2022年中考數(shù)學復習新題速遞之相交線與平行線（2022年1月）

一.選擇題（共10小題）

1.（2020秋?安丘市期末）一把直尺與30°的直角三角板如圖所示，/1=50°,則N2=

2.（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，建筑工工作時，經(jīng)常在墻角的位置分別插一根木樁，然后

拉一條直的參照線，能解釋這一具體應(yīng)用的數(shù)學知識是（）

A.兩點之間，線段最短

B.垂線段最短

C.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.兩點確定一條直線

3.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，某同學在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的

跳遠距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是（）

一

起

妒

區(qū)

_

A.兩點之間，線段最短

B.垂線段最短

C.兩點確定一條直線

D.經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

4.（2020秋?蘇州期末）如圖，在立定跳遠中，體育老師是這樣測量運動員成績的：用一塊

直角三角板的一邊緊貼在起跳線上，另一邊與拉直的皮尺重合.這樣做的理由是（）

B

A.過一點可以作無數(shù)條直線

B.過兩點有且只有一條直線

C.兩點之間，線段最短

D.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

5.（2021?康巴什校級三模）如圖，已知AB〃C￡>,Zl=125°37',N2=55°46',則N

6.（2021秋?長春期末）如圖，點A是直線/外一點，過點A作于點艮在直線/上

取一點C,連結(jié)AC,使AC=2A8,點P在線段BC上，連結(jié)AP.若AB=3,則線段

A.3.5B.4C.5D.5.5

7.（2021秋?長春期末）如圖，AB//CD,ZFGB=155°,FG平分NEFD,則NAEF的大

小為（）

AKGB

C/FD

A.25°B.50°C.70°D.77.5°

8.（2020秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，直線被直線，3、/4所截，并且/3,"，41=46°

則N2等于（）

9.（2020秋?平昌縣期末）下列說法正確的是（）

①若線段AB與CD沒有交點，則AB//CD

②相等的角是對頂角

③平行于同一條直線的兩條直線平行

④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

⑤過直線外一點作直線的垂線段，垂線段的長度叫做點到直線的距離

A.①③④⑤B.③⑤C.②③④D.③??

10.（2020秋?南岸區(qū)期末）如圖，。是NABC的邊8C上一點，DE//BA,/CBE和/CCE

的平分線交于點尸，若/尸=a,則NA8E的大小為（）

A.aB.—aC.2aD.3a

22

二.填空題（共6小題）

11.（2020秋?濱?？h期末）如圖，把一張長方形紙條A8CZ）沿EF折疊，若/AEG=64°,

則NOEF=°.

12.（2021秋?長春期末）如圖，將三角尺與兩邊平行的直尺（EF〃HG）貼在一起，使三角

尺的直角頂點（/ACB=90°）在直尺的一邊上.若N2=47°,則/I的大小為

度.

13.（2021秋?肇源縣期末）如圖，DE//BC,CD平分/ACB,/ACB=58°,則/EZ5C

14.（2020秋?錢塘區(qū)期末）平面內(nèi)有五條直線兩兩相交，設(shè)最多交點個數(shù)為公最少交點個

數(shù)為4最多對頂角對數(shù)為c,則2a+b-c的值是.

15.（2020秋?萬榮縣期末）如圖，將一張長方形紙片A8CZ）折疊成如圖所示的形狀，NEGC

=26°,則N〃?G=.

16.（2020秋?安丘市期末）如圖，AB〃CD,ZABE=60°,Z￡=12°,則/￡>=度.

E

三.解答題（共9小題）

17.（2021秋?長春期末）如圖，如果/1=60°,/2=120°,ZD=60°,那么48與CO

平行嗎？BC與DE呢?

觀察下面的解答過程，補充必要的依據(jù)或結(jié)論.

解；Nl=60°（已知），

/ABC=/1（）,

AZABC=60°（等量代換）.

又：/2=120°（已知），

（）+/2=180°（等式的性質(zhì)），

J.AB//CD（）.

又,：N2+NBCD=（°）,

.".ZBCD=60°（等式的性質(zhì)）.

VZD=60°（已知），

:"BCD=ND（）,

：.BC//DE（）.

18.（2021秋?長春期末）如圖，ZB=ZBGD,ZBGC=ZF.試說明NB+/F=180°.請

完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的理論根據(jù).

解：?:NB=NBGD（已知），

//CD（）.

VZBGC=ZF（已知），

：.CD//（）.

，//（平行于同一直線的兩直線平行）.

19.（2020秋?仁壽縣期末）閱讀并完成下列推理過程，在括號內(nèi)填寫理由.

己知：如圖，點O,E分別在線段AB、BC上，AC//DE,平分NB4C,DF平分NBDE

交BC于點E、F.

求證：DF//AE.

證明：平分/B4C（己知），

二/1=/2卷/34。（）.

尸平分N8OE（已知），

；./3=/4=」（角平分線的定義），

2

,JAC//DE（已知I）,

：.ZBDE=ZBAC（）.

二/2=/3（）.

J.DF//AE（）.

20.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，A、B是直線MN上的兩個點，且不重合，分別過點A、

B作直線MN的垂線AC、BD,點、C、。在直線MN的同側(cè).若NC4E=65°,NDBF=

65°,則AC與8。平行嗎？AE與平行嗎？完成下面的解答過程，并填空（理由或

數(shù)學式).

解：'：ACLMN,BDLMN(),

J.AC//BD().

"JACLMN,

：.ZCAB=90c,().

.,.Zl+ZCAE=90".

同理可得/2+NO8F=90°.

VZCA￡=65°,NDBF=65°,

：.ZCAE=()=65°().

()=Z2.

J.AE//BF().

MABN

21.（2021秋?綠園區(qū)期末）【感知】己知：如圖①，點E在AB上，且CE平分NACD,Z1

—Z2.求證：AB//CD.

將下列證明過程補充完整：

證明：平分N4CD（已知），

/.Z2=Z（角平分線的定義），

VZ1=Z2（已知），

=N（等量代換），

J.AB//CD（）.

【探究】已知：如圖②，點E在AB上，且CE平分NACO,AB//CD.求證：Z1=Z

2,圖①圖②圖③

【應(yīng)用】如圖③，BE平分NOBC,點A是B。上一點，過點A作AE〃8C交BE于點E,

直接寫出的度數(shù).

ZABC：ZBAE=4：5,NE

22.(2021秋?長春期末)如圖，已知AC±AE,BDLBF,AC與8。平行嗎？補

全下面的解答過程(理由或數(shù)學式).

解：'：AE//BF,

：.ZEAB=.()

'：AC±AE,BDLBF,

...NEAC=90°,/FBD=90°.

：.ZEAC^ZFBD()

NEAB--NFBG-

即N1=N2.

對應(yīng)相等.例如：在圖①、圖②中，都有/1=N2,Z3=Z4.設(shè)鏡子AB與BC的夾角

ZABC=a.

(1)如圖①，若a=90°,/1=50°,貝叱4=°；

(2)如圖②，若a=115°,入射光線EF與反射光線G”的夾角求0的度

數(shù)；

(3)如圖③，若90°<a<180"，設(shè)鏡子CO與8c的夾角/BCD=Y(90°<Y<180°),

入射光線EF與鏡面AB的夾角Nl=m(0°</7J<90°),已知入射光線EF從鏡面AB

反射到鏡面BC,再反射到鏡面CD,最后經(jīng)鏡面CD反射后，當反射光線與入射光線EF

平行時，探索相與Y的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

A

圖①圖②圖③

24.(2020秋?東坡區(qū)期末)如圖1,已知AB〃C￡>,點E和點，分別在直線AB和C。上，

點F在直線AB和CD之間，連接EF和HF.

(1)求NAEF+NC”尸+NEF”的度數(shù)；

(2)如圖2,若NAEF*NCHF=2/EFH,平分NC4F交尸E的延長線于點M,Z

DHF=80°,求/FMH的度數(shù).

25.(2020秋?仁壽縣期末)如圖①.已知AM〃CN,點B為平面內(nèi)一點，AB,8c于點B,

過點B作BDLAM于點D,設(shè)NBCN=a.

(1)若a=30°,求/ABD的度數(shù)；

(2)如圖②，若點E、尸在DW上，連接BE、BF、CF,使得BE平分/ABC、BF平分

ZDBC,求NEBF的度數(shù)；

(3)如圖③，在(2)問的條件下，若CF平分NBCH,且NBFC=3NBCN,求NEBC

的度數(shù).

圖①

2022年中考數(shù)學復習新題速遞之相交線與平行線（2022年1月）

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（2020秋?安丘市期末）一把直尺與30°的直角三角板如圖所示，Z1=5O0,則/2=

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】先利用直角三角形兩個銳角互余求出NPFG,再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補即可解決.

【解答】解：???NP=90°,ZG=30°,

NPFG=90°-ZG=60°,

VZl=50°,

.../EFC=/l+NPFG=110°,

"."AD//BC,

.,.Z2+Z￡FC=180°,

；./2=180°-NEFC=10°,

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，尤其要注意直尺的對邊是互相平行的.

2.（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，建筑工工作時，經(jīng)常在墻角的位置分別插一根木樁，然后

拉一條直的參照線，能解釋這一具體應(yīng)用的數(shù)學知識是（）

A.兩點之間，線段最短

B.垂線段最短

C.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.兩點確定一條直線

【考點】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；垂線段最

短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】直接利用直線的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直

的參照線，

這種做法用幾何知識解釋應(yīng)是：兩點確定一條直線.

故選：D.

【點評】此題主要考查了直線的性質(zhì)，正確把握直線的性質(zhì)聯(lián)系實際生活是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，某同學在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的

跳遠距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是（）

一

起

妒

區(qū)

_

A.兩點之間，線段最短

B.垂線段最短

C.兩點確定一條直線

D.經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知宜線垂直

【考點】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；垂線段最

短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】由點到直線的距離的定義及跳遠比賽的規(guī)則作出分析和判斷.

【解答】解：如圖，某同學在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離,

能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是垂線段最短.

故選：B.

【點評】本題考查了垂線段最短性質(zhì)的運用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握由點到直線的

距離的定義及跳遠比賽的規(guī)則.

4.（2020秋?蘇州期末）如圖，在立定跳遠中，體育老師是這樣測量運動員成績的：用一塊

直角三角板的一邊緊貼在起跳線上，另一邊與拉直的皮尺重合.這樣做的理由是（）

B

A.過一點可以作無數(shù)條直線

B.過兩點有且只有一條直線

C.兩點之間，線段最短

D.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

【考點】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；垂線段最

短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】由點到直線的距離的定義及跳遠比賽的規(guī)則作出分析和判斷.

【解答】解：他的跳遠成績是垂線段A8的長度.這樣做的理由是直線外一點與直線上各

點連接的所有線段中，垂線段最短.

故選：D.

【點評】本題考查了垂線段最短性質(zhì)的運用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握由點到直線的

距離的定義及跳遠比賽的規(guī)則.

5.（2021?康巴什校級三模）如圖，已知AB〃C￡>,Zl=125°37',Z2=55°46',則/

【考點】度分秒的換算；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得NEGO=N1=125°37',再由三角形的外角性質(zhì)可求NC

的度數(shù).

【解答】W：'：AB//CD,/1=解5°37',

.,.Z￡GD=Z1=125°37',

?.?/EGO是△CFG的外角，Z2=55°46',

.\ZC=ZEGD-Z2=69°51,,

故選：C.

【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，度分秒的計算，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：

兩直線平行，同位角相等.

6.（2021秋?長春期末）如圖，點A是直線/外一點，過點A作AB，/于點艮在直線/上

取一點C,連結(jié)AC,使AC=&48,點P在線段BC上，連結(jié)AP.若A8=3,則線段

A.3.5B.4C.5D.5.5

【考點】垂線段最短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】直接利用垂線段最短以及結(jié)合已知得出AP的取值范圍進而得出答案.

【解答】解：?.?過點A作AB，/于點B,在直線/上取一點C,連接AC,使AC=&AB,

3

P在線段8C上連接AP.若AB=3,

：.AC=5,

；.3WAPW5,

故A尸不可能是5.5,

故選：D.

【點評】此題主要考查了垂線段最短，正確得出AP的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?長春期末）如圖，AB//CD,ZFGB=\55Q,FG平分NEFD,則NAEF的大

小為（）

A.25°B.50°C.70°D.77.5°

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到/GFC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出

的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：

/.ZFGB+ZGFD=180°,ZFGB=155°,

：.ZGFD=1800-ZFGB=25°,

平分/EFD,

：.NEFD=2NGFD=50°,

'：AB//CD,

：.ZAEF=ZEFD=50Q.

故選：B.

【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩

直線平行，同旁內(nèi)角互補.

8.（2020秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，直線/1〃/2，被直線&/4所截，并且/3，/4，/1=46°,

則N2等于（）

A.56°B.34°C.44°D.46°

【考點】垂線；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】依據(jù)人〃/2，即可得到N3=N1=46°,再根據(jù)/3L4，可得N2=90°-46°

44°.

【解答】解：如圖：

Nl=46°,

二/3=/1=46°,

又；13人74,

/.Z2=90o-46°=44°,

故選：C.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等.

9.（2020秋?平昌縣期末）下列說法正確的是（）

①若線段AB與CD沒有交點，則AB//CD

②相等的角是對頂角

③平行于同一條直線的兩條直線平行

④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

⑤過直線外一點作直線的垂線段，垂線段的長度叫做點到直線的距離

A.①③④⑤B.③⑤C.②③?D.③④⑤

【考點】點到直線的距離；平行公理及推論；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識.

【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，點到直線的距離，平行公理及推論對各說法進行分

析即可.

【解答】解：①在同一平面內(nèi)，若直線AB與CO沒有交點，則AB〃C￡>,故①說法錯誤；

②相等的角不一定是對頂角，故②說法錯誤；

③平行于同一條直線的兩條直線平行，故③說法正確；

④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故④說法正確；

⑤過直線外一點作直線的垂線段，垂線段的長度叫做點到直線的距離，故⑤說法正確；

故說法正確的有：③④⑤，

故選：D.

【點評】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，點到直線的距離，平行公理及推論，解答

的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握.

10.（2020秋?南岸區(qū)期末）如圖，D是N48C的邊BC上一點，DE//BA,ZCBE^ZCDE

的平分線交于點F,若NF=a，則NABE的大小為（）

A.aB.—aC.2aD.—rr

22

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由角平分線的定義可得ZEDF=ZCDF,由三角形的外角性質(zhì)

可得NEOF=NEBF+/E,NEOF=NEDF+NF,NCBF+NF=NCDF,從而可求解.

【解答】解：如圖，

；/C8E和/CDE的平分線交于點F,

：.NEBF=ZCBF,NEDF=ZCDF,

'：ZEOF=ZEBF+NE,ZEOF=ZEDF+NF,ZCBF+ZF=ZCDF,

???NEBF+NE=NEDF+NF,NEDF=/CBF+/F,

：.ACDF-ZF+ZE=ZCDF+ZF,

:.ZE=2ZF,

即NE=2a,

■:DE//BA,

：.ZABE=ZE=2a.

故選：C.

【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系,

求得NE=2a.

二.填空題（共6小題）

11.（2020秋?濱海縣期末）如圖，把一張長方形紙條A3。沿所折疊，若NAEG=64°,

則NOEF=58°.

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)鄰補角先求出NOEG,再利用折疊求出NDE尸即可.

【解答】解：?.?NAEG=64°,

AZDEG=1800-ZAEG=116°,

由折疊得：EF平分NDEG,

:.NDEF=L/DEG=58。,

2

故答案為：58°.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，由折疊可得折痕是角平分線是解題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?長春期末）如圖，將三角尺與兩邊平行的直尺（EF〃HG）貼在一起，使三角

尺的直角頂點（NACB=90°）在直尺的一邊上.若N2=47°,則N1的大小為_^3

度.

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NFCB的度數(shù)，再由N1與NFC8互余即可得出結(jié)論.

【解答】解：，：EF〃HG,Z2=47°,

:./FCB=/2=47°.

VZACB=90°,

AZ1=900-NFCB=90°-47°=43°.

故答案為：43.

【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等.

13.（2021秋?肇源縣期末）如圖，DE//BC,CC平分NACB,58°,則/E￡）C=

29°

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得/EC￡>=29°,再由平行線的性質(zhì)易求得/E0C的度

數(shù).

【解答】解：:CO平分NAC8,/ACB=58°,

AZECD=AZACB=29°,

2

'：DE//BC,

:.NEDC=NECD=29°.

故答案為：29°.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

14.(2020秋?錢塘區(qū)期末)平面內(nèi)有五條直線兩兩相交，設(shè)最多交點個數(shù)為小最少交點個

數(shù)為b,最多對頂角對數(shù)為c,則2a+h-c的值是1.

【考點】對頂角、鄰補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)題意得到6=1;a=10;c=20,代入代數(shù)式2a+h-c,即可得到結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)題意可得：5條直線相交于一點時交點最少，此時交點為1個，

即b—\；

任意兩直線相交都產(chǎn)生一個交點時，交點最多，

，此時交點為：5X(5-1)4-2=10,

即6Z=10；

最多對頂角對數(shù)為C,

即C=5X(5-1)=20,

則2a+"c=2X10+l-20=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了對頂角，鄰補角，熟練掌握對頂角的定義是解題的關(guān)鍵.

15.(2020秋?萬榮縣期末)如圖，將一張長方形紙片ABC。折疊成如圖所示的形狀，ZEGC

=26°,則103°.

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】先依據(jù)折疊可得，/BGF=L/BGE=!X(180°-26°)=77°,再根據(jù)平

22

行線的性質(zhì)，即可得到/AFG的度數(shù)，進而利用折疊的性質(zhì)得出/HFG.

【解答】解：由折疊可得，ZBGF=1ZBGE=1X(180°-26°)=77°,

22

'：AD//BC,

：.ZHFG=ZAFG=\80°-77°=103°,

故答案為：103°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

16.（2020秋?安丘市期末）如圖，AB//CD,ZABE=6Q°,/E=12°,則/￡>=48度.

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】過點E作EH//AB,利用平行線的性質(zhì)可得/HE8,利用EH//CD,根據(jù)兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補可求結(jié)論.

【解答】解：過點E作即〃AB,如圖，

：.ZHEB+ZABE=1SO°.

,：ZABE=60°,

：.ZHEB=\20°.

:.NHED=NHEB+NFED=120°+12°=132°.

,JEH//AB,AB//CD,

J.HE//CD.

.\ZHED+ZD=\S00.

.".ZD=180°-132°=48°.

故答案為：48.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，過點E作E//〃AB構(gòu)造基本圖形是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共9小題）

17.（2021秋?長春期末）如圖，如果/1=60°,N2=120°,ZD=60°,那么AB與CD

平行嗎？BC與DE呢?

觀察下面的解答過程，補充必要的依據(jù)或結(jié)論.

解：/1=60°（已知），

/ABC=N1（對頂角相等）,

AZABC=60°（等量代換）.

又；22=120°（已知），

（ZABC）+/2=180。（等式的性質(zhì)），

：.AB//CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

又（180°）,

AZBCD=60°（等式的性質(zhì)）.

VZD=60°（已知），

:.NBCD=ND（等量代換）,

：.BC//DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由對頂角相等可得從而可求NABC=60°,利用平行線的判定條

件可得A3〃CQ,由已知條件可得/BC￡>=60°,從而有NBCD=ND,從而可判定3c

//DE.

【解答】解1=60。（已知），

ZABC=Zl（對頂角相等），

AZABC=60°（等量代換）.

又；N2=120°（已知）,

AZABC+Z2=180°（等式的性質(zhì)），

：.AB//CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

又?.?/2+NBCO=180°,

AZBCD=60°（等式的性質(zhì)）.

VZD=60°（已知），

：.4BCD=4D（等量代換），

：.BC//DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：對頂角相等；NA8C；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；180；等量代換；內(nèi)錯角

相等，兩直線平行.

【點評】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件及性

質(zhì)并靈活運用.

18.（2021秋?長春期末）如圖，NB=NBGD,ZBGC=ZF.試說明N8+N尸=180°.請

完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的理論根據(jù).

解：＜4B=/BGD（已知），

AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

,：ZBGC=ZF（已知），

：.CD//EF（同位角相等，兩直線平行）.

二AB〃EF（平行于同一直線的兩直線平行）.

.?.ZB+ZF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

【考點】平行公理及推論；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由平行線的判定條件可得ABUCD、CD//EF,再利用平行線的性質(zhì)即可得到

AB//EF,從而可證得NB+/尸=180°.

【解答】解：，：NB=NBGD（已知）,

...A3〃C。（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

,：ZBGC=ZF（已知），

.?.C￡?〃EF（同位角相等，兩直線平行）.

：.AB//EF（平行于同一直線的兩直線平行）.

.,.ZB+ZF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

故答案為：AB-,內(nèi)錯角相等，兩直線平行；EF；同位角相等，兩直線平行；AB-,EF；

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

【點評】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性

質(zhì)，并靈活運用.

19.（2020秋?仁壽縣期末）閱讀并完成下列推理過程，在括號內(nèi)填寫理由.

已知：如圖，點。，E分別在線段A8、BC上,AC//DE,AE平分NBAC,DF平分NBDE

交于點E、F.

求證：DF//AE.

證明：平分NBAC（己知），

.,./1=/2總/8.（角平分線的定義）.

:DF平分NBDE（已知），

二/3=/4=工/BDE（角平分線的定義），

2

'：AC//DE（已知），

:.NBDE=/BAC（兩直線平行，同位角相等）.

AZ2=Z3（等量代換）.

：.DF//AE（同位角相等，兩直線平行）.

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由平分線的定義可得N1=N2=』/8AC,/3=/4=工/8。,再由平行線的

22

性質(zhì)可得N8￡）E=NH4C,則有N2=N3,從而可判定。尸〃AE.

【解答】證明：平分/BAC（已知），

ZBAC（角平分線的定義）?

?,.Zl=z/2=y

'：DF^-^ZBDE（已知），

/.Z3=Z4=AzBD￡（角平分線的定義），

2

\'AC//DE（已知），

（兩直線平行，同位角相等）.

.*.Z2=Z3（等量代換）.

...QF〃AE（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：角平分線的定義；NBDE；兩直線平行，同位角相等；等量代換；同位角相

等，兩直線平行.

【點評】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性

質(zhì)并靈活運用.

20.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，A、B是直線MN上的兩個點，且不重合，分別過點A、

8作直線MN的垂線AC、BD,點、C、。在直線MN的同側(cè).若NC4E=65°,NDBF=

65°,則AC與8。平行嗎？AE與BF平行嗎？完成下面的解答過程，并填空（理由或

數(shù)學式）.

解：'：ACLMN,BD1.MN（已知）,

J.AC//BD（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）.

"JACVMN,

：.ZCAB=9QQ（垂直的定義）.

.".Zl+ZCAE=90°.

同理可得N2+NOBF=90°.

VZCA￡=65°,ZDBF=65°,

：.ZCAE=（/DBF）=65°（等量代換）.

（Z1）=Z2.

：.AE//BF（同位角相等，兩直線平行）.

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由平行線的判定得AC〃BD,再由垂直的定義得Nl+NCAE=90°.N2+NDBF

=90°.然后證/1=N2,即可得出AE〃B￡

【解答】解：：AC_LMN,（已知），

J.AC//BD（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）.

"."AC1.MN,

：.ZCAB=90°（垂直的定義）.

：.Z1+ZCAE=9O°.

同理可得/2+/DBF=90°.

,：ZCAE=65°,NOB尸=65°,

：.ZCAE=ZDBF=65Q（等量代換）.

.,.Z1=Z2.

，AE〃BF（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：已知；在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；垂直的定義；Z

DBF,等量代換；Z1；同位角相等，兩直線平行.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義等知識，熟練掌握平行線的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.（2021秋?綠園區(qū)期末）【感知】已知：如圖①，點E在A8上，且CE平分NACD,Z1

=Z2.求證：AB//CD.

將下列證明過程補充完整：

證明：平分NACD（已知），

二/2=/DCE（角平分線的定義），

VZ1=Z2（已知）,

.-.Z1=ZDCE（等量代換），

J.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【探究】已知：如圖②，點E在AB上，且CE平分NACO,AB//CD.求證：Z1=Z

2,圖①圖②圖③

【應(yīng)用】如圖③，BE平分/O8C,點A是8。上一點，過點A作AE〃BC交BE于點E,

/ABC：ZBAE=4：5,直接寫出/E的度數(shù).

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力；推理能力.

【分析】【感知】由角平分線的定義得/2=/OCE,再證/1=NDCE即可得出結(jié)論；

【探究】由角平分線的定義得N2=NOCE,再由平行線的性質(zhì)得NA=N3CE,即可得

出結(jié)論；

【應(yīng)用】由角平分線的定義得/A8E=/C8E,再由平行線的性質(zhì)得/A8C+/BAE=

180°,NE=NCBE,然后求出/ABC=80°,貝！J/C8E=40°,即可求解.

【解答】【感知】解：平分乙4CO（己知），

：.Z2=ZDCE（角平分線的定義），

=（已知），

.,.Z1=ZDC￡（等量代換），

.?.AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：DCE；DCE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

【探究】證明：平分NAC。，

:.42=/DCE,

'：AB//CD,

ZA=ZDCE,

.*.Z1=Z2；

【應(yīng)用】；BE平分NDBC,

：.NABE=NCBE,

,JAE//BC,

：.ZABC+ZfiAE=180",NE=NCBE,

VZABC：NBAE=4：5,

AZABC=80°,

AZCfiE=40°,

二/E=/CBE=40°.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2021秋?長春期末）如圖，已知AE〃BF,AC±AE,BDVBF,AC與30平行嗎？補

全下面的解答過程（理由或數(shù)學式）.

解：'JAE//BF,

:.NEAB=NFBD+/2.（兩直線平行，同位角相等）

'：AC±AE,BDLBF,

：.ZEAC=90°,NFBD=90°.

:.NEAC=NFBD（等量代換）

NEAB-ZEAC=ZFBG-/FBD,

即/l=/2.

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由平行線的性質(zhì)得NE4B=NFBO+N2,再證N1=N2,然后由平行線的判定

即可得出結(jié)論.

【解答】解：

:./EAB=NFBD+N2（兩直線平行，同位角相等）.

VAC1AE.BD1.BF,

.,.ZEAC=90°,/FBD=90°.

：.ZEAC=ZFBD（等量代換），

NEAB-NEAC=ZFBG-NFBD,

即Z1=N2.

J.AC//BD(同位角相等，兩直線平行).

故答案為：/尸8D+/2；兩直線平行，同位角相等；等量代換；NAEC,NFBD；AC,

BD,同位角相等，兩直線平行.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義等知識，熟練掌握平行線的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.(2020秋?安溪縣期末)當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角

對應(yīng)相等.例如：在圖①、圖②中，都有/1=/2,/3=/4.設(shè)鏡子A8與BC的夾角

ZABC=a.

(1)如圖①，若a=90。，Zl=50°,則N4=40°；

(2)如圖②，若a=115°,入射光線EF與反射光線GH的夾角求0的度

數(shù)；

(3)如圖③，若90°<a<180°,設(shè)鏡子CD與8c的夾角N8CO=Y(90°<y<180°),

入射光線EF與鏡面AB的夾角(0°</n<90°),已知入射光線EF從鏡面AB

反射到鏡面BC,再反射到鏡面CZ),最后經(jīng)鏡面8反射后，當反射光線與入射光線M

平行時，探索巾與Y的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖①圖②圖③

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線：三角形；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等和三角形的內(nèi)角和可得

Z4的度數(shù)；

(2)由三角形的內(nèi)角和可得/2+N3的度數(shù)和，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得答案；

(3)根據(jù)題意畫出圖形，由(2)的思路可得，NG=180°-2(m+/4),NMM7=180°

-2/5,再根據(jù)平行線的性質(zhì)整理所得的式子可得結(jié)論.

【解答】解：⑴VZ1=5O°,

AZ2=Z1=5O°,

VZa=90°,

/.Z3=180°-90°-50°=40°,

???N4=N3=40°,

故答案為：40；

(2)VZa=115°,

AZ2+Z3=180o-115°=65°,

???N1+N4=65°,

???N1=NMEB,N4=NMGB,

：.ZMEG+ZMGE=Z1+Z2+Z3+Z4=13O°,

AZEMG=Zp=180°-130°=50°；

(3)如下圖所示，延長NM和在，交點為G,

由（2）的思路可得，ZG=180°-2m-2/3=180°-2（m+N4）,

/MNH=T80°-2Z5,

,:EF〃NH,

：.ZG+ZMNH=l80Q,即180°-2（〃?+N4）+180°-2Z5=180°,

整理得，m+N4+N5=90°,

機+（180°-丫）=90°,

即Y一加=90°.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).

24.（2020秋?東坡區(qū)期末）如圖1,已知A8〃CO,點￡和點〃分別在直線A8和CD上,

點尸在直線A3和C。之間，連接￡尸和“F.

(1)求NAEF+NCHF+NEFH的度數(shù)；

(2)如圖2,若NAEF+NCHF=2NEFH,平分交FE的延長線于點M,Z

DHF=SOa,求NFMH的度數(shù).

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】（1）過點作/T〃AB,利用平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）過點M作利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義與（1）的結(jié)論分別計算

出/CHM,ZAEF,/AEM的度數(shù)，即可求得結(jié)論.

【解答】解：（1）過點作尸7〃A8,如圖，

AZAEF+ZEFT=ISO°.

'：AB//CD,FT//AB,

：.FT//CD,

：.ZTFH+ZCHF=\SOQ.

又ZEFT+ZTFH=ZEFH,

：.ZAEF+ZCHF+NEFH=360°.

（2）過點M作MN〃A8,如圖2所示,

J.MN//CD.

：.NCHM=NHMN,

：.NAEM=NEMN,

：.NFMH=NHMN-ZEMN,

：.NFMH=ZCHM-ZAEM.

由題知：ZD//F=80°,

AZC//F=100".

■:HM平分乙CHF,

:.NCHM=50°.

由(1)ZAEF+ZCHF+ZEFH=360°,

XZAEF+ZCHF=2ZEFH,ZCWF=100°,

.../AEF=140°.

AZA￡M=180°-/AE尸=180°-140°=40°,

AZFMH=50°-40°=10°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，過點尸或M作AB的平行線是解題的關(guān)鍵.

25.(2020秋?仁壽縣期末)如圖①.已知AM〃CN,點B為平面內(nèi)一點，ABLBC于點B,

過點B作BO_LAM于點。，設(shè)NBCN=a.

(I)若a=30°,求乙48。的度數(shù)；

(2)如圖②，若點E、尸在。M上，連接BE、BF、CF,使得BE平分NABD、B尸平分

ZDBC,求NE8尸的度數(shù)；

(3)如圖③，在(2)間的條件下，若CF平分N8CH,且NBFC=3NBCN,求/EBC

的度數(shù).

圖①圖②圖③

【考點】垂線；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；運算能力.

【分析】（1）延長。交NC于點H,利用平行線的性質(zhì)可求得乙的度數(shù)，利用平

角的定義可求結(jié)論；

（2）延長。8,交NC于點”，利用（1）中的方法求出NQ8A,利用角平分線的定義和

角的和差的表示方法即可求得結(jié)論；

（3）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)用a分別表示N方程，NOFC和/。BF,在

△08F中利用三角形的內(nèi)角和定理列出關(guān)于a的方程，解方程可得a的值，則結(jié)論可求.

【解答】解：（1）延長。8,交NC于點”，如圖，

J.DHA.NC.

：.NBHC=9Q°.

：/BCN=a=30°,

：.NHBC=90°-NBCN=60：

：.ZABC=90°.

/.ZABD=1800-ZABC-ZHBC^30Q；

（2）延長QB,交NC于點H,如圖，

DEAM

/

NHC

,JAM//CN,BDVAM,

J.DHLNC.

:.NBHC=9Q°.

'：ZBCN=a,

:.NHBC=90°-a.

TABIBC,

AZABC=90°.

：.ZABD=180°-ZABC-ZHBC=a.

平分NAB。，

NDBE=ZABE=l.a.

2

；/HBC=90°-a,

：.ZDBC=180°-Z/7BC=900+a.

平分/OBC,

NDBF=NCBF