4．2等差數(shù)列4．等差數(shù)列的概念第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用[課程目標(biāo)]1.能夠根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推出等差數(shù)列的重要性質(zhì)；2.能夠運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問題；3.能夠運(yùn)用等差數(shù)列的知識解決簡單的實(shí)際問題．(見學(xué)生用書P1)知識點(diǎn)一等差數(shù)列的函數(shù)特性由等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，其中公差d是該直線的__斜率__．當(dāng)d__>__0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)d__<__0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；當(dāng)d__＝__0時(shí)，{an}為常數(shù)列．[研讀]在直線y＝kx＋b(k，b為常數(shù))上取點(diǎn)Pn(n，yn)(n∈N*)，則{yn}是等差數(shù)列，公差為k.知識點(diǎn)二等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)；(3)d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*且m≠n).知識點(diǎn)三等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)?__am＋an＝ap＋aq__；特別地，若m＋n＝2p，則__am＋an＝2ap__(m，n，p∈N*)；(2)若m，p，n(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列，則am，ap，an也成等差數(shù)列；(3)數(shù)列{λan＋b}(λ，b為常數(shù))仍為等差數(shù)列；(4)若{bn}為等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an±bn))也是等差數(shù)列.[研讀]以上性質(zhì)都可由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推導(dǎo)出來；除了以上性質(zhì)之外，還有一些性質(zhì)，如：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)各自構(gòu)成等差數(shù)列，且公差是原數(shù)列公差的2倍．eq\a\vs4\al(【思辨】)判斷正誤(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?.(1)在等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中，an是關(guān)于n的一次函數(shù)．(×)(2)在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*).(×)(3)等差數(shù)列去掉前面若干項(xiàng)后，剩下的項(xiàng)仍構(gòu)成等差數(shù)列．(√)(4)周期數(shù)列不可能是等差數(shù)列．(√)(5)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p，則am＋an＝ap.(×)(6)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＋p＝3t，則am＋an＋ap＝3at.(√)(見學(xué)生用書P1)eq\o(\s\up7(),\s\do5(等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用))eq\a\vs4\al(例1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d.(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.解：(1)方法一：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15)．))故a105＝a1＋104d＝eq\f(64,15)＋104×eq\f(4,15)＝32.方法二：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以d＝eq\f(a60－a15,60－15)＝eq\f(4,15)，所以a105＝a60＋45×eq\f(4,15)＝32.方法三：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以a15，a60，a105也成等差數(shù)列，則2a60＝a15＋a105，所以a105＝2×20－8＝32.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，所以a2＋a5＝17.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝17，,a2a5＝52，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4.))所以d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(13－4,3)＝3或d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(4－13,3)＝－3.[規(guī)律方法]等差數(shù)列運(yùn)算的兩種常用思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量；(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.活學(xué)活用(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝__20__；(2)已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝__27__．【解析】(1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.(2)方法一：由性質(zhì)可知，數(shù)列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差數(shù)列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.方法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.eq\o(\s\up7(),\s\do5(等差數(shù)列的靈活求解))eq\a\vs4\al(例2)(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)；(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．解：(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝9，,（a－d）a＝6（a＋d），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－1，))所以這三個(gè)數(shù)為4，3，2.(2)方法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，所以d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2，0，2，4.方法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差為d)，依題意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a(bǔ)＝1－eq\f(3,2)d代入a(a＋3d)＝－8，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)d))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)d))＝－8，即1－eq\f(9,4)d2＝－8，化簡得d2＝4，所以d＝2或－2.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四個(gè)數(shù)為－2，0，2，4.[規(guī)律方法]等差數(shù)列中常見設(shè)元技巧(1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：a－d，a＋d，公差為2d；(2)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：a－d，a，a＋d，公差為d；(3)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d.活學(xué)活用已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)，四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，則這四個(gè)數(shù)為__2，5，8，11或11，8，5，2__．【解析】設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d).由題設(shè)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，,（a－d）（a＋d）＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2)，))所以這個(gè)數(shù)列為2，5，8，11或11，8，5，2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用))eq\a\vs4\al(例3)甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個(gè)不同的信息圖如圖所示．甲調(diào)查表明：從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞．乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場30個(gè)減少到第6年10個(gè)．請根據(jù)提供的信息，求：(1)第2年養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)．(2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？(3)哪一年的規(guī)模最大？解：由圖知，從第1年到第6年平均每個(gè)雞場出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為{an}，公差為d1，且a1＝1，a6＝2；從第1年到第6年養(yǎng)雞場個(gè)數(shù)也成等差數(shù)列，記為{bn}，公差為d2，且b1＝30，b6＝10.第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列{cn}，則cn＝anbn.(1)由a1＝1，a6＝2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1＋5d1＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d1＝，))得a2＝；由b1＝30，b6＝10，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,b1＋5d2＝10，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,d2＝－4，))得b2＝26.所以c2＝a2b2＝×26＝，所以第2年養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)為26，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是萬．(2)c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，所以到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年縮小了．(3)因?yàn)閍n＝1＋(n－1)×＝＋，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6，n∈N*)，所以cn＝anbn＝(＋)(－4n＋34)＝－2＋＋(1≤n≤6，n∈N*).因?yàn)閷ΨQ軸為n＝eq\f(9,4)，所以當(dāng)n＝2時(shí)，cn最大，所以第2年的規(guī)模最大．[規(guī)律方法]解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟及注意點(diǎn)(1)解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟：①審題，即仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；③判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中．(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題．活學(xué)活用假設(shè)某市2020年新建住房400萬平方米，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米．那么該市在__2029__年新建住房的面積開始大于820萬平方米．【解析】設(shè)n年后該市新建住房的面積為an萬平方米．由題意，得{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>eq\f(42,5).由于n∈N*，則n≥9，所以該市在2029年新建住房的面積開始大于820萬平方米．1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝(B)A．5B．8C．10D．14【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.2．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于(A)A．8B．4C．6D．12【解析】因?yàn)閍3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.3．在等差數(shù)列{an}中，若a5＝6，a8＝15，則a14等于(B)A．32B．33C．－33D．29【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a5，a8，a11，a14也成等差數(shù)列且公差為9，所以a14＝6＋9×3＝33.4．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝(C)A．90B．270C．180D．360【解析】因?yàn)閍3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.5．在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，則2a9－a10的值為__30__．【解析】因?yàn)閍2＋a14＝2a8，所以a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，所以a8＝30，所以2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.6．某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一