第1課時離散型隨機變量的均值第七章離散型隨機變量的均值1.通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型

隨機變量的均值.2.掌握兩點分布的均值.3.會利用離散型隨機變量的均值，解決一些相關的實際問題.學習目標在射擊運動中，射擊選手的每次射擊成績是一個非常典型的隨機事件.(1)如何刻畫每個選手射擊的技術水平與特點？(2)如何比較兩個選手的射擊情況？(3)如何選擇優(yōu)秀運動員代表國家參加奧運會才能使得獲勝的概率較大？這些問題的解決需要離散型隨機變量的知識.導語隨堂演練課時對點練內(nèi)容索引一、離散型隨機變量的均值二、兩點分布的均值三、均值的簡單應用一、離散型隨機變量的均值問題某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？則稱E(X)＝

＝

為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱

.注意點：分布列只給了隨機變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平.知識梳理均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示.期望Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn例1

從裝有2個紅球，2個白球和1個黑球的袋中逐一取球，已知每個球被取到的可能性相同.若取后不放回，設取完紅球所需的次數(shù)為X，求X的分布列及均值.解由題意知X的可能取值為2,3,4,5.當X＝2時，表示前2次取的都是紅球，當X＝3時，表示前2次中取得1個紅球，1個白球或黑球，第3次取紅球，當X＝4時，表示前3次中取得1個紅球，2個不是紅球，第4次取得紅球，當X＝5時，表示前4次中取得1個紅球，3個不是紅球，第5次取得紅球，∴X的分布列為反思感悟求隨機變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個值的概率P(X＝k).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).跟蹤訓練1

袋中有4個紅球，3個白球，從袋中隨機取出4個球.設取出一個紅球得2分，取出一個白球得1分，試求得分X的均值.解X的所有可能取值為5,6,7,8.當X＝5時，表示取出1個紅球，3個白球，當X＝6時，表示取出2個紅球，2個白球，當X＝7時，表示取出3個紅球，1個白球，當X＝8時，表示取出4個紅球，則X的分布列為二、兩點分布的均值知識梳理兩點分布的均值：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝____________________.0×(1－p)＋1×p＝p例2

一個袋中裝有除顏色外其他都相同的3個白球和4個紅球.所以X的分布列為(2)從中任意摸出兩個球，用X＝0表示“兩個球全是白球”，用X＝1表示“兩個球不全是白球”，求X的分布列及均值.所以X的分布列為反思感悟

兩點分布的特點(1)兩點分布中只有兩個對應結(jié)果，且兩個結(jié)果是對立的.(2)由對立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.則隨機變量X的分布列為三、均值的簡單應用知識梳理例3

隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為X.(1)求X的分布列；解X的所有可能取值有6,2,1，－2，故X的分布列為X621－2P0.630.250.10.02(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值)；解E(X)＝6×＋2×＋1×＋(－2)×＝4.34(萬元).(3)經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.若此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于萬元，則三等品率最多是多少？解設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)＝6×＋2×(1－－－x)＋1×x＋(－2)×＝－x(0≤x≤0.29)，依題意，知E(X)≥，即－x≥，解得x≤，所以三等品率最多為3%.反思感悟

解答應用類問題時，首先把問題概率模型化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應概率.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；解記E＝“甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”，F(xiàn)＝“乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和均值.解設企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.故所求的分布列如表所示：1.知識清單：(1)離散型隨機變量的均值.(2)兩點分布的均值.(3)均值的簡單應用.2.方法歸納：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：不會應用均值對實際問題作出正確分析.課堂小結(jié)隨堂演練1234√1.已知離散型隨機變量X的分布列為則X的均值E(X)等于12342.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為√A.0.2

C.－0.2 D.－X0123P0.1ab0.11234√3.設隨機變量X的分布列如表，且E(X)＝，則a－b等于1234解析易知a，b∈[0,0.8]，由＋a＋b＋＝1，得a＋b＝. ①又由E(X)＝0×＋1×a＋2×b＋3×＝，得a＋2b＝，

②由①②，解得a＝，b＝，則a－b＝－0.2.12344.袋中有10個大小相同的小球，其中記為0號的有4個，記為n號的有n個(n＝1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標號，則E(X)等于√解析由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.課時對點練A.4B.5C.6Xa79Pb0.10.4基礎鞏固12345678910111213141516√1.已知某一隨機變量X的分布列如表所示，若E(X)＝，則a的值為解析根據(jù)分布列的性質(zhì)，可知b＋＋＝1，所以b＝.又E(X)＝a＋7×＋9×＝，所以a＝4.A.1＋3m

2.已知離散型隨機變量ξ的分布列如表所示，則其均值E(ξ)等于12345678910111213141516√ξ135P0.5m0.2解析由分布列的性質(zhì)，得＋m＋＝1，∴m＝，∴E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝2.4.12345678910111213141516√3.若隨機變量ξ的分布列如表所示，則E(ξ)的值為ξ012345

P2x3x7x2x3xx123456789101112131415164.若離散型隨機變量X的分布列為√則X的均值E(X)等于12345678910111213141516√12345678910111213141516列出分布列，利用均值公式計算.記ξ的所有可能取值為0,1,2，123456789101112131415166.“四書”是《大學》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動.某班有4位同學參賽，每人從《大學》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進行準備，且各自選取的書均不相同.比賽時，若這4位同學從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準備的書的人數(shù)的均值為√12345678910111213141516解析記抽到自己準備的書的學生數(shù)為X，則X可能取值為0,1,2,4，123456789101112131415167.離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，則a＝______，b＝_____.解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，

②0123456789101112131415168.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為X1234P0.50.20.20.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為100元；分2期或3期付款，其利潤為150元；分4期付款，其利潤為200元.若Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤，則E(Y)＝______元.13012345678910111213141516解析由題意可知，Y可以取100,150,200，則Y的分布列為Y100150200P0.50.40.1∴E(Y)＝100×＋150×＋200×＝130(元).123456789101112131415169.端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；解令A表示事件“三種粽子各取到1個”，由古典概型的概率計算公式得12345678910111213141516(2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與均值.解X的可能取值為0,1,2，則則X的分布列為1234567891011121314151610.在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的.在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？12345678910111213141516解設一張彩票的中獎額為隨機變量X，顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意，可得X的分布列為所以一張彩票的合理價格是元.綜合運用1234567891011121314151611.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是，且此人是否游覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.則E(ξ)等于A.1.48

C.0.24√12345678910111213141516解析隨機變量ξ的取值有1,3兩種情況，ξ＝3表示三個景點都游覽了或都沒有游覽，所以P(ξ＝3)＝××＋××＝，P(ξ＝1)＝1－＝，所以隨機變量ξ的分布列為ξ13P0.760.24E(ξ)＝1×＋3×＝1.48.1234567891011121314151612.(多選)已知隨機變量ξ的分布列是√√√12345678910111213141516解析對于A，由隨機變量的分布列的性質(zhì)，對于B，sinα＋2cosα＝2，得5cos2

α－8cosα＋3＝0，123456789101112131415161234567891011121314151613.(多選)設p為非負實數(shù)，隨機變量X的分布列為則下列說法正確的是√√123456789101112131415161234567891011121314151614.已知甲盒中僅有一個球且為紅球，乙盒中有3個紅球和4個藍球，從乙盒中隨機抽取i(i＝1,2)個球放在甲盒中，放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)為ξi(i＝1,2)，則E(ξ1)＋E(ξ2)的值為________.12345678910111213141516解析甲盒中含有紅球的個數(shù)ξ1的取值為1,2，甲盒中含有紅球的個數(shù)ξ2的值為1,2,3，拓廣探究1234567891011121314151615.(多選)體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設某學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值E(X，則p的取值可以為√√12345678910111213141516解析根據(jù)題意，X的所有的可能取值為1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，則E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依題意有E(X，則p2－3p＋，結(jié)合選項可知AB正確.1234567891011121314151616.某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年