAC\

D.+（/I>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC

|AB|cosB\AC\cosC)

的重心.

例3.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）奔馳定理：己知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,A4OC,AAOB

的面積分別為SA，SB,S0,貝USK51+Sp?加+苑=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美

的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔

馳定理”.若O、P是銳角△4BC內(nèi)的點(diǎn)，4、B、。是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足且4+兩+用=

^-CA,OA-OB=OB-OC=OC-OA,^\（）

o

A.SAPAB：SAPBC：SAPCA=42.3B.ZA+ZBOC=TT

C.|O>1|：|OB|：|OC|=cosX：cosS：cosCD.tanA-OA+tanB-O5+tanC-OC=(5

例4.（多選題）（2022?淅江?高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G為△4BC的重心，點(diǎn)O,E分別為4B,上的

點(diǎn)，且O,G,E三點(diǎn)共線，/=zn戲，AE=nAC,m>0,九>0,記△4DE,AABC,四邊形BDEC

的面積分別為S1，S2，S3,則（）

A.—m+—n=3B.-p-=mn

D.-^<4

C，-S3>-—5

o3o

例5.（河南省安閑市2021-2022學(xué)年高一年級(jí)下學(xué)期階段性測(cè)試（五）數(shù)學(xué)試卷）己知。是△ABC內(nèi)的一

點(diǎn)，若△BOC,A4OC,A4OB的面積分別記為,WJ-04+S2-OB+S;5-OC=0.這個(gè)定理對(duì)

應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知。是△力BC的垂心,

且9+2OB+3OC=6,則tanZBAC：tanZABC：tanZACB=(

A.1:2:3B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

例6.（2021?四川穩(wěn)陽?高一期末）己知P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且9+3屈+5形=6,則△PAB、

△PC4、APBC面積之比為（）

A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1

例7.（2022?安熱花湖一中三模（a））平面上有AABC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形，若將△OAB,

△OBC,△OC4的面積分別記作Sa,S&,則有關(guān)系式Sa-OA+Sb-OB+Sc-OC=^.因圖形和奔

馳車的log。很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,若滿足a?。才+b?而+c?五=6,則。為△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D,垂心

例&（2022?云南?一模（a））在AABC中，。是直線4B上的點(diǎn).若2前=3+4刀,記A4CB的面積為

§

Si，A4CD的面積為S2,則蒼)

A.卷QJLD

BT。3l

例9.（2022?全國(guó)?方三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，已知A4BC的面積是XACD的面積的2倍.若

存在正實(shí)數(shù)使得AC=（^~A）AB+（1-—）AD成立,則2x+y的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

例10.（2022?上海?高三專題練習(xí)）如圖，P為△48。內(nèi)任意一點(diǎn)，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c.總有優(yōu)

美等式S^PBCPA+S^ACPB+S^ABPC=6成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)

有以卜命題：

①若P是△ABC的重心，則有巨牙+麗+同=6；

②若aA4+b兩+c司=6成立，則P是△ABC的內(nèi)心；

5

③若由=^-AB+^-AC,則S^ABPS4ABe=2:5；

OD

④若P是△ABC的外心，4=?=m屈+九㈤，則m+mC[一2,1）.

則正確的命題有.

例11.（2022?江西宜春?南三期末（＜））已知S&ABC=3,點(diǎn)M是&ABC內(nèi)一點(diǎn)且加+2MB=為7,則

△MBC的面積為（）

A.2B.號(hào)C.[D.y

例12.（2022?全國(guó)?南三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若瘋=J赤+4加，則△ABM

與"以0的面積之比為（）

A.B.C.2D.春

例13.（2022?全國(guó)?南三專題練習(xí)）已知點(diǎn)。為正所在平面上一點(diǎn)，且滿足CX+歸行+（1+2）定=

。，若△OAC的面積與△OAB的面積比值為1:4,則4的值為（）

A.JB.C.2D.3

【方法技巧與總結(jié)】

弄裝定理:如圖，已知P為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有SAPBC?PA+屈+S^AB-PC=O.

由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似,我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對(duì)于利用平面

向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.

題型二:重心定理

例14.（2022?浙江紹興?模擬（測(cè)）已知△一月是圓心為。，半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，河是圓O上一

點(diǎn)，G是△ARC的重心.若兩_1_0苕,則AM2+BM2+CM2=.

例15.（2022?江蘇南京?模擬覆測(cè)）在△力中，荏.正=（）,|荏|=3,|廊|=4,O為△ABC的重心，D

在邊上，且A。_LBC,則AD-AO.

例16.（2022?全國(guó)?方三專題練習(xí)）在△ABC中，回=4,西=隹且藥=^+m不—+3一，

I|a|smB\b\smAJ

mCR,則點(diǎn)P的軌跡一定通過△力5。的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

例17.（2022?全國(guó)病三專題練習(xí)）已知4B,。是平面上不共線的三點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足加=

《［（1—4）04+（1—4）加+（1+2?0己］"6H,則點(diǎn)r的軌跡一定經(jīng)過（）

A.ZVLBC的內(nèi)心B.ZVIBC的垂心C.ZVIBC的重心D.AB邊的中點(diǎn)

例18.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，G為重心，AC=24，BG=2,則而?宓=

例19.（2022?四川達(dá)州?二#（文））在△4BC中，G為重心，AC=2V3,BG=2,則巨？?宓=

例20.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（?））在△ABC中，點(diǎn)G是4ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別交線段AB,

于點(diǎn)N,M（M,N不與A4BC的頂點(diǎn)重合）,則善色的最小值為________________.

'△CMG

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在△4BC中，AB=1,NABC=60°,而?而=一1,若。是△48。的重

心,則BOAC=.

例22.（2022?全國(guó)通三專題練習(xí)）如圖，O是的重心，AB^a,左=立D是邊上一點(diǎn)，且加=

3DC,歷=%+”氏則4+〃=.

例23.(2022?直慶?三模)已知。為ZV1BC的重心，記51=4,赤=；，則冠=()

A.-2a—bB.—a+26C.a-2bD.2a,+b

例24.（2022?安微蚌埠?模擬覆測(cè)（理））已知點(diǎn)P是△ABC的重心,則下列結(jié)論正確的是（）

A.(sin2A)PA+(sin2B)PB+(sin2C)FC=0

B.(sinA)PX+(sinB)麗+(sinC)圮=G

C.(tanA)Pl+(tanB)P^+(tanC)PC=0

D.PA+PB+PC=(5

例25.（2022?遼寧?二#）已知點(diǎn)P為A4BC的重心，43=3,4。=6,4=警,點(diǎn)。是線段BP的中點(diǎn)，則

I而|為（）

A.2B.4C.V3D.4

例26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)。是平面上一定點(diǎn)，A、5、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

加=04+4（也+態(tài)）＜C[0,+8）,則p的軌跡一定通過△4呂。的（）

A.外心B.內(nèi)心C,重心D.垂心

例27.（2022?寧夏石嘴山?一模（理））已知G是△ABC重心，若司=2,|而|=何，則/.后守的值為

（）

A.4B.1C.-2D.2

例28.（2022?黑龍江?哈九中高三開學(xué)考試（＜））數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次

指出：△ABC的外心O,重心G,垂心H,依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距

離的一半,該直線被稱為歐拉線.若4B=4,4C=2,則下列各式不正確的是（）

A.AG-BC-4^0.B.2GO^-GHC.AO-BC+6=0D.OH^OA+OB+OC

例29.（2022?湖北霍鄂州高中高三期末）在△力BC中，A=與，G為△ABC的重心，若怒?南=怒?就

O

=6,則△ABC外接圓的半徑為（）

A.V3B.C.2D.2瓜

O

例30.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））在&4BC中，A=告，O為△48。的重心，若?荏=ZS?/=

2,則△ABC外接圓的半徑為（）

A.圣B.岑^C.V3D.

OOO

例31.（2022?全國(guó)?南三專題練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為ABCO為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

ABAC

OP=OA+A"6（0,+8）則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△AB。的（）

|而卜inB+|AC|sinC

A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心

【方法技巧與總結(jié)】

三角形的重心一定在三角形的中線上，所以，在等式中顯示出的現(xiàn)象是兩個(gè)相加的向量，前面的系數(shù)相同，還

需注意兩個(gè)系數(shù)相同的向量相加的同時(shí)還會(huì)產(chǎn)生中點(diǎn).

題型三:內(nèi)心定理

例32.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若O在ZVIBC所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件OA-

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

例33.（2022?全國(guó)?赤三專題練習(xí)）已知點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，4,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

足加=52+4+Qe（0,+8））,則點(diǎn)p的軌跡一定通過△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

例34.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知Rt&ABC中，45=3,AC=4,BC=5,/是△力的內(nèi)心，P是

MBC內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn).若#=AAB+〃冠（九〃CR）,則/I+〃的取值范圍是.

例35.（2022?廣西柳州?方一期中）設(shè)O為△46。的內(nèi)心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+

nBC（,m,nWR）,貝ljm+九=

例36.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）△ABC中，a、6、c分別是BC、AC.的長(zhǎng)度，若a?示+b?加+c?

定=0,則。是△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

例37.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，4B=2AC,動(dòng)點(diǎn)M滿足AM■（BC+AC]=0,則直線AM

一定經(jīng)過△48。的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

例38.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A4BC的內(nèi)角力，B,。所對(duì)的邊分別為a,b,C.A4B。內(nèi)一點(diǎn)“滿

足：a?祝+b?屈+c?破=0,則M一定為△48。的（）

A.外心B.重心C.垂心D.內(nèi)心

例39.（2022?全國(guó)鵬三專題練習(xí)）已知。是△4BC所在平面上的一點(diǎn)，角4B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

若冏=。，力十代翌。股（其中P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)）,則。點(diǎn)是AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【方法技巧與總結(jié)】

角平分做定理:若①礪=5,則乙408平分線上的向量?jī)蔀殒?春），4由前決定.

tA

-b

Q+和

一

角平分線定現(xiàn)證明：令卷和卷分別為函和帚方向上的單位向量,⑹一_⑹￡為一組鄰邊的

1。1\b\同lal

平行四邊形過。點(diǎn)的的一條對(duì)角線，而此平行四邊形為菱形，故在Z.AOB平分線上，但Z.AOB平

囪\b\

分線上的向量加終點(diǎn)的位置由而決定.當(dāng)/!=1時(shí)，四邊形OAMB構(gòu)成以ZAOB=120°的菱形.

題型四:外心定理

例40.（2022?全國(guó)鵬三專題練習(xí)）在△ABC中，=4,4C=3,力■，點(diǎn)。為△ABC的外心，若彩=

O

AAB+/1AC,入〃GR,貝ij4=.

例41.（2022?全國(guó)?方三專題練習(xí)）已知。是平面上的一定點(diǎn)，Z,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

足赤=%遠(yuǎn)rABAC'

}入e（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過的

.|AB|cosB|AC|COSC,

()

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.垂心

例42.（2022?全國(guó)?模擬fl測(cè)）在AABC中，AB=2,AC=2代，BC=4,點(diǎn)O為的外心，則初?或

=，。是三角形ABC外接圓圓心O上一動(dòng)點(diǎn)，則加?（兩+用）的最小值為.

例43.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)O為AABC的外心，若才5=旗+2AC,則sinZBAC的值為

例44.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在&4BC中，點(diǎn)O為△ABC的外心，|荏|=6,則荏?

例45.（2022?寧夏六疊山高級(jí)中學(xué)二模（理））已知△ABC中，43=4。=1,6。=四,點(diǎn)O是4ABe的外

心，則乃也=.

例46.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB=1,BC=遍，4。=2,點(diǎn)O為△ABC的外心，若

AO=sAB+tAC,則有序?qū)崝?shù)對(duì)（s,t）為.

例47.（2022?淅江?寧波諾丁漢漸中模擬演瀏）在AABC中，點(diǎn)。、點(diǎn)H分別為△ABC的外心和垂心，|AB|=

5,|AC|=3,則方面=.

例48.（2022?河南逐城縣栽育體育局我學(xué)研究宣二模（文））已知ZVIBC的外心為O,若赤+ZU=2AO,

且=|屈|,則B=.

例49.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系rroy中，見=(1,3),加=(3,1),OC=xOA+yOB

(其中x€R,y6J?).

(1)若點(diǎn)。在直線4B上，且5d_L荏，求電"的值.

(2)若點(diǎn)C為^OAB的外心，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

例50.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)。為△ABC的外心，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，若b=3,c=

5,則。X?宓=()

A.8B.-8C.6D.-6

B

例51.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知△ABC的外心為。，2AC=5BC=10,2OC-AB=()

A.11B.10C.20D.21

例52.（2022?全國(guó)?模擬覆測(cè)（理））在△ABC中，NABC=仔，O為ZVIBC的外心，朗?麗=2,安?汨=

O

4,則巨？屈=（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

例53.（2022?江?蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，C4=2CB=4,R為AABC的外心，則兩?荏

=（）

A.-4B.4C.-6D.6

例54.（2022?江西上饒?二模（理））已知ZVLBC的外心為點(diǎn)O,A/為邊上的一點(diǎn)，且麗=2面方2氏4。

=卷,用?疝=1』//1反7的面積的最大值等于（）

O

A.率B.V3C.D.

zo4

例55.（2022?全國(guó)?南三專題練習(xí)）在4ABC中，角B,。的邊長(zhǎng)分別為b,c,點(diǎn)O為△力BC的外心，若從+c2

=2b,則宓?前的取值范圍是（）

A.[—1-,0）B.（0,2）C.[—D.[—十,2）

例56.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知平面向量OA,9滿足OA-OB=0,\OB\=2,D為線段。4上一

點(diǎn)，E為△4QB的外心，則赤?麗的值為（）

44

A.—2B.—C.可D.2

例57.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在中，設(shè)而?一月音=?宓，那么動(dòng)點(diǎn)河的軌跡必通過

△48。的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

【方法技巧與總結(jié)】

外心定理:垂直平分線的交點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

(l)AO-AB^^-\AB\2,Ad-AC^^-\AC\2;Bd-BC=^-\BC\2-,

(2)AO-AF^^\AB\2+^-\AC\2,Bd-BE^^-\AB\2+^-\BC\2,Cd-CD+--\AC\2;

(3)AO-BC=^\AC\2-^\AB\1,Bd-AC^-\BC\2-^-\BA\2,CO-AB^^-\BS\2-^-\AC\2.

題型五:垂心定理

例58.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知。為4ABC的垂心，且引+2OB+3OC=G,則角4的值為()

例59.（2022?全國(guó)?方三專題練習(xí)）設(shè)。是平面上一定點(diǎn)，力，8,。是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足而

ABAC

=OA+A.,|AB|cosB+\AC\cosC}'/le[o,+8）,則點(diǎn)p的軌跡經(jīng)過八4口。的（）

A.內(nèi)心B.夕卜心C.垂心D.重心

例60.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若O是△力的垂心，ZX=sinScosCAB+sinCcosBAC=

o

msinBsinCAO，則m=()

A.1B.冬C.瓜D.空

oZ

例61.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在△ABC中，若胡?麗=而?正=五?改,則下列說法正確的是

（）

A.O是△45c的外心B.O是△ABC的內(nèi)心

C.O是△力的重心.D.O是△ABC的垂心

22

例62.（2022?全國(guó)*三專題練習(xí)）已知點(diǎn)。為A4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且+月冷=+C4=OC+

反音，則O一定為△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

例63.（2022?上海?高三專題練習(xí)）三角形4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足"?麗=麗?玄=9?戶江，那么

點(diǎn)尸是三角形4口。的（）

A.重心B.垂心C,外心D.內(nèi)心

例64.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）點(diǎn)P為工ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足而=

/y+F"C（0,+8）,則點(diǎn)P的軌跡通過△力5。的（）

I|71B|COSB|>1。卜050

A.外心B.重心C.垂心D.內(nèi)心

（222

例65.2022?全國(guó)$三專題練習(xí)）若H為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|月司、|后討2=|HB|+|CX|=|HC|

+|荏『則點(diǎn)"是AABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

例66.（2022?金B(yǎng)l?高三專題練習(xí)）在△ABC中，48=AC,tanC=■，舊■為△ABC的垂心，且滿足而=

O

mAB+nBC，貝！Jm+n=.

【方法技巧與總結(jié)】

?赤=五?赤=左畫一定）=0=詬耳=0,即無J_（5X

奔馳定理與四心問題

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

一、四心的概念介紹，

(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

二、棄馳定理一一一解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知△ABC的頂點(diǎn)人(。1,小)，B(g,佻)，。(兩，納)，則AABO的重心坐標(biāo)為G(叁土登土生，"飛十仇

注意：⑴在△力BC中，若O為重心，則冏+礪+定=。

(2)三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2:1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=^-AB+^-AC.

oJ

奔馳定理：SA-(51+S1瓦+Sc-丸=6,則△力08、AAOC、ABOC的面積之比等于而沏/li

奔馳定理證明：如圖，令0彳，用小豆=(5瓦，方=5己，即滿足04+(5百+(5百i=o

1S^oc1S^BQC1

故SdAOB：SAAOC：S^J3OC=

殳4OB|4向'S^AiOCiS^BiOCi

三、三角形四心與推論：

(1)。是4ABe的重心：Sgoc：SACOA.SMOB=1：1：1QOA+OB+OC=6.

(2)0是△48。的內(nèi)心：S△映c；SACQA：SMOB=Q：b：。=OA+OB+OC=6.

(3)0是ZkABC的外心：SABoc：SAca4：Sz^408=sin2Asin2B:sin2cosin2AoA+sin2JBOB+sin2coe=0.

(4)0是AABC的垂心：S^BOC'S^COA-S^AOB=tanX:tanjB:tan(7?tanAOA+tanBOB+tan。。。=0.

?【方法技巧與總結(jié)】

4DA(^>

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量,——>,+?——?,所在的直線上.

明阿|

\AB\-PC+\BC\-PC+?麗=6OP為AABC的內(nèi)心.

（2）夕卜0:\PA\=I而I=\PC\oP為AABC的外心.

（3）垂心：成?麗=聞?用=況?以oP為△ABC的垂心.

（4）重心：戶N+廂+戶方=6=P為△ABC的重心.

?［題型歸納目錄】

題型一:奔馳定理

題型二:重心定理

題型三:內(nèi)心定理

題型四:外心定理

題型五:垂心定理

【典例例題】

題型一:奔馳定理

例1.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)

應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已

知O是4ABe內(nèi)的一點(diǎn)，4BOC、XAOC、/\AOB的面積分別為S〃、SB、S0,貝U01+SB?赤+

Sc?0方=6.若O是銳角XABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABAC.AABC.NACB是4ABC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿

足見?兩=亦五=弧加則（）

A.O為△ABC的垂心

B.AAOB^n-AACB

C.|OA|:|OB|:|OC|=sinZBAC:sinZABC:sinZACB

D.tanZBAC-OA+ta.nZ.ABC-OB+tanZXCB,OC=（5

【答案】43。

【解析】首先可根據(jù)?麗=麗?定得出而_1,射，用相同的方式得出

示_1_五、文_1_而，即可得出力正確，然后作輔助線，根據(jù)乙乙40=90°—

“30、ZABO=90-ZBAC即可得出B正確，再然后通過正弦定理得出壽%=菽雀而,即

婚=黑用器，用相同的方式得出褰=晨;光:，即可得出。錯(cuò)誤，最后結(jié)合解三角形面積公式以

及3項(xiàng)得出S*、SB、Sc,根據(jù)“奔馳定理”得出嗎軍―?3+則件。.礪+嗎芻部.歷結(jié)

I。同|。。|

合。項(xiàng)即可得出。正確.

【詳解】

力項(xiàng)：（5/.9.文，即示.兩一詞.定=0,

OB\OA-OC'）=^,OB-CA=^,OBrCA,

同理可得_L而，OU，說，

故。為△ABC的垂心，A正確；

B:如圖，延長(zhǎng)49交BC于點(diǎn)。，延長(zhǎng)BO交4c于點(diǎn)E,延長(zhǎng)8交于點(diǎn)尸,

因?yàn)?，麗，所以NADB=90\ZBAO=90°-ZABC,

因?yàn)?_L可，所以ZBEA=90°,ZABO=90°-ABAC,

則Z.AOB=兀-Z.ABO-Z.BAO=兀一（90°—NBA。）-（90°-NABC）

=ZBAC+AABC=n-ZACB,B正確；

C項(xiàng)：在△AOB中，由正弦定理易知..%c,

smZ.AJD（JsinZ-BAO

因?yàn)镹BAO=90°-NABC,ZABO=90°-ABAC,

所以24=QB

sin（90。一Z.BAC）sin（90。一/AB。）’

04=OBOA=cos/BAC

即cos/BAC~cosZABC'~OB~cosZABC'

同理可得色旦=cos/'BC

"埋J付OCcos/ACB'

it|04|：|OB|：|OC|=cosZBAC-.cosZABC-.cosZACB,C錯(cuò)誤;

。項(xiàng)：/403=兀一/46?,同理可得/40。=n一/43。，ABOC=n-ABAC,

則$八=/?\OB\-\OC\-sin/3OC=}?\OB\-\OC\-sin（兀-ZBAC）

=y?\OB\?\OC\?sin/BAC=4?阿?國(guó)|?國(guó).晉等,

RI

.阿函可.阿.國(guó).力舍,

同理可得SBQ.1.|g.q*,Sc=f|

因?yàn)閍-9+SB+S0?五=。，

,^sinZABC,5gsinZACB,^

所以將&、Sp、SC代入，可得包jg絲++=a

|OA|\OB\|。。|

因?yàn)槌鄚：|五|=cos^BAC-.cosAABC-.cos^ACB,

所以sing^O：sinf嗎今汨=tanNBACHanzSABCHan/ACB,

|\O明A\\OB\\OC\

故tan/RAC?OA+ta.nZ.ABC-OB+tanZACB-OC=0成立，。正確，

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、解三角形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系以及向量的相關(guān)運(yùn)算，考查向

量垂直的相關(guān)性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)“奔馳定理”的理解與應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難

題.

例2.（多選題）（2022?全國(guó)?南三專題練習(xí)）點(diǎn)。在△4BC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

產(chǎn)一+_AC'

A.若動(dòng)點(diǎn)P滿足罰=01+1僅>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的

|4C|sinC,

垂心;

B.若=0,則點(diǎn)。為&ABC的內(nèi)心;

C.若（51+礪）?而=（9+五）?圮=0,則點(diǎn)O為△4BC的外心;

D.若動(dòng)點(diǎn)P滿足加=肉+4（^AC\

+\AC\cosC)（4>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過XABC

\AB\cosB

的重心.

【答案】BC

【解析】

A由正弦定理知MB|sinB=|AC|sinC=Tn,且OP—OA=/P,代入已知等式得AB+AC=mAP,即知P

的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；B、。分別假設(shè)O為△ABC的內(nèi)心、外心，利用

向量的幾何圖形中的關(guān)系，及向量的運(yùn)算律和數(shù)量積判斷條件是否成立即

可；。由o戶-<54=存，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量數(shù)量積的幾何意義求

萬?有H的值，即知p的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；

【詳解】

A:由正弦定理知|XB|sinB=\AC\smC=m,而OP—OA—AP,所以43

+前=mAP,即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過4ABC的重心，故錯(cuò)誤.

■B：若。為△■ABC的內(nèi)心，如下圖示：“力——|J4￡J|,同理_，旦~

\AC\\AB\

一時(shí)瞽"砒需=一兩

OBtBCOB,BA??八,

―-^=r----------——=\BD\-\BF\=0,故t正確&；

C:若O為△ABC的外心，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，則OA+OB^2OD,而

OD-AB=0,同理方+5運(yùn)=2礪，又就?郎=0,故（04+0面?通=

（加+正）?圮=0,正確；

。:由麗一51=而,故存.BC=A(^'BC+")=

\\AB\cosB\AC\cosC)

A(-\BC\+\BC\)=0,即而JL方方，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△力BC的垂心，錯(cuò)

誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用已知等量關(guān)系，結(jié)合向量的運(yùn)算律、數(shù)量積的值判斷

向量過三角形的何種心，或假設(shè)。為△ABC的內(nèi)心、外心，再應(yīng)用幾何圖形中

相關(guān)線段所表示的向量，結(jié)合向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷條件是否成立.

例3.(多選題)(2022?全國(guó)?高三壽題練習(xí))奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,△AOC,AAOB

的面積分別為SA，SB，Sc，則S「兩+S??加+So?正=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美

的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbe.)的logo很相似，故形象地稱其為“奔

馳定理”.若O、P是銳角△ABC內(nèi)的點(diǎn)，A、B、C是△ABC的三個(gè)