考點(diǎn)07橢圓離心率的14種常見考法歸類離心率是刻畫橢圓的扁平程度和雙曲線的開口大小的一個(gè)量。求離心率的大小和范圍問題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。離心率問題既可以考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)，又可以綜合考查平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容，還可以考查考生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力，更可以考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。因此，備受命題者青睞。一、求離心率的方法．求圓錐曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：1、利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距，從而可求解；（1）特殊三角形與離心率這類題目通常利用特殊三角形的性質(zhì)來(lái)找參數(shù)關(guān)系，用到的性質(zhì)一般有邊角相等、三角形相似、面積公式、正余弦定理、角平分線性質(zhì)、高的性質(zhì)、中線的性質(zhì)等，解題方法可用代數(shù)法也可用幾何法，通常數(shù)形結(jié)合，用幾何法計(jì)算量較小，運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單.平行四邊形與離心率：對(duì)邊平行相等；兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的平方和等于兩倍的兩個(gè)鄰邊的平方和等.解題時(shí)可用代數(shù)法也可用幾何法.圓與離心率借助于圓的性質(zhì)求離心率問題的題目相對(duì)較多，考查點(diǎn)通常是圓的性質(zhì)和圓錐曲線性質(zhì)的結(jié)合，比如弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦垂直，直徑所對(duì)的圓周角是90°，半徑相等，圓與圓的位置關(guān)系等.2、利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果從題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解．（要習(xí)慣將看作常數(shù)）3、通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．二、離心率的范圍問題．在尋找不等關(guān)系時(shí)通常可從以下幾個(gè)方面考慮：（1）借助題目中給出的不等信息題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求．如果問題圍繞著“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮將該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口；基本步驟：①找出試題本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點(diǎn)或直線使方程成立，的范圍等；②列出不等式，化簡(jiǎn)得到離心率的不等關(guān)系式，從而求解.（2）借助函數(shù)的值域求解范圍若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮將離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可；基本步驟：①根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；②通過(guò)確定函數(shù)的定義域；③利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系基本步驟：①根據(jù)平面圖形的關(guān)系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對(duì)稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系，②將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進(jìn)行表示，進(jìn)而得到不等式，③解不等式，確定離心率的范圍.另外，不能忽略了圓錐曲線離心率的自身限制條件(橢圓、雙曲線離心率的取值范圍不一致)，否則很容易產(chǎn)生增根或者擴(kuò)大所求離心率的取值范圍．考點(diǎn)一利用幾何性質(zhì)1．（2022秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為A.若為正三角形，則該橢圓的離心率為______.【答案】【分析】利用題給條件求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率【詳解】為正三角形，則，則橢圓的離心率故答案為：2．（2023·河南鄭州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱關(guān)系和垂直關(guān)系可知四邊形為矩形，結(jié)合直線傾斜角大小可確定，由此利用表示出，結(jié)合橢圓定義可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】記橢圓的左焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知：四邊形為平行四邊形，，；，，四邊形為矩形，，又，，又，，，，，橢圓的離心率.故選：C.3．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則橢圓的離心率為__________.【答案】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出以線段為直徑的圓的方程，根據(jù)直線與圓相切求出，再根據(jù)以及離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椤?，所以以線段為直徑的圓的方程為：，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，化簡(jiǎn)得，所以橢圓的離心率.故答案為：.4．（2022春·遼寧丹東·高二鳳城市第一中學(xué)階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A．, B．,C．, D．,【答案】C【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離不小于，可得范圍，根據(jù)離心率即可得出．【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得：，，所以，解得．點(diǎn)到直線的距離不小于，，解得，又，．離心率．故選：C．考點(diǎn)二利用坐標(biāo)法5．（2022秋·江蘇無(wú)錫·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為橢圓的右焦點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為______．【答案】【詳解】設(shè)A，B，F(xiàn)，橢圓方程為，令，可得，即有M，由C是AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），可得C，由O，C，M共線，可得，即為，即有，，則．6．（2022秋·吉林·高二統(tǒng)考期中）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A且斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰為右焦點(diǎn),若，則橢圓的離心率的取值范圍是_____________.【答案】【詳解】由題意可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，因?yàn)?，所以，從而得到離心率的取值范圍為．考點(diǎn)三橢圓第一定義7．（2022秋·福建三明·高二階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，且，則橢圓離心率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知：，所以，所以．若橢圓上存在點(diǎn)，使，所以，所以，所以，故應(yīng)選．8．（2022秋·安徽·高二統(tǒng)考期中）、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，已知，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)，則由，得，所以，，所以，解得，在中，，即，把代入得，所以，故選A．9．（2022秋·湖南株洲·高二階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)邊長(zhǎng)為，即，由題意數(shù)形結(jié)合易證得，，即．在中由題意可得，，．，．故C正確．10．（2022秋·山西·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，若|AF1|＝|AB|＝5，|F1B|＝6，則橢圓C的離心率為_____.【答案】.【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，可得．即有，，在中，由余弦定理可得．在△，中由余弦定理可得，即可求解．【詳解】如圖：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，．，，．即有，，在中，由余弦定理可得在△，中由余弦定理可得．故答案為：．11．（2022秋·福建廈門·高二福建省廈門集美中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為__．【答案】【分析】由題意得到，即，進(jìn)而求得，結(jié)合，得到，即可求得橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以,且，所以，又由，即，即，所以.故答案為：.考點(diǎn)四焦半徑和橢圓第二定義12．（2022秋·天津河?xùn)|·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為____.【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，使用橢圓的第二定義進(jìn)行計(jì)算，得到，然后利用計(jì)算即可.【詳解】如圖，作垂直右準(zhǔn)線交右準(zhǔn)線于點(diǎn)，作垂直右準(zhǔn)線交右準(zhǔn)線于點(diǎn)作垂直于點(diǎn)由，設(shè)，則由所以，又直線的斜率為，所以所以故答案為：13．（2022春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：()，存在過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)，滿足，則橢圓C離心率的最小值是______.【答案】【分析】如圖：過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，交準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線交軸于，計(jì)算，解得答案.【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，交準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線交軸于.，則，故，故，，即，解得.當(dāng)取右頂點(diǎn)，取左頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.14．（2022·高二單元測(cè)試）設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，若在直線（c為半焦距）上存在點(diǎn)P，使的長(zhǎng)度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，得到，求得，進(jìn)而求得橢圓離心率的范圍.【詳解】如圖所示，橢圓，可得焦距，因?yàn)樵谥本€上存在點(diǎn)P，使的長(zhǎng)度恰好為橢圓的焦距，可得，即，可得，即，解得又因?yàn)闄E圓的離心率，所以.故選：B.考點(diǎn)五中點(diǎn)弦和橢圓第三定義15．（2022·高二單元測(cè)試）若橢圓與直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的連線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把代入橢圓得，由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，再由原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的連線的斜率為，能夠算出，進(jìn)而利用離心率的計(jì)算公式求出即可.【詳解】解：把代入橢圓得，整理得.設(shè)，，則，.線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的連線的斜率.由橢圓，可知，，則.則橢圓的離心率.故選：B.16．（2022秋·安徽蚌埠·高二?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，求橢圓的離心率.【答案】【分析】利用橢圓點(diǎn)差法，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：設(shè)，，則，，∴，∵，，，∴，∴.又∵，∴，∴，∴.17．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】橢圓的中點(diǎn)弦問題，點(diǎn)差法構(gòu)造弦中點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系，計(jì)算離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.18．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的特征可求得，并得到中點(diǎn)坐標(biāo)；利用點(diǎn)差法可構(gòu)造等式求得，根據(jù)橢圓離心率可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱，，又中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；設(shè)，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.考點(diǎn)六與斜率乘積相關(guān)19．（2022·湖北）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓，交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的斜率之積為，則橢圓的離心率為______.【答案】.【詳解】當(dāng)為軸時(shí)，則.故取.于是，.因此，.所以，.20．（2022秋·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州市書生中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)為A，B，點(diǎn)M為橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線AM和直線BM的斜率之積為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，代入橢圓的方程，表示出，由即可得，據(jù)此即可求出離心率.【詳解】由已知可設(shè).設(shè),由題設(shè)可得,,所以.因?yàn)?所以,則,所以.故選：C.21．（2022春·新疆烏魯木齊·高二新疆實(shí)驗(yàn)?？奸_學(xué)考試）若A，B分別是橢圓E：（m＞1）短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AP與直線BP的斜率之積為，則橢圓E的離心率為_____．【答案】【分析】點(diǎn)P（x0，y0），利用直線AP與直線BP的斜率之積為，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上，求出m，利用離心率公式即得解.【詳解】設(shè)直線AP、BP的方程為y﹣1＝kAx，y+1＝kBx，點(diǎn)P（x0，y0），kA，kB，則kA?kB①，又點(diǎn)P在橢圓上，②，由①②得，m2＝4，∵m＞1，∴m＝2．即離心率e．22．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀E圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出，得到，根據(jù)斜率之積列出方程，得到，結(jié)合，求出，求出離心率.【詳解】由題意得：，設(shè)，，故，，故，解得：，由，得到，即，離心率.故選：D23．（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)A，B是橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上（異于A，B兩點(diǎn)），若直線斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，由，則，整理解方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，不妨設(shè)，則，整理可得，即，或（舍），故選：C考點(diǎn)七已知焦點(diǎn)三角形頂角24．（2022秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______【答案】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，只需保證為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)即可，應(yīng)用余弦定理列不等式，結(jié)合橢圓離心率范圍求離心率取值范圍.【詳解】由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)最大，所以橢圓上存在點(diǎn)使，只需最大的情況下，有，又橢圓離心率，故.故答案為：25．（2022秋·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，若橢圓上存在一點(diǎn)滿足，則橢圓離心率的最小值為________．【答案】【分析】不妨設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在軸上，故當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)最大設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，則，結(jié)合，，分析即得解【詳解】不妨設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在軸上，故當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)最大設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，若橢圓上存在一點(diǎn)滿足，則且，故故則則橢圓離心率的最小值為故答案為：26．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處時(shí)，張角達(dá)到最大值．∵橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，∴△中，，∴△中，，所以，∴，∴，∴，∵，∴.27．（2022秋·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谥校┰O(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是_______________.【答案】【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為E,連AE,BE,依題意可得四邊形AEFB為矩形,根據(jù)橢圓定義,勾股定理以及已知不等式列式可解得.【詳解】畫出圖形設(shè)左焦點(diǎn)為E，連接AE，BE,依據(jù)題意可得四邊形AEFB為矩形故答案為：28．（2022秋·河北邯鄲·高二階段練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)（-c，0），（c，0），由橢圓的定義可得，，可設(shè)|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即為（λ2+1）t2=4c2，②由②÷①2，可得，令m=λ+1，可得λ=m-1，即有，由≤λ≤2，可得≤m≤3，即，則m=2時(shí)，取得最小值；m=或3時(shí)，取得最大值.即有，解得.考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)29．（2022秋·天津南開·高二天津二十五中?？计谥校┰O(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)，使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是__________．【答案】【詳解】分析：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，連接．由線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，可得，所以．因?yàn)?，由因?yàn)椋裕冃慰傻?，進(jìn)而可得，所以．根據(jù)橢圓的離心率，可得．詳解：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，連接，∵的中垂線過(guò)點(diǎn)，∴，可得，又∵，且，∴，即，∴，，結(jié)合橢圓的離心率，得，故離心率的取值范圍是．考點(diǎn)八已知焦點(diǎn)三角形的兩個(gè)底角30．（2022秋·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且，其中為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e的值等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，利用正弦定理，求得與的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率，得到答案.【詳解】設(shè)，在中，由正弦定理得，可得，又由，所以，所以.故選：B.31．（2022春·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)為橢圓（）上一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，如果，，那么橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意，為直角三角形，求出的表達(dá)式，再結(jié)合橢圓的定義，進(jìn)而可求得和的關(guān)系，從而可求橢圓的離心率．【詳解】∵，，∴為直角三角形，，∴，，∴，∴，∴.故選：D．32．（2022秋·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┰O(shè)、橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M，，，使得離心率，則e取值范圍為（

）A．（0，1） B．C． D．【答案】C【分析】在△中，由正弦定理結(jié)合條件有：，再由的范圍可求出離心率.【詳解】由，，設(shè)，，在中，由正弦定理有：，離心率，則

；解得：，由于，得，顯然成立，由有，即，得，所以橢圓離心率取值范圍為.故選：C考點(diǎn)九焦點(diǎn)三角形雙余弦定理模型33．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且滿足，若構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，則C的離心率為__________．【答案】【分析】設(shè)，進(jìn)而結(jié)合題意，根據(jù)橢圓的定義得，，再結(jié)合余弦定理，根據(jù)得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)闃?gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以，因?yàn)橛蓹E圓的定義知，，所以，即，所以在中，，在中，，因?yàn)?，所以，所以，整理得，即，所以，橢圓的離心率，故答案為：34．（2022·廣東）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根據(jù)，得到方程，解得.【詳解】解：，，在和中利用余弦定理可得即化簡(jiǎn)可得同除得：解得或（舍去）故選：35．（2022春·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，，，則橢圓的離心率為______.【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，則，利用橢圓的定義求出的表達(dá)式，在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出的表達(dá)式，代入離心率公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：設(shè)，則，由橢圓的定義知，，，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，即，解得，所以，所以橢圓離心率.故答案為：考點(diǎn)十焦點(diǎn)弦與定比分點(diǎn)36．（2022秋·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率e為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理與構(gòu)建出關(guān)于a、b、c的齊次方程，根據(jù)離心率公式即可解得.【詳解】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)做傾斜角為的直線，直線方程為：，聯(lián)立方程，可得根據(jù)韋達(dá)定理：，因?yàn)?，即，所以所以即，所以，?lián)立，可得故選：D.37．（2022秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）橢圓：的左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)A，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為M，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，求得M的坐標(biāo)，代入橢圓方程求解.【詳解】解：因?yàn)?，，，，所以，則，因?yàn)樵跈E圓上，所以，∴，∴，故選：A.38．（2022秋·山西運(yùn)城·高二山西省運(yùn)城中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，直線與E相交的另一點(diǎn)為M，點(diǎn)M在x軸上的射影為點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則E的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可得，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡(jiǎn)可求出離心率.【詳解】由題意得，設(shè)因?yàn)?，所以，所以，得，即因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，所以離心率，故選：B.考點(diǎn)十一橢圓與四心39．（2023秋·福建廈門·高二廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，為上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得的周長(zhǎng)為，內(nèi)切圓的半徑為，再結(jié)合等面積法得，再平方整理得，再求離心率即可；【詳解】解：由題知為上一點(diǎn)，所以，，所以的周長(zhǎng)為，因?yàn)榈膬?nèi)心為所以，內(nèi)切圓的半徑為，所以，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知，，即，兩邊平方并整理得，即，所以，離心率為故選：C40．（2022秋·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)（P不在y軸上），的重心為G，內(nèi)心為M，且，則橢圓C的離心率為___________．【答案】【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合等面積法，得到的關(guān)系，即可求解離心率.【詳解】設(shè)，由于G是的重心，由重心坐標(biāo)公式可得，由于，所以的縱坐標(biāo)為，由于是的內(nèi)心，所以內(nèi)切圓的半徑為，由橢圓定義得，，，故答案為：41．（2023秋·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是______．【答案】【分析】首先根據(jù)題意，畫出圖像，利用向量變形得，，再結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后利用余弦定理得,再結(jié)合焦點(diǎn)三角形的面積公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)為下焦點(diǎn)，為上焦點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，如下圖；分別記，，，面積為，，，，以，為基底表示，又，，三點(diǎn)共線，，，∴，由內(nèi)心的性質(zhì)知，，不妨令，，，由橢圓的第一定義，且，在中，余弦定理得，∴，∴，∴，∴，．故答案為：42．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，的重心、內(nèi)心分別為G、I，若，則橢圓的離心率e等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出重心的坐標(biāo)，利用中面積等積法可求出的關(guān)系，即可得橢圓離心率.【詳解】設(shè)為的重心，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴IG∥x軸

∴I的縱坐標(biāo)為，在中，，，又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo)即為內(nèi)切圓半徑，內(nèi)心I把△F1PF2分為三個(gè)底分別為△F1PF2的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，，即，，∴橢圓C的離心率.故選：A43．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由和G為重心判斷出，再利用求出，借助橢圓定義求出，最后勾股定理建立等式解出離心率即可.【詳解】如圖，連接并延長(zhǎng)交于，連接.由得，即，所以，又G為重心，所以是等腰三角形，，由得，，又由橢圓定義.，即，化簡(jiǎn)得，故離心率為.故選：B.考點(diǎn)十二焦點(diǎn)圓44．（2022秋·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知P為橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使為直角三角形的點(diǎn)P有且只有4個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先考慮通徑上有四個(gè)點(diǎn)滿足題意，然后根據(jù)以為直徑的圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)得到關(guān)于，，的不等式，通過(guò)不等式求解橢圓離心率即可.【詳解】方法一：當(dāng)軸時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)滿足為直角三角形；同理當(dāng)軸時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)滿足為直角三角形．∵使為直角三角形的點(diǎn)有且只有4個(gè)，∴以原點(diǎn)為圓心，c為半徑的圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，∴，∴，∴，又，解得.方法二：由題意為直角三角形的點(diǎn)有且只有4個(gè)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)落在橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，可得此時(shí),又，故.故選：A．45．（2022秋·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓與軸的交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是直線：上的任意一點(diǎn)，橢圓以，為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為____________.【答案】【分析】由題意可知：，然后求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由，此時(shí)橢圓的離心率取得最大值即可求解.【詳解】由題意可知：，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，到兩點(diǎn)距離之和的最小值為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與的距離，設(shè)可得，解得：所以所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以的最小值為，橢圓的離心率的最大值為所以橢圓的離心率的取值范圍為，故答案為：.考點(diǎn)十三橢圓與圓46．（2022秋·江蘇南京·高二南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)Q在圓，其中c為橢圓C的半焦距，若的最大值恰好等于橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓與橢圓的性質(zhì)求解，【詳解】點(diǎn)在橢圓上，則的最大值為，圓的半徑為，則的最大值為，故，故選：D47．（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線、線段以及x軸均相切，的內(nèi)切圓為圓，若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為，則C的離心率為__________．【答案】【分析】設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，圓心，在的角平分線上，從而切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，由切線的性質(zhì)求得，，由圓面積比得半徑比，然后由相似形得出，的關(guān)系式，從而求得離心率．【詳解】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心、在的角平分線上，如圖，設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，由橢圓的定義知，則，有，，，，又圓與圓的面積之比為，所以圓與圓的半徑之比為，因?yàn)?，所以，即，整理得，故橢圓的離心率.故答案為：48．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)四中?？计谀┮阎c(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，的離心率為，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為______．【答案】【分析】連接，當(dāng)不為的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，分別與圓切于點(diǎn)，，設(shè)，連接，得，又，得即可解決.【詳解】連接，當(dāng)不為的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，分別與圓切于點(diǎn)，，設(shè)，由題意知，即，所以，連接，所以，所以，又因?yàn)?，所以有，即，結(jié)合得．故答案為：．49．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的下焦點(diǎn)，M點(diǎn)在橢圓C上，線段MF與圓相切于點(diǎn)N，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記上焦點(diǎn)為，圓心為，由線段成比例得出，且，于是有，然后由橢圓定義和垂直得出關(guān)于齊次等式，化簡(jiǎn)后可求得離心率．【詳解】如圖，記上焦點(diǎn)為，圓心為，則，連接，，，，又，則，所以，，，則，由橢圓定義，又，所以，所以，，即，，，所以．故選：B50．（2022秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：，定點(diǎn)，，有一動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)軌跡與橢圓恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，求出其軌跡，求出，即得解.【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題得，化簡(jiǎn)得.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓.因?yàn)辄c(diǎn)軌跡與橢圓恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.所以橢圓的離心率.因?yàn)闄E圓的離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：D考點(diǎn)十四橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)51．（2022秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】先設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，焦距．因?yàn)樯婕皺E圓及雙曲線離心率的問題，所以需要找，，之間的關(guān)系，而根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用，表示出，并且，，在中根據(jù)勾股定理可得到：該式變形即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：得，，，設(shè)，，在中由勾股定理得，化簡(jiǎn)得：該式可變成：，即．故選：C.52．（2022秋·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過(guò)，若橢圓的離