劉徽的無(wú)限思想及其解釋*摘要該文包括兩方面的內(nèi)容.一是從無(wú)限分割過(guò)程、不可分量可積性、有限過(guò)程等幾個(gè)方面重新考察了劉徽的無(wú)限思想，力圖澄清此課題的研究中存在的若干誤解.二是從中國(guó)古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，劉徽的思想淵源特別是他受墨家、道家和玄學(xué)思想的影響等方面對(duì)劉徽利用無(wú)限思想處理問(wèn)題的方式進(jìn)行解釋.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上，劉徽的無(wú)限思想占有非常重要的地位.近年來(lái)關(guān)于劉徽無(wú)限思想的本身已有很多研究，對(duì)其思想淵源亦有一些論述，但仍有一些問(wèn)題有待于進(jìn)一步的探討.本文擬在前人工作的基礎(chǔ)上，重新考察劉徽的無(wú)限思想，并通過(guò)分析他所受的哲學(xué)思想的影響，來(lái)解釋劉徽利用無(wú)限思想來(lái)處理問(wèn)題的方式.1劉徽注中的無(wú)限過(guò)程劉徽直接用到無(wú)限過(guò)程的只有陽(yáng)馬術(shù)注和割圓術(shù)1].陽(yáng)馬術(shù)注中的無(wú)限過(guò)程劉徽在證明從一般情形下的一個(gè)塹堵（斜割長(zhǎng)方體后所得的直三棱柱）中分割出來(lái)的陽(yáng)馬（一棱垂直于底的四棱錐）和鱉臑（各面為直角三角形的四面體），其體積之比為2比1的定理（吳文俊稱之為劉徽原理）時(shí)，采取這樣的步驟：首先，把塹堵的三度分割成兩半，成為一些小的陽(yáng)馬、塹堵和鱉臑，然后重新組合，便得到在原塹堵的四分之三中陽(yáng)馬和鱉臑所占體積之比為2比1,那就只要考慮余下的四分之一部分中情況了，由于這四分之一部分又是二個(gè)與原塹堵結(jié)構(gòu)完全一樣的塹堵，于是劉徽又可以進(jìn)行同樣的分割，然后重新組合這些更小的形體，這樣他又證明了在這四分之一部分的四分之三中，陽(yáng)馬和鱉臑的體積之比為2比1,這個(gè)過(guò)程可以不斷地進(jìn)行下去，他說(shuō)“半之彌少，其余彌細(xì)，至細(xì)曰微，微則無(wú)形，由是言之，安取余哉？”⑶無(wú)限進(jìn)行分割的結(jié)果最后得到一個(gè)“至細(xì)”“無(wú)形”的東西，它劉徽認(rèn)為可以舍棄不要了！瓦格納認(rèn)為劉徽實(shí)際上使用了極限方法，但在觀念上還遇到很大困難也不知是不是瓦氏誤解了反問(wèn)句的意思，其實(shí)這反問(wèn)是正面的肯定.我們認(rèn)為在劉徽的觀念里把分割到最后得到的“至細(xì)”“無(wú)形”的東西棄而不取不存在什么困難.這不僅因?yàn)閯⒒赵谌魏蔚胤蕉紱](méi)有表現(xiàn)出他對(duì)自己的處理有什么疑慮，而且這還可以從他的思想淵源上得到解釋.首先，劉徽受墨家的思想影響很深⑶.墨家“非半弗著斤”的命題，認(rèn)為分割的不斷進(jìn)行最后得到一個(gè)“端”，而“端”是沒(méi)有大小、量度為零、但又不是什么都沒(méi)有的東西.由于劉徽要考慮的是分割到最后所得到的東西的體積，所以，從他受墨家思想的影響看，劉徽把那個(gè)最后得到的東西的棄而不?。▽?shí)際只是不取其體積）,不存在什么觀念上的困難.其次，從道家思想傳統(tǒng)看，也不存在劉徽對(duì)自己的處理產(chǎn)生懷疑的思想背景.劉徽這里用的“微”和“無(wú)形”兩個(gè)概念，在劉徽之前已有密切的關(guān)系.《荀子?賦》說(shuō)“知”“精微而無(wú)形”[6],瓦氏本人也注意到今傳本河上公《老子注》有“無(wú)形日微”之語(yǔ)7].郭書春指出[8]劉徽此語(yǔ)脫胎于《莊子?秋水》“河伯曰：世之議者皆曰‘至精無(wú)形…….’……北海若曰，'……夫精，小之微也；……夫精粗，期于有形者也；無(wú)形者，數(shù)之所不能分也；不可圍者,數(shù)所不能窮也’”⑼一段.這里，不僅“微”和“無(wú)形”通過(guò)概念“精”聯(lián)系起來(lái)，而且充分體現(xiàn)了道家強(qiáng)調(diào)精微細(xì)小到極點(diǎn)就'無(wú)形”,“無(wú)形”就沒(méi)有具體事物的規(guī)定性的思想.《莊子》說(shuō)“無(wú)形者，數(shù)所不能分也”，認(rèn)為“無(wú)形”便不能用數(shù)量來(lái)表示它的大小，從小這一方面來(lái)說(shuō)，就是小到?jīng)]有大小、沒(méi)有體積可言.既然如此，劉徽把分割至最后得到的“至細(xì)”“無(wú)形”的東西的體積視為零，也就順理成章了.處在王弼等玄學(xué)家提倡“貴無(wú)”的時(shí)代，萬(wàn)物始于“無(wú)”而復(fù)歸于“無(wú)”的思想在當(dāng)時(shí)影響甚劇，劉徽對(duì)自己這種處理問(wèn)題的方式，是不存在懷疑其是否合理的思想背景的.割圓術(shù)中的無(wú)限過(guò)程劉徽用割圓術(shù)證明“半周半徑相乘得積步”的圓面積公式時(shí)，從內(nèi)接正六邊形（“六觚”）開始割圓，依次得到內(nèi)接正十二邊形（“十二觚”）、正二十四邊形（“二十四觚”）、……，”割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”［10］，認(rèn)為割圓到最后得到一個(gè)和圓重合的正無(wú)窮多邊形.他把這個(gè)和圓重合的多邊形（“觚之細(xì)者”）分割成無(wú)限多個(gè)小三角形（有人認(rèn)為劉徽是把多邊形分割成箏形，這似是而非.誠(chéng)然，在求正6邊形面積時(shí)，劉徽分割成3個(gè)箏形來(lái)處理，求正12邊形面積時(shí)他也是分割成6個(gè)箏形來(lái)處理，等等；但是劉徽說(shuō)“以一面乘半徑，觚而裁之”，這個(gè)“觚”是不可再割的極限狀態(tài)下與圓重合的觚，“一面”乃是此觚之一邊，它乘半徑，當(dāng)然不會(huì)是另一個(gè)由兩個(gè)更小的三角形組成的箏形的面積，否則此觚就還可再割了.而從行文來(lái)看，也是按此觚之一邊來(lái)“裁”的，此一邊已是分割到最后所得的一邊.至于6邊形分成3個(gè)箏形來(lái)處理之類，實(shí)為具體計(jì)算之方便），由于每個(gè)三角形的面積的是其底邊與圓半徑乘積的一半，于是，劉徽就可以合并求和而得到這個(gè)正無(wú)窮多邊形的面積公式，從而也就得到了圓的面積公式.利用邊數(shù)增加的圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，當(dāng)邊數(shù)增加到無(wú)窮多時(shí)，這個(gè)正無(wú)窮多邊形就和圓重合，這種處理并非始于劉徽.公元前5世紀(jì)的安提豐（Antiphon）探討化圓為方問(wèn)題時(shí)，先作一個(gè)內(nèi)接多邊形，例如一個(gè)正方形，然后作每一邊的中垂線各交圓于一點(diǎn)，把每一點(diǎn)和與之相鄰的正方形的頂點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來(lái)，于是得到一個(gè)正八邊形，按照這樣的方式不斷進(jìn)行下去，最后他得到一個(gè)多邊形，其邊和圓弧重合，圓便為它所窮盡了口口.梁宗巨［12］、王青建［13］認(rèn)為劉徽把邊數(shù)不斷增加的正多邊形看成和圓越來(lái)越接近，以至最后與圓重合的思想，和安提豐的思想相一致.值得注意的是安提豐的方法在古希臘被認(rèn)為邏輯不縝密而遭到了抨擊，亞里士多德甚至認(rèn)為安提豐的作法不值一駁［14］,攸多克索（Eudoxus,公元前4世紀(jì)）改造安氏的方法，避免了無(wú)限概念的直接使用，符合希臘人對(duì)邏輯嚴(yán)密性的要求，其方法一直為古代西方數(shù)學(xué)所采用，并對(duì)近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響；但是劉徽對(duì)他的方法則沒(méi)有表現(xiàn)出什么不滿意，從現(xiàn)有材料看，甚至整個(gè)中國(guó)古代都沒(méi)有人懷疑過(guò)劉徽割圓術(shù)的合理性.劉徽的態(tài)度可以從以下方面得到解釋.首先，劉徽的這種處理是比較符合直觀的.從6邊形到12邊形、到24邊形、……，在這樣越來(lái)越接近圓面積的趨勢(shì)中，圓以多邊形代替，所失的面積會(huì)越來(lái)越少，這樣他就很自然的會(huì)覺得多邊形和圓會(huì)越來(lái)越接近重合.我們知道，講求直觀是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng).郭書春認(rèn)為劉徽割圓術(shù)受司馬遷“漢興，破觚而為圓”之說(shuō)的影響，而其實(shí)物原型乃是工匠把帶有棱角的原材料加工成圓形［15］.劉徽從工匠的實(shí)際工作的中受到啟發(fā)，獲得其方法，是與中國(guó)古代數(shù)學(xué)講求實(shí)際的特點(diǎn)相吻合的，而在這樣的傳統(tǒng)下，由于它來(lái)源于實(shí)際，所以更不容易被懷疑.劉徽對(duì)符合直觀的方法比較信賴，還從他的其它注中能得到映證.《九章》“勾股”章葛纏木問(wèn)：“今有木長(zhǎng)二丈，圍之三尺.葛生其下，纏木七周，上與木齊.問(wèn)葛長(zhǎng)幾何?”［16］劉徽用筆管纏青線模擬葛纏木，然后解開來(lái)看發(fā)覺每周之間都相間成勾股弦（筆管的周長(zhǎng)和線兩圈之間的距離分別為股和勾，線一周的長(zhǎng)為弦），由此他解釋了《九章》以木長(zhǎng)為股，木圍的七倍為勾（劉徽說(shuō)在這里《九章》的術(shù)把勾和股顛倒了），然后求弦便得到葛的長(zhǎng)度的術(shù)的合理性.如果說(shuō)葛纏木問(wèn)還真可以把曲的拉直的話，那么要把曲池拉直就只能憑想象了.劉徽注曲池（上下底面都是環(huán)田的立體）體積公式時(shí)說(shuō)要把它“引而伸之”，實(shí)際會(huì)得到一個(gè)楔形體，曲池的底面的內(nèi)外周長(zhǎng)（所謂“中外周”）便變?yōu)樾ㄐ误w的底面的長(zhǎng)，而廣、高或深不變，于是他把曲面體化成了（平面）多面體了.但是，在他的思想中如何“引而伸之”則語(yǔ)焉不詳.這樣化曲為直，應(yīng)該說(shuō)其理論的根據(jù)是不足的.劉徽沒(méi)有對(duì)這樣的作法表示懷疑，也說(shuō)明他對(duì)那種從直觀中獲得的知識(shí)的信任，進(jìn)而也更說(shuō)明他對(duì)自己大膽利用無(wú)限思想來(lái)處理問(wèn)題是放心的（當(dāng)然，要用無(wú)限分割的方法，解決這兩個(gè)問(wèn)題是很困難的）.其次，從墨家傳統(tǒng)看，劉徽的處理也比較好理解.《墨經(jīng)》中“無(wú)窮不害兼，說(shuō)在盈否”的命題，按郭書春的解釋，具有這樣的意思：一個(gè)含有無(wú)窮多個(gè)部分的整體，只要一個(gè)部分都不缺，就不會(huì)影響這個(gè)整體［17］，雖然我們不能肯定這個(gè)解釋是否一定符合《墨經(jīng)》作者的原意，但后世學(xué)者從這樣一個(gè)表述籠統(tǒng)的命題中獲得某種思想是可能的，何況這個(gè)解釋與《墨經(jīng)》其它地方所表現(xiàn)的無(wú)限思想也不相矛盾.按照這個(gè)解釋，在圓不可割狀態(tài)下與之重合的無(wú)窮多邊形，被分解為無(wú)窮多個(gè)三角形求和，是完全沒(méi)有問(wèn)題的；這無(wú)窮多個(gè)三角形只要一個(gè)不落就對(duì)無(wú)窮多邊形、因而也就對(duì)圓的面積不會(huì)有影響.止匕外，割圓術(shù)割圓到最后達(dá)到不可再割的極限狀態(tài)，從道論傳統(tǒng)看，達(dá)到無(wú)限的狀態(tài)是不可言論、沒(méi)法追究的，因而劉徽對(duì)割圓術(shù)滿足于直觀也就足夠了.劉徽大膽地直接用無(wú)限過(guò)程來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，而沒(méi)有什么顧慮，這與古希臘學(xué)者大不一樣.這一方面是由于劉徽時(shí)期及其以前不存在懷疑無(wú)限觀念的傳統(tǒng)，另一方面這也與中國(guó)古代數(shù)學(xué)注重實(shí)際，講求直觀的傳統(tǒng)相一致.劉徽在無(wú)限過(guò)程的運(yùn)用上，其思想和墨、道兩家是一脈相承的.2劉徽的不可分量的思想除無(wú)限分割外，劉徽還利用不可分量可積的思想處理問(wèn)題.在他的觀念里，線可以看成是由一系列點(diǎn)組成的，面可以看成是由一系列線組成的，體可以看成是由一系列面組成的［181.他在注圭田（等腰三角形）術(shù)時(shí)說(shuō)的“中平之?dāng)?shù)”，就是組成圭田的平行于底（廣）的一系列線段的平均值；在注環(huán)田（圓環(huán)或夾在二半徑間的圓環(huán)部分）術(shù)時(shí)說(shuō)的“中平之周”也是組成環(huán)田的一系列同心圓（?。┑钠骄担欢谧⒊?、垣、溝、塹、渠（都是底為等腰梯形的直棱柱）的體積公式時(shí)所說(shuō)的“中平之廣”則是組成底面梯形的一系列平行于梯形底邊的線段的平均值.劉徽把立體看成是由一系列面積組成的，這實(shí)際是他根據(jù)比較兩個(gè)立體任意等高處的截面積來(lái)確立它們的體積是否相等的思想基礎(chǔ).祖暅之在劉徽工作的基礎(chǔ)上研究球體積問(wèn)題，他說(shuō)“夫疊茶成立積，緣幕勢(shì)既同，則積不容異”［19］.他一方面說(shuō)“疊茶成立積”，另一方面又說(shuō)“幕（面積）勢(shì)”怎么怎么，認(rèn)為要根據(jù)截面積“幕”來(lái)確定立體體積的情況.雖然“茶”和“幕”具體是怎樣的關(guān)系，尚難說(shuō)定；不過(guò)，由于“茶”也正如郭世榮認(rèn)為的存在于觀念之中［2。］,所以并不妨礙我們認(rèn)為祖暅之把立體看成是由面積疊合而成的.祖氏的話透露出面積為體的思想思想來(lái)源于對(duì)實(shí)際中把有一定厚度的薄的東西一層層地疊合成厚的東西的工作的抽象，同時(shí)也反映了劉徽疊面成體的思想來(lái)源.這樣一來(lái)就出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題：組成面積的線段是不是有一定數(shù)量的寬度，組成體積的面是不是有一定數(shù)量的厚度呢?劉徽對(duì)此沒(méi)有明說(shuō)，考慮到他的割圓術(shù)和陽(yáng)馬術(shù)注中表現(xiàn)出的無(wú)限分割思想，我們認(rèn)為這些線段或截面是被當(dāng)做沒(méi)有具體數(shù)量的寬度或厚度的來(lái)對(duì)待的.否則由這些具有一定數(shù)量的寬度或厚度的線段或面積，是不能構(gòu)成真正理想的三角形或圓錐這一類圖形的.這樣一來(lái)則又出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題：我們現(xiàn)在都說(shuō)零加零還是零，劉徽能毫不遲疑地認(rèn)為這樣一些線段或面積可以積為面或體嗎？我們認(rèn)為，這在劉徽那里，并不會(huì)存在什么困難.前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)這種觀念來(lái)源于對(duì)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的抽象，這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng).從墨家和劉徽自己處理圓及陽(yáng)馬術(shù)問(wèn)題的觀念看，無(wú)限分割最后會(huì)得到一種沒(méi)有具體數(shù)量的量度的東西，它是原來(lái)圖形的組成部分，這當(dāng)然有助于形成和接受點(diǎn)積為線、線積為面、面積為體的思想.而墨家“儇叔舐”的命題，認(rèn)為環(huán)在地上滾動(dòng)與地都接觸，把環(huán)上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，這也是很容易促成接受線由點(diǎn)組成的思想的.再者，從道論和魏時(shí)王弼“貴無(wú)”的哲學(xué)角度看，這種思想也是容易接受的.道論認(rèn)為“有”能從“無(wú)”中生出來(lái)，又會(huì)復(fù)歸于“無(wú)”，道（“無(wú)”）這樣無(wú)限小的東西和有限的東西具有一定的可比性，有限和無(wú)限是能溝通起來(lái)的.在這種情況下，點(diǎn)積為線、線積為面與面積為體是可以理解的.劉徽的這種觀念還能由司馬彪的思想得到映證.《莊子?天下》記載惠施有“無(wú)厚不可積也，其大千里”的命題.錢寶琮的解釋為“積累線段不能成面，積累面不能成體”[21].這是一種不可分量不可積的觀念.司馬彪給這個(gè)命題作注時(shí)說(shuō)“物言形為有，形之外為無(wú)，無(wú)形與有相為表里.故形物之厚，盡于無(wú)厚，無(wú)厚與有同一體也.其有厚大者，其無(wú)厚亦大.高因廣立，有因無(wú)積”[22].說(shuō)“有厚”和“無(wú)厚”的關(guān)系如同表里，他似乎是從物儂“形物”也就是“有厚”）的邊界來(lái)考慮“無(wú)厚”的，這樣就形象地把“有厚”和“無(wú)厚”聯(lián)結(jié)起來(lái)，進(jìn)而他認(rèn)為“無(wú)”可以積為“有”.司馬彪卒于晉惠帝末年，時(shí)年六十有余[23],可見他生于245年前后，和劉徽大致同時(shí)而稍晚.這反映出當(dāng)時(shí)認(rèn)為“無(wú)厚”的東西可以積為“有厚”之物的思想，不僅比較符合直觀，而且是在當(dāng)時(shí)“貴無(wú)”的玄學(xué)思想氛圍之下比較容易形成和接受的一種觀念.3從有限過(guò)程看劉徽的無(wú)限思想劉徽的求微數(shù)法《九章算術(shù)》“少?gòu)V”章的開（平）方術(shù)有“若開之不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之”[24]的話，開立方術(shù)也有類似的話.劉徽作注也相應(yīng)發(fā)表了一些看法.對(duì)此，有人認(rèn)為中算家懂得存在開方不盡的新數(shù)，這種數(shù)稱為“面”，相當(dāng)于定義了一個(gè)無(wú)理數(shù).這種觀點(diǎn)證據(jù)是不足的，但推翻了傳統(tǒng)認(rèn)為的“以面命之”是“以定法加借算”或“不加借算”的錯(cuò)誤觀點(diǎn).李國(guó)偉論證了‘面’的使用并沒(méi)有硬性規(guī)定限制在不可開的情形，‘開盡'與'開不盡’的區(qū)別，除了反映有些是平方數(shù)、有些不是平方數(shù)外，似乎還沒(méi)有引導(dǎo)出對(duì)更深層次差異的認(rèn)識(shí)”[25].的確，“面”只是利用對(duì)開方的幾何解釋定義的一個(gè)方根，這從劉徽給開（平）方作注時(shí)說(shuō)的：“求方幕之一面也”[26],和給開立方術(shù)作注時(shí)說(shuō)的：“立方適等，求其一面也”[27],可以明白地看出來(lái).而劉徽針對(duì)“開之不盡”的情況所說(shuō)的“令不加借算而命分，則常微少；其加借算而命分，則又微多.其數(shù)不可得而定.……故惟以面命之，為不失耳”[28],也只是說(shuō)明劉徽認(rèn)識(shí)到“加不加借算命分”都得到的不是精確值，只有就用被開方數(shù)的方根表示才是精確的，至于是不是一定不存在其他任何精確的表示，則語(yǔ)焉不詳（反正他沒(méi)有找到）.如果說(shuō)《九章》只是認(rèn)識(shí)到開方存在著不同的情況的話，劉徽和他的前人則對(duì)這些情況進(jìn)行了討論.前人提出“以借算加定法而命分”的方法，劉徽認(rèn)為“雖粗相近，不可用也”[29],他又考慮到“不加借算而命分”和“加借算而命分”都不精確，總是比精確值要么多一點(diǎn)，要么少一點(diǎn)，“其數(shù)不可得而定”，這說(shuō)明劉徽比前人更深一層地認(rèn)識(shí)到要精確表示“不可開”數(shù)的方根的困難.接著他提出一種更為精確的表示方根近似值的方法，即求微數(shù)法：“不以面命之，加定法如前，求其微數(shù).微數(shù)無(wú)名者以為分子，其一退以十為母，其二退以百為母.退之彌下，其分彌細(xì)，則朱幕雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之”[30].這里有兩點(diǎn)值得注意，一是劉徽求微數(shù)法是“不以面命之”的一個(gè)方法，劉徽既以為“惟以面命之，為不失耳”，則他自己當(dāng)不以求微數(shù)法為完全精確的方法.其次，他認(rèn)為求微數(shù)一直求下去被棄的數(shù)就會(huì)越來(lái)越小，求出來(lái)的方根就會(huì)越來(lái)越接近真實(shí)值.但是他并沒(méi)有無(wú)限進(jìn)行下去，而是在還余下一個(gè)“不足言之”的數(shù)時(shí)就停了下來(lái)，所以有人說(shuō)求微數(shù)法是用十進(jìn)分?jǐn)?shù)無(wú)限逼近方根，這是不對(duì)的.劉徽既棄掉一個(gè)“不足言之”的數(shù)，又認(rèn)為求微數(shù)法不是完全精確的方法，當(dāng)然求微數(shù)法就不可能是無(wú)限逼近方根的.也就是說(shuō)劉徽的求微數(shù)法雖然可以無(wú)限地進(jìn)行下去，但他只進(jìn)行到能達(dá)到所需精度的有限步就停了下來(lái).可見，劉徽雖然對(duì)開方不盡的問(wèn)題理解比前人深刻，但中國(guó)古代數(shù)學(xué)太注重于實(shí)際的傳統(tǒng)的確是限制了對(duì)理論問(wèn)題作更深層次的探討，因而也阻礙了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn).當(dāng)然，能否發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)還與劉徽“一者數(shù)之母”的觀念有密切關(guān)系.郭書春認(rèn)為劉徽“一者數(shù)之母”的觀念“使他可以毫無(wú)顧忌地求任何數(shù)的精確值或精確近似值，甚至開方不盡時(shí)，求十進(jìn)分?jǐn)?shù)”，這樣就關(guān)上了“徹底認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)的大門”[31].李國(guó)偉則認(rèn)為“通過(guò)徹底追尋公度的單位，才會(huì)體認(rèn)出不可公度的矛盾”，“如果劉徽真正能徹底堅(jiān)持‘一者數(shù)之母’的主張,也許就能明確的界定出不可公度量的特性”[32].應(yīng)該指出，這兩種觀點(diǎn)并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的對(duì)立，只是考慮問(wèn)題的角度不同而已.讓我們來(lái)考察一下劉徽的思維取向吧.“一者數(shù)之母”的主張，不是從來(lái)就有的.中國(guó)古代廣泛存在著“一以統(tǒng)眾”的思想，如《管子?輕重》提出“天下之?dāng)?shù)，盡于輕重”[33],把古代統(tǒng)治者所推行的政治和經(jīng)濟(jì)措施，全用“輕重”（“輕重”原指錢幣的輕重，此書“輕重”已廣泛用于表示各種數(shù)量關(guān)系Ml）二字統(tǒng)御起來(lái)；而道論更是把一切都置于道的統(tǒng)領(lǐng)之下，至王弼他一方面說(shuō)“演天地之?dāng)?shù)，所賴者五十.其用四十有九，其一不用也；不用而用以通之，非數(shù)而數(shù)以之成，即易之太極也”國(guó)],認(rèn)為“一”是統(tǒng)一包括數(shù)在內(nèi)的一切的“太極”而“一”本身不是數(shù)；一方面又說(shuō)“一，數(shù)之始而物之極也”，“一，少之極也”[36],雖然這里已隱約含有“一為萬(wàn)物之母”而且“一”也可以是數(shù)的思想，但這是一種非常模糊的觀念.劉徽在這種“一以統(tǒng)眾”的思想氛圍之下，從前人的思想和自己的數(shù)學(xué)實(shí)踐中提煉和升華出“一者數(shù)之母”的原理來(lái)，這條原理，一旦在他的工作中得到大量的驗(yàn)證,而沒(méi)有遇到什么困難，是很難想到要懷疑它的.中國(guó)古代數(shù)學(xué)以實(shí)用為目的的傳統(tǒng)，大大削弱了探求理論基礎(chǔ)的動(dòng)力，而“一者數(shù)之母”作為古代數(shù)學(xué)的原理，正好消除了達(dá)到其目的時(shí)可能出現(xiàn)的顧忌.事實(shí)上，在求微數(shù)這個(gè)比較容易引導(dǎo)出無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題上，中國(guó)數(shù)學(xué)和希臘數(shù)學(xué)的思維取向幾乎是倒過(guò)來(lái)了，我們似不能指望劉徽在這個(gè)問(wèn)題上完全擺脫其傳統(tǒng)的陰影.因?yàn)橐獜拈_方程序的連續(xù)不斷進(jìn)行中尋求矛盾，這本身就是一個(gè)需要擺脫無(wú)限過(guò)程才比較好解決的問(wèn)題，也就是說(shuō)這里需要的是如何推導(dǎo)出與“一者數(shù)之母”矛盾的命題來(lái).而要研究開方程序的無(wú)限進(jìn)行到底會(huì)出現(xiàn)什么情況，需要耗費(fèi)大量的精力去檢驗(yàn)、考察開方到位數(shù)很多的情形，而在這些有限情況下獲得的結(jié)論并不能保證在無(wú)限的情況下也能成立.至于對(duì)那種難以捉摸的對(duì)無(wú)限情況的想象，則更容易讓人把握不住應(yīng)該抓到什么來(lái)作為本質(zhì)的基礎(chǔ)的東西從而引出矛盾來(lái).所以我們認(rèn)為“一者數(shù)之母”的命題，對(duì)劉徽來(lái)說(shuō)它消除了求微數(shù)法的后顧之憂，而從整個(gè)中國(guó)數(shù)學(xué)史的發(fā)展角度看，它則阻礙了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn).當(dāng)然，正如李氏已經(jīng)提到的，要導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，還可能有別的途徑，關(guān)鍵在于誘導(dǎo)出邏輯上的矛盾來(lái).然而這既不是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，在中國(guó)思想史上也不占重要的地位.劉徽明顯受墨、道、儒家的影響，但他似未受名家思想的影響.司馬彪在給名家的一些命題作注時(shí)，往往帶有道家和玄學(xué)的色彩，有時(shí)甚至是支持與名家相反的觀點(diǎn).如他給'輪不展地”作注時(shí)說(shuō)“地平輪圓，則輪之所行者跡也”[37],反而說(shuō)輪是和地面接觸的，輪過(guò)留下“跡”又我們上面講到的他注惠施“無(wú)厚不可積也”的命題時(shí)說(shuō)了一大通，也是支持其反面的觀點(diǎn).把求微數(shù)的過(guò)程無(wú)限地進(jìn)行下去，并不能找到什么辦法用一個(gè)有限的公式來(lái)表示這個(gè)結(jié)果，況且要把那些微數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉完畢，也是不可能的.所以如果沒(méi)有有效的歸謬法，設(shè)想劉徽要把這個(gè)過(guò)程無(wú)限地進(jìn)行下去，也不會(huì)得出明確的結(jié)論來(lái).下面討論的劉徽弧田術(shù)注也是這種情形.弧田術(shù)注劉徽弧田術(shù)注中的分割過(guò)程過(guò)去常常被認(rèn)為是一個(gè)無(wú)限的過(guò)程.郭書春認(rèn)為只是“極限思想在近似計(jì)算中的應(yīng)用”[38],這是比較正確的.雖然劉徽可以無(wú)限地進(jìn)行下去，但他沒(méi)有那么做，這也體現(xiàn)出他受以實(shí)用為目的的傳統(tǒng)的影響.不過(guò)，和求微數(shù)法相似的是，如果無(wú)限分割下去，不僅這種計(jì)算沒(méi)法完結(jié)，而且他也恐怕不知有什么用了.這和割圓術(shù)是大不一樣的，按照割圓術(shù)的思想，他把無(wú)限過(guò)程進(jìn)行到底然后分割合并，可以得到簡(jiǎn)明的公式；而把弧田術(shù)注的分割無(wú)限進(jìn)行到底，他是沒(méi)法得到簡(jiǎn)化的公式的，由于對(duì)那些大小不一的三角形他只能一個(gè)一個(gè)的相加，但這是沒(méi)法加完的，所以他永遠(yuǎn)也得不到一個(gè)真正精確的值.從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，劉徽只進(jìn)行到能得到所需精度的有限步，的確是明智之舉.弧田術(shù)注和求微數(shù)法都是把一個(gè)可以無(wú)限進(jìn)行的程序只進(jìn)行了有限步就停了下來(lái).這兩個(gè)問(wèn)題的情形和割圓術(shù)及陽(yáng)馬術(shù)注都不一樣，后兩個(gè)問(wèn)題的程序無(wú)限進(jìn)行到底能把問(wèn)題簡(jiǎn)化，而前兩個(gè)問(wèn)題隨著程序的進(jìn)行，計(jì)算會(huì)越來(lái)越復(fù)雜，而如果程序進(jìn)行到了無(wú)窮步，由于沒(méi)有辦法把各個(gè)步驟的計(jì)算列舉完畢，這對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題是毫無(wú)俾益的，但這對(duì)研究無(wú)限卻很有意義.事實(shí)上，如果劉徽充分考慮一下他認(rèn)為求微數(shù)程序的不斷進(jìn)行所得到的數(shù)會(huì)越來(lái)越接近方根的真實(shí)值，與他認(rèn)為求微數(shù)法不是完全精確的方法之間是不是存在某種矛盾，也許會(huì)得到一些意想不到的啟示，可是劉徽卻并沒(méi)有把程序進(jìn)行到底.可見他之于無(wú)限，也只是把它作為處理問(wèn)題的手段和方法，而沒(méi)有把它本身作為研究的對(duì)象.劉徽仍然沒(méi)有擺脫中國(guó)古算講求實(shí)際的傳統(tǒng)的影響，在他的方法能滿足實(shí)際需要之后，去探討無(wú)限的更深層問(wèn)題的動(dòng)因就大大減弱了.加之比較成熟的歸謬法也沒(méi)有發(fā)展起來(lái)，因而劉徽沒(méi)能從求微數(shù)法中引導(dǎo)出不可公度的思想來(lái)，這是不足為怪的.4結(jié)語(yǔ)我們看到，劉徽不懷疑無(wú)限觀念的合理性，也沒(méi)有回避無(wú)限過(guò)程的使用.他認(rèn)為連續(xù)不斷的分割能進(jìn)行到底最后達(dá)到不可再分割的狀態(tài).劉徽超越前人的地方是他天才地將無(wú)限過(guò)程成功地運(yùn)用于數(shù)學(xué)證明，特別是他的陽(yáng)馬術(shù)注展示了他所具有的非凡的高難技巧.在劉徽那里，不可分量構(gòu)成幾何圖形和“無(wú)厚”可積的觀念取得了合法地位，并成為他成功地用于處理面積、體積問(wèn)題的某些方法的基礎(chǔ).劉徽的無(wú)限思想有很直觀的一面，這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng).劉徽在一些地方應(yīng)用無(wú)限過(guò)程而在另一些地方不用，而都能心安理得，這說(shuō)明他的工作態(tài)度基本上是：采用甚么方法取決于不同問(wèn)題的需要.劉徽的無(wú)限思想又表現(xiàn)出他深受哲學(xué)思想影響的一面.墨家的深刻影響，使他對(duì)無(wú)限分割能進(jìn)行到底而達(dá)到不可再分割的狀態(tài)并得到一種不可分的東西的觀念表示滿意.不可分量可積的觀念和無(wú)限分割到最后所得到的東西，其體積被他視為零的思想，則由墨家和道家的無(wú)限思想（特別是道家那里，無(wú)限狀態(tài)乃是一種不能言論、不容置疑的狀態(tài)）共同提供了思想基礎(chǔ).在劉徽以前，道家、墨家等都不懷疑無(wú)限觀念，名家雖然認(rèn)識(shí)到不可分量可積的觀念中存在矛盾，但他們采取調(diào)和的態(tài)度，而并沒(méi)想到要否定無(wú)限觀念的存在.可以說(shuō)，在劉徽以前，既不存在懷疑無(wú)限概念中存在問(wèn)題的思想背景，也沒(méi)有產(chǎn)生在更深層次上探討這類問(wèn)題的有效方法.劉徽不去懷疑無(wú)限中存在什么問(wèn)題，這是可以理解的.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上，對(duì)開方問(wèn)題的討論沒(méi)有發(fā)展出無(wú)理數(shù)的觀念來(lái)，其原因是非常復(fù)雜的.研究數(shù)的性質(zhì)不是中國(guó)古算的任務(wù)，中國(guó)古算講求實(shí)際的傳統(tǒng)，影響到劉徽的求微數(shù)法的立足點(diǎn)與通往發(fā)現(xiàn)不可通約量的途徑正好相反.研究求微數(shù)過(guò)程的無(wú)限進(jìn)行，有助于加深對(duì)不可公度的認(rèn)識(shí)，但要由此確認(rèn)無(wú)理數(shù)的存在是困難的.對(duì)于由開方過(guò)程來(lái)確認(rèn)無(wú)理數(shù)是否存在這樣的問(wèn)題，沒(méi)有富于成效的歸謬法，是難于解決的.而歸謬法不僅不是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，而且還是中國(guó)古代哲學(xué)思維的薄弱環(huán)節(jié).在這樣的背景下，要指望劉徽發(fā)展出比較成熟的歸謬法來(lái)，并由此確認(rèn)不可通約性的存在，是不現(xiàn)實(shí)的.應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，把名家對(duì)無(wú)限的討論繼續(xù)深化，有可能在對(duì)無(wú)限的認(rèn)識(shí)上獲得更深入的認(rèn)識(shí).可是，雖然劉徽諳熟諸子百家，我們卻難以找到他受名家思想影響的痕跡.這大概是他毫無(wú)顧慮地利用無(wú)限過(guò)程處理問(wèn)題的一個(gè)重要原因.司馬彪為名家的命題作注時(shí)的態(tài)度，大體能從側(cè)面反映出：劉徽也是不把名家的觀點(diǎn)當(dāng)一回事而不予關(guān)注的.這也許也能代表一種拋開政治感情來(lái)對(duì)待名家學(xué)說(shuō)的普遍態(tài)度.考察名家在中國(guó)歷史上的興衰和遭遇，及其在中國(guó)思想史上的地位與影響，也許能從更廣闊的社會(huì)背景來(lái)為探討劉徽的無(wú)限思想提供一種新的視野.參考文獻(xiàn)

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