§13.1（1）

；（2）

ln(n1)xn1nnn1nn（3）n1

xn xn22（4） n2（5）

(3(1)nn

xn

3n2n xx；（7）

1n 1 nn1

xn（9）

nnxnn xn5（10）5（11） xn

2n111n nn1 nxn

an2xn,0axnnpn

2n

(n

0R,收斂域?yàn)椋畁1

lnn2n11R1

n

n1

nx

1，級(jí)數(shù)為

n

，級(jí)數(shù)為

nLeibniz

nnnnn1nn

1nn

eR1e 1n

1n e1e

nn

0nex1級(jí)數(shù)發(fā)散，因此收斂域?yàn)?1,1een由limnn

limn2

1n21n2

1Rx1，級(jí)數(shù)為

絕對(duì)收斂，故收斂域?yàn)閇1n由limnn

3

4R1nn 31n

4在x ，級(jí)數(shù)4

，將其奇偶項(xiàng)分開(kāi)，拆成兩個(gè)部分，分別為

1

31n

4

k1

31n另一部分

2k1(1

n n

4

2n 3n2nnn

2 3

nn

2

3R131

3n2n

1 3 312n 當(dāng)x1 時(shí)級(jí)數(shù)為

n

發(fā)散當(dāng)x1 時(shí)33n2n

1

n112n

n3 級(jí)數(shù)為

3

nn1n

n3因此，收斂域?yàn)?x11即3,2

n2n

2n n2nx

1!!

n2n31

11，故由

2n

n2n x1

2n1!!

2n!! 2n32n

故2n!!單調(diào)下降，且由0242n1（用數(shù)學(xué)歸納法證之）2n

3 2n 1

2n1!!

收斂，所以收斂域?yàn)閇11

1

n1 n1 12ne

1nn

e1Ren由于1 n (e,e)

0n，故級(jí)數(shù)在xe發(fā)散，因而收斂域?yàn)? nn

1R1 nnxnn發(fā)散，故收斂域(11

Leibnizx1，級(jí)數(shù)為nnnn

1R7n

57 5n7n5n7nnn

n70，因此級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域

n15n

5n7n

n lim2n

2n

nx4，級(jí)數(shù)為

(2nn成立，所以

0，即級(jí)數(shù)

發(fā)散，因此收斂域?yàn)?4,4)

n

n1因?yàn)閘im(11 1)(111)1，所以R

n

nx1，由于lim1111n0x1收斂區(qū)間為(11

n nlimn11R x1，顯然級(jí)數(shù)n1n均發(fā)散，故收斂域?yàn)?1100xx2n

x 1

x

2n

R，收斂域

liman0（0a1，R，收斂域?yàn)閚n11

11

1R

np

n1

nnx1，級(jí)數(shù)變?yōu)?/p>

n

p10p1

n

n而pp00，p1時(shí)，收斂域[1n0p1時(shí)，收斂域?yàn)閇11p0時(shí),收斂域?yàn)?11設(shè)冪級(jí)數(shù)

xnR

xn的收斂半徑為Q

x2n（2）

xn

xn

（1）由題設(shè)limn1

x

x1xnn n

a 時(shí)，級(jí)數(shù)

ax2n絕對(duì)收斂，而當(dāng)1x21，即x 時(shí)，級(jí)數(shù)Rnn Rnn

Rax2nR數(shù)an

RnRn

1RQRQ0nanb來(lái)確定，可以是0,nxkxkk

1Mn1,2,,

0，求證：當(dāng)0xx1

xnnann

M x

xnaxn ，而由于0xx，故數(shù)列

n1x

x

1

1

xx1

xnnnMDirichletaxnxnn(2)設(shè)

xn

(xAbeln xnksn(x)akk

xk 1x1k

k

1

xk1

xn

axi

ak1

x1 x1

ki x1kin1x

xk1

xn Mx

x

x

M

M

1

1 nann

s(x)nn

sn(x)M§13.2f(x)axnxr時(shí)收斂，那么當(dāng)

anrn1n

nf(x)dx

anrn1 n0n 不論

xnxr

由于冪級(jí)數(shù)n 的收斂半徑至少不小于r，且該冪級(jí)數(shù)在xr收斂 因而該冪級(jí)數(shù)在0r一致收斂（Abel第二定理s(xxr

sx

anrn1

xr，由于

naxnn

xr

n0n

分，即

x

xndx

xaxndx

anrn1s(x)，即

f(t)dt

s(x)，令

n0r

xnxn n

xrx

f(x)dxlims(x)n

．

n1n2n n

nn證 ln(1x)nn

xn

x1x

xn1x1，而級(jí)數(shù)

1

1n1

n1n21ln1xdx． ．

n1n2n xnn1（2）nxn

x2nn1n2n1

n21n!2nx

1n nx nn14n1

2n11xnn2xn1

x2n1解（1）

1

xn1

x1x1

xtn1dtx1dtxn

1

n0

01nnnxnn1

ln1x，且當(dāng)x1時(shí)，級(jí)數(shù)ln1x,1x1

收斂，由Abel第二定理，有n（2）s(x)

nxns(x)

nxn1

x1

x xs(t)x

n dt

xnx

x1，

x

1

x

1x

1

1x2s(x1

,x（3）s(xnn1xnx1 x

0s(t)dt

nn10

dt

22

,xx x所以，s(x)

，x1(1x)2 設(shè)s(x) x2n，x1，n1n2n1s(x)

x2n1，1x1，

s(x)

2

x

12

2

，x1， 221 2s(x)x dt1arctanx，1x1， s(x)x1arctantdt1xarctanx1ln(1x2)，x0n2

s(x)

xn

xn

xn(x)e21，x n2

x

x

x x由于(x)

xn

dt

xn e2n1

x

以，(x)

e22

x2e24

s(x)

x2

x1e21． （6）s(x)

1nn

xnx，則

3n13

0tts(t)dxn!

x3xx

s(x)

exx

xs(x)x3x1ex1（x0理解為極限值 （7）s(x)4n1xs(x)4n1,

x1

x4n

x4n

x4，1x4x2s(x)1ln1x1arctanxxs(x)

ln1xarctanx

x 1

4x

1

（2x理解為極限值nn2n1

lim2n2

2R

1x1

1

n

1 1 2

122n

由于lim1n210

n 2s(x)

2n11xn

2xn112 12x

11x

，x12s(x)n2xn1

x1xs(t)dtx

nxn

x

us(t)dtdx

xn

00

0u

1xs(t)dt

x x

1x 10s(t)dt(1x)2s(x)(1x)2

，x（10）s(x)

x2n1

x，則有（逐項(xiàng)積分xs(t)dt

2n1x2n1

x1ts(u)dudt

0t0

1xs(u)du2x21ex2 xs(u)du2x3xex2xx s(x)4x42x26x1ex21xs(x)4x52x36x2xex2x（1）

2n；n （2）n2n1

2n1x2ns(xx1s(x)

xs(t)dt

x2n1

xx2n1 ，所以，

0t 1xx2

1x2

s(x)

，x12n1

1

2

2n 2

2

設(shè)s(x) x2n1，則級(jí)數(shù)在x1絕對(duì)收斂，所以，s(x)1x2n，s(x)

x2n12x，x

n1

1xs(x) dtln(1x2)s(x)xln(1x2)dxxln(1x2)2xln1x，x0 s(1)

1

(4n)!滿足方程 yn xyyy0nn0

n[4(n

0R域?yàn)? x

x

x [4(n1)]!(4n)!

即(4n)!滿足方程 y xn xn（2）級(jí)數(shù)(n!)2收斂域?yàn)?y(n!)2

xn

nx

xn

nnyn!2n!2

yn!2

xyyy

n(n1)xn2

nxn1 xn

n1

n0nn

0

n0n 滿足方程xyyy0nn0f(x是冪級(jí)數(shù)

xn在RRf(xf(x證明f(x)

xn，xR,xRRf(xf(x)f(xan

n(x)nn

xn

n[(1)nn

xn0 故n0N，有[(1)n1]a0，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)2a0a0 同樣，若f(x)為偶函數(shù)，即f(x)

nf(x)，得[(1)nn

xn0，故n [(1)n1]a0n2a0a0 xnf(x)n2ln(1n（1）f(x在[11f(x在(11f(xx1

f(x)f(xx1xnn2ln(1xnn2ln(1

n2ln(1

x1，而級(jí)數(shù)n2ln(1n) xn判別法，知級(jí)數(shù)n2ln(1n)在[11一致收斂，而級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)為冪函數(shù)在[11 xnf(x)n2ln(1n在[11

又級(jí)數(shù)n2ln(1n

nln(1n)R1，因此在(11n1f(x

冪級(jí)數(shù)nln(1n)x1成為nln(1n)Leibniz Abel[1,0f(xx1

f(xf(1)

f(x)

f(x) ．

(xn1)(xf((xn1)(x

x

nln(1

xn1xn21

f(xx

nln(1

a1

,a01（3）1x3cos2xsin3xx1（9）13x2x211xsintdt xcost2dtxaxa

1x a

xaa

1 n1 a1

（xan0a （2） 11

221

1

1

343n1xn 22

n

n2

，x

2

1

1

2(1)n

2n01

，x 3

x2k 1

1

1 4k3

2k1

4k

2k14 4k

，xx11

x13x 131n 2 2 x1

3xn（3x1） x1

xn，x

2

（xn0

nxn

（x

xn

（x1 11n1xn，x．n1n 11

132n1 1 2 2

1

1n2nn

x2n，x1x

1n2n

1x1x0

dxx11x

，x即

x

2nn!2n1

x2n1

13x2x

1

1x 2(2x)nxn（2x1x

2132n1 1 2 2 x2n（

1x21x2

1

2n2n

x1

arcsinxx2nn!2n1

，x2n

2n

1

3

2Raabe[12

x2

11

x3

n1x3

1n1 1xn1 ， n1 n1

xdx1xx 1xxxx

x20

x2n1

x2nn02n n02n x2n1，x1n022n1n

x1

x dt t2k1dt t2k 0tk

0k

x2k1，xk

2k

2k1x xx

1k2

x

0

dt

0k

dt

0k

x4k1，xk

2k!4k

1

1

1

nn

xn

1k

k

nk

n11 n1k

1

k1k

，x1

x （2）arctanx2

2dt1 n01

0 n

x2k1

x2nkn0k02k

2nkn1nn

x

1n

x2n1，x

n1k02k

xn

n

n1n

n1k1

n1

n1

kn1k

，1x1．n1k

n1

k

a

x0b(