§12.1事件與概率、古典概型最新考綱考情考向分析1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.4.會計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.以考查隨機(jī)事件、互斥事件與對立事件的概率為主，常與事件的頻率交匯考查．本節(jié)內(nèi)容在高考中三種題型都有可能出現(xiàn)，隨機(jī)事件的頻率與概率的題目往往以解答題的形式出現(xiàn)，互斥事件、對立事件的概念及概率常常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).1．事件(1)不可能事件、必然事件、隨機(jī)事件：在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時，有的結(jié)果始終不會發(fā)生，它稱為不可能事件；有的結(jié)果在每次試驗(yàn)中一定會發(fā)生，它稱為必然事件；有的結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，它稱為隨機(jī)事件．(2)基本事件、基本事件空間：試驗(yàn)連同它出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，它是試驗(yàn)中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件；所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間，基本事件空間常用大寫希臘字母Ω表示．2．概率與頻率(1)概率定義：在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)，當(dāng)n很大時，總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)．(2)概率與頻率的關(guān)系：概率可以通過頻率來“測量”，頻率是概率的一個近似．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱定義并事件(和事件)由事件A和B至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的事件C互斥事件不可能同時發(fā)生的兩個事件A、B互為對立事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件A、B4.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．5．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．6．古典概型的兩個特點(diǎn)(1)有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件；(2)等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．7．如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).8．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數(shù),試驗(yàn)的基本事件總數(shù)).概念方法微思考1．隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系？提示隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．2．隨機(jī)事件A，B互斥與對立有何區(qū)別與聯(lián)系？提示當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時，不一定對立，當(dāng)隨機(jī)事件A，B對立時，一定互斥．3．任何一個隨機(jī)事件與基本事件有何關(guān)系？提示任何一個隨機(jī)事件都等于構(gòu)成它的每一個基本事件的和．4．如何判斷一個試驗(yàn)是否為古典概型？提示一個試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵在于這個試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(3)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．(×)(4)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能的．(×)(5)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．(×)題組二教材改編2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．3．袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,3)答案A解析從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).4．同時擲兩個骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為________．答案eq\f(5,6)解析擲兩個骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).題組三易錯自糾5．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是()A．必然事件 B．隨機(jī)事件C．不可能事件 D．無法確定答案B解析拋擲10次硬幣，正面向上的次數(shù)可能為0～10，都有可能發(fā)生，正面向上5次是隨機(jī)事件．6．安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為()A.eq\f(1,15)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案B解析由題意可得，甲連續(xù)三天參加活動的所有情況為：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四種情況，∴所求概率P＝eq\f(4·A\o\al(3,3),C\o\al(3,6)·A\o\al(3,3))＝eq\f(1,5).故選B.7．(2018·沈陽模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為______．答案0.35解析∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.題型一隨機(jī)事件命題點(diǎn)1隨機(jī)事件的關(guān)系例1(1)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡答案A解析“至多有一張移動卡”包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件．(2)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列判斷中正確的序號為____________．①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．答案①④解析當(dāng)取出的兩個球?yàn)橐稽S一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，③不正確；顯然A與D是對立事件，①正確；C∪E為必然事件，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．命題點(diǎn)2隨機(jī)事件的頻率與概率例2(2017·全國Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.命題點(diǎn)3互斥事件與對立事件例3一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).方法二(利用對立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)因?yàn)锳1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).思維升華(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生．②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．(2)判斷互斥、對立事件的方法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．(3)概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．(4)隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．(5)求復(fù)雜事件的概率的兩種方法求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法①將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．②若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率．跟蹤訓(xùn)練1(1)某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣的方法對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120①若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；②在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．解①設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.②設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，可得樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.(2)(2016·北京改編)A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5①試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；②從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率．解①由題意及分層抽樣可知，C班學(xué)生人數(shù)約為100×eq\f(8,5＋7＋8)＝100×eq\f(8,20)＝40.②設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”，i＝1,2，…，5，事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”，j＝1,2，…，8.由題意可知P(Ai)＝eq\f(1,5)，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝eq\f(1,8)，j＝1,2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,40)，i＝1,2，…，5，j＝1，2，…，8.設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×eq\f(1,40)＝eq\f(3,8).題型二古典概型例4(1)(2017·全國Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).(2)袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中1個白球，1個紅球，2個黃球，從中一次隨機(jī)摸出2個球，則這2個球顏色不同的概率為________．答案eq\f(5,6)解析基本事件共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)，設(shè)取出2個球顏色不同為事件A.A包含的基本事件有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)＝5(種)．故P(A)＝eq\f(5,6).(3)我國古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”將這五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件A發(fā)生的概率為________．答案eq\f(1,12)解析五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列的所有基本事件數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＝120，滿足事件A＝“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”的基本事件可以按如下方法進(jìn)行考慮：從左至右，當(dāng)?shù)谝粋€位置的屬性確定后，例如：金，第二個位置(除去金本身)只能排土或水屬性，當(dāng)?shù)诙€位置的屬性確定后，其他三個位置的屬性也確定，故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)＝10(種)可能，所以事件A出現(xiàn)的概率為eq\f(10,120)＝eq\f(1,12).引申探究1．本例(2)中，若將4個球改為顏色相同，標(biāo)號分別為1,2，3,4的4個小球，從中一次取2個球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率．解基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).2．本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率．解基本事件數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝16，顏色相同的事件數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝6，故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).思維升華求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇．跟蹤訓(xùn)練2(1)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元．乙、丙、丁三人搶完6元錢的所有不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙獲得“手氣最佳”的所有不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出五個不同的數(shù)，則數(shù)字4是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為()A.eq\f(9,56)B.eq\f(9,28)C.eq\f(9,14)D.eq\f(5,9)答案B解析設(shè)事件A為“數(shù)字4是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)”．“從八個數(shù)字中取出五個數(shù)字”包含的基本事件的總數(shù)為n＝Ceq\o\al(5,8)＝56.對事件A，先考慮數(shù)字4在五個數(shù)的中間位置，再考慮分別從數(shù)字1,2,3和5,6,7,8中各取兩個數(shù)字，則事件A包含的基本事件總數(shù)為m＝Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×6＝18.由古典概型的概率計(jì)算公式，得P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(18,56)＝eq\f(9,28).題型三古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例5空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；>300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄了某地2018年某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示．(1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個月總共有30天計(jì)算)(2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI>100)的這些天中，隨機(jī)地抽取兩天深入分析各種污染指標(biāo)，求該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率．解(1)從莖葉圖中發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為1，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為3，故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，估計(jì)該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為eq\f(2,5)，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×eq\f(2,5)＝12.(2)該樣本中為輕度污染的共4天，分別記為a1，a2，a3，a4；為中度污染的共1天，記為b；為重度污染的共1天，記為c.從中隨機(jī)抽取兩天的所有可能結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15個．其中空氣質(zhì)量等級恰好不同的結(jié)果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9個．所以該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率為eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).思維升華有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155,160)，第二組[160,165)，…，第八組[190,195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組比第七組多1人，第一組和第八組人數(shù)相同．(1)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；(2)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名，記他們的身高分別為x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由頻率分布直方圖知，前五組的頻率為(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三組的頻率為1－0.82＝0.18，人數(shù)為0.18×50＝9，由頻率分布直方圖得第八組的頻率為0.008×5＝0.04，人數(shù)為0.04×50＝2，設(shè)第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，頻率分別為0.08,0.06，頻率除以組距分別等于0.016,0.012，則完整的頻率分布直方圖如圖所示：(2)由(1)知身高在[180,185)內(nèi)的男生有四名，設(shè)為a，b，c，d，身高在[190,195]的男生有兩名，設(shè)為A，B.若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6種情況；若x，y∈[190,195]，只有AB1種情況；若x，y分別在[180,185)，[190,195]內(nèi)，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8種情況，所以基本事件的總數(shù)為6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的基本事件的個數(shù)為6＋1＝7，故所求概率為eq\f(7,15).1．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個黑球與都是紅球C．至少有一個黑球與至少有一個紅球D．恰有一個黑球與恰有兩個黑球答案D解析對于A，事件“至少有一個黑球”與事件“都是黑球”可以同時發(fā)生，∴A不正確；對于B，事件“至少有一個黑球”與事件“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，∴這兩個事件是對立事件，∴B不正確；對于C，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球，一個黑球，∴C不正確；對于D，事件“恰有一個黑球”與事件“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，∴兩個事件是互斥事件但不是對立事件，∴D正確．

2．(2016·天津)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.eq\f(5,6)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)答案A解析事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上的為三等品．用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45答案D解析設(shè)[25,30)上的頻率為x，由所有矩形面積之和為1，即x＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的頻率為0.25.所以產(chǎn)品為二等品的概率為0.04×5＋0.25＝0.45.4．(2018·撫順期中)根據(jù)某醫(yī)療研究所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為()A．15%B．20%C．45%D．65%答案D解析因?yàn)槟车貐^(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型，故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%，故選D.5．袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1,2.從以上五張卡片中任取兩張，則這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,3)答案C解析從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種：紅1紅2，紅1紅3，紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2紅3，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2，藍(lán)1藍(lán)2，其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有3種情況：紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，故所求的概率為P＝eq\f(3,10)，故選C.6．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案C解析函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿足題意，又b∈{3,5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率P＝eq\f(2×2,5×2)＝eq\f(2,5)，故選C.7．從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取兩個不同的數(shù)，則其中一個數(shù)恰是另一個數(shù)的3倍的概率為________．答案eq\f(1,12)解析從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取兩個不同的數(shù)，有n＝eq\f(9×8,2)＝36(種)情形，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的3倍的事件有{1,3}，{2,6}，{3,9}，共3種情形，所以由古典概型的概率計(jì)算公式可得其概率是P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).8．(2018·大連模擬)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)a1a2a3a4a5，當(dāng)a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4>a5時稱為波形數(shù)，則由1,2,3,4,5任意組成的一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)是波形數(shù)的概率是________．答案eq\f(2,15)解析∵a2>a1，a2>a3，a4>a3，a4>a5，∴a2只能是3,4,5中的一個．①若a2＝3，則a4＝5，a5＝4，a1與a3是1或2，這時共有Aeq\o\al(2,2)＝2(個)符合條件的五位數(shù)；②若a2＝4，則a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2,3，共有Aeq\o\al(3,3)＝6(個)符合條件的五位數(shù)；③若a2＝5，則a4＝3或4，此時分別與①②中的個數(shù)相同．∴滿足條件的五位數(shù)有2(Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3))＝16(個)．又由1,2,3,4,5任意組成的一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有Aeq\o\al(5,5)＝120(個)，故所求概率為eq\f(16,120)＝eq\f(2,15).9．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為________．答案eq\f(10,21)解析從袋中任取2個球共有Ceq\o\al(2,15)＝105(種)取法，其中恰有1個白球、1個紅球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50(種)取法，所以所取的球恰有1個白球、1個紅球的概率為eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).10．10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．答案eq\f(1,2)解析從10件產(chǎn)品中取4件，共有Ceq\o\al(4,10)種取法，恰好取到1件次品的取法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,7)種，由古典概型概率計(jì)算公式得P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(3×35,210)＝eq\f(1,2).11．海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解(1)A，B，C三個地區(qū)商品的總數(shù)量為50＋150＋100＝300，抽樣比為eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.(2)方法一設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個．每個樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15).方法二這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(3＋1,15)＝eq\f(4,15).12．一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記為數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．解由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．(1)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).13．(2018·湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)考試)某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進(jìn)價為3元，售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統(tǒng)計(jì)了近10天這種商品的銷售量，如圖所示．設(shè)x為這種商品每天的銷售量，y為該商場每天銷售這種商品的利潤，從日利潤不少于96元