第十二講方程與函數(shù)方程思想是指在解決問題時，經(jīng)過等量關(guān)系將已知與未知聯(lián)系起，成立方程或方程組，而后運用方程的知識使問題得以解決的方法；函數(shù)描繪了自然界中量與量之間的依存關(guān)系，函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非實質(zhì)特點，用聯(lián)系和變化的看法研究問題．轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系去解決．方程與函數(shù)聯(lián)系親密，我們能夠用方程思想解決函數(shù)問題，也能夠用函數(shù)思想議論方程問題，在確立函數(shù)分析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點、函數(shù)圖象的交點等問題時，常將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥匠袒蚍匠探M；而在議論方程、方程組的解的個數(shù)、解的散布狀況等問題時，借助函數(shù)圖象能獲取直觀簡捷的解答．【例題求解】【例1】若對于的方程1xmx有解，則實數(shù)m的取值范圍．思路點撥能夠利用絕對值知識議論，也能夠用函數(shù)思想商討：作函數(shù)y1x，ymx函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點，依此確立m的取值范圍．【例2】設(shè)對于x的方程ax2(a2)x9a0有兩個不相等的實數(shù)根xx，且x1<1<x2，1，2那么a取值范圍是( )A．22222aB．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)0755711思路點撥因根的表達式復(fù)雜，故把原問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)問題解決，即求對應(yīng)的二次函數(shù)與x軸的交點知足x1<1<x2的a的值，注意鑒別式的隱含限制．【例3】已知拋物線yx2(12a)xa20(a0)與x軸交于兩點A(x1，0)，B(x2，0)(x1≠x2)．1(1)求a的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點O的左邊；(2)若拋物線與y軸交于點C，且OA+OB＝OC一2，求a的值．思路點撥x1、x2是方程x2(12a)xa20的兩個不等實根，于是二次函數(shù)問題就能夠轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏匠虇栴}加以解決，利用鑒別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點．【例4】拋物線y1x22(m5)x2(m1)與y軸的正半軸交于點C，與x軸交于A、B24兩點，并且點B在A的右側(cè)，△ABC的面積是△OAC面積的3倍．(1)求這條拋物線的分析式；(2)判斷△OBC與△OCA能否相像，并說明原因．思路點撥綜合運用鑒別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識，可判斷對應(yīng)方程根的符號特點、兩實根的關(guān)系，這是解本例的重點．對于(1)，成立對于m的等式，求出m的值；對于(2)依m(xù)的值分類議論．【例5】已知拋物線yx2pxq上有一點M(，y0)位于x軸下方．(1)求證：此拋物線與軸交于兩點；(2)設(shè)此拋物線與x軸的交點為A(x1，0)，B(，0)，且x1<x2，求證：x1<x0<x2．思路點撥對于(1)，即要證p24q0；對于(2)，即要證(x0x1)(x0x2)0．2注：(1)拋物線與x軸交點問題常轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏匠谈膫€數(shù)、根的符號特點、根的關(guān)系商討，需綜合運用鑒別式、韋達定理等知識．(2)對較復(fù)雜的二次方程實根散布問題，常轉(zhuǎn)變?yōu)橛煤瘮?shù)的看法議論，基本步驟是：在直角坐標(biāo)系中作出對應(yīng)函數(shù)圖象，由確立函數(shù)圖象大概地點的拘束條件成立不等式組．(3)一個對于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸交于A（x1，0），B(，0)兩點，極點為C．①△ABC是直角三角形的充要條件是：△=b244．a(chǎn)c②△ABC是等邊三角形的充要條件是：△=b24ac12學(xué)歷訓(xùn)練1．已知對于x的函數(shù)y(m6)x22(m1)xm1的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是．2．已知拋物線yx2(k1)x3k2與x軸交于A(，0)，B(，0)兩點，且2217，則k．3．已知二次函數(shù)y=kx2+(2k－1)x—1與x軸交點的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1<x2)，則對于以下結(jié)論：①當(dāng)x=－2時，y=l；②當(dāng)x>x2，時，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=14k2(只k，此中全部正確的結(jié)論是需填寫序號)．4．設(shè)函數(shù)yx2(k1)x4(k5)的圖象如下圖，它與x軸交于A、B兩點，且線段OA3與OB的長的比為1：4，則k＝( )．A．8B．一4C．1lD．一4或115．已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸訂交于A(x1,0)、B(x2，0)兩點，其極點坐標(biāo)為P(－b，24c-b2)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，則b與c的關(guān)系式是( )4A．b2－4c+1=0B．b2－4c－1=0C．b2－4c+4=0D．b2－4c－4=06．已知方程xax1有一個負根并且沒有正根，那么a的取值范圍是( )A．a(chǎn)>-1B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)≥1D．非上述答案7．已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左邊，如圖，二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A、B，與y軸訂交于點C．（1）a、c的符號之間有何關(guān)系？（2）假如線段OC的長度是線段OA、OB長度的比率中項，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，假如b=－4，AB=43，求a、c的值．8．已知：拋物線yax2bxc過點A(一1，4)，其極點的橫坐標(biāo)為1，與x軸分別交于2B(x1,0)、C(x2，0)兩點(此中且x1<x2)，且x12x2213．4(1)求此拋物線的分析式及極點E的坐標(biāo)；(2)設(shè)此拋物線與y軸交于D點，點M是拋物線上的點，若△MBO的面積為△DOC面積的2倍，求點M的坐標(biāo)．39．已知拋物線y1x23mx2m交x軸于A（x1，0）、B（x2，0），交y軸于C點，且22x1＜0＜x2，AOOB212CO1.（1）求拋物線的分析式；（2）在x軸的下方能否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角，若存在，求出P點的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請說明原因.10．設(shè)m是整數(shù)，且方程32mx209而小于3，則=.7511．函數(shù)yx23x7的圖象與函數(shù)yx23xx23x6的圖象的交點個數(shù)是．12．已知a、b為拋物線y(xc)(xcd)2與x軸交點的橫坐標(biāo)，ab，則accb的值為．13．能否存在這樣的實數(shù)k，使得二次方程x2(2k1)x(3k2)0有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間?假如有，試確立k的取值范圍；假如沒有，試述原因．14．設(shè)拋物線yx2(2a1)x2a54的圖象與x軸只有一個交點．(1)求a的值；(2)求a1832a6的值．15．已知以x為自變量的二次函數(shù)y4x28nx3n2，該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)的差的平方等于對于x的方程x2(7n6)x2(n1)(n4)0的一整數(shù)根，求n的值．16．已知二次函數(shù)的圖象張口向上且可是原點O，極點坐標(biāo)為(1，一2)，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且知足