復(fù)變函數(shù)的積分第1頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,若選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),則稱C為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,簡單閉曲線正向的定義:當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時,鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.§1復(fù)變函數(shù)積分的概念2第2頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.積分的定義:(D3第3頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三關(guān)于定義的說明:4第4頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三二、積分存在的條件及其計算法1.存在條件：若f(z)為連續(xù)函數(shù)且C是光滑曲線，則積分一定存在。（證明略）2.積分計算：5第5頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三計算方法1的推導(dǎo)：計算方法2的推導(dǎo)：6第6頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)曲線

兩個連續(xù)的實函數(shù)，則方程組代表一平面曲線，稱為連續(xù)曲線。平面曲線的復(fù)數(shù)表示:曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)

過定點(diǎn)，傾斜角為

的直線參數(shù)方程為：

7第7頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三其參數(shù)方程為復(fù)平面上以z0為圓心，半徑為r的圓：以(a,b)為圓心，半徑為r的圓：8第8頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例1直線段C3:的方程為解：計算其中積分路徑C分別為如下兩種：直線段，和折線段寫成復(fù)數(shù)形式有：直線段C4:的方程為寫成復(fù)數(shù)形式有：9第9頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例1續(xù)直線段方程為這兩個積分都與路線C無關(guān)（格林定理）10第10頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三y=x例211第11頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例3解積分路徑的參數(shù)方程為12第12頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例4解積分路徑的參數(shù)方程為13第13頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).14第14頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例5解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x(2)積分路徑的參數(shù)方程為15第15頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為16第16頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式17第17頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]18第18頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例6解根據(jù)估值不等式知19第19頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三§2柯西－古薩基本定理f(z)不滿足C-R方程,在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.此時積分與路線有關(guān).由以上討論可知,積分是否與路線無關(guān),或沿閉曲線的積分值為0的條件，可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.上一小節(jié)幾個例子：例1此時積分與路線無關(guān).

例2

例4f(z)在以z0為中心的圓周內(nèi)不是處處解析的，此時雖然在除z0外的圓內(nèi)處處解析，但此區(qū)域已不是單連通域20第20頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三積分

定積分二重積分三重積分曲線積分曲面積分積分域

區(qū)間平面區(qū)域空間區(qū)域曲線曲面曲線積分第一型曲線積分（對弧長的曲線積分）第二型曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）高數(shù)知識回顧：曲線積分在高等數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了下列積分：21第21頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三二重積分22第22頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第一型曲線積分如果L是閉曲線,則記為設(shè)L

是空間可求長曲線段,f(x,y)為定義在L上的函數(shù)，則可定義f(x,y)在空間曲線L

上的第一型曲線積分，并記作23第23頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三第二型曲線積分

變力沿曲線作功:設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用沿曲線

L

從點(diǎn)A

移動到點(diǎn)B

，則力F(x,y)所作的功由如下曲線積分給出：或也記為或簡記為P、Q是連續(xù)函數(shù)24第24頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三格林(Green)公式定理(格林公式)若函數(shù)在閉區(qū)域D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有：其中L

為區(qū)域D

的邊界曲線，并取正方向.25第25頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三曲線積分與路線的無關(guān)性定理在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(iii)沿D中任意按段光滑閉曲線L,有(ii)對D中任一按段光滑曲線

L,曲線積分(i)在D內(nèi)處處成立與路徑無關(guān),只與L

的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān).

設(shè)D是單連通域，函數(shù)則以下三個條件等價:26第26頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)格林公式：27第27頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三柯西－古薩基本定理（柯西積分定理）定理中的C可以不是簡單曲線.28第28頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三關(guān)于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,

(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.例根據(jù)柯西－古薩定理,有29第29頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三§3復(fù)合閉路定理30第30頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三︵︵設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析31第31頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三︵︵︵︵︵︵︵︵32第32頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三得解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).︵︵︵︵33第33頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例1閉路變形原理：34第34頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三35第35頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)合閉路定理36第36頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例2解依題意知,37第37頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)復(fù)合閉路定理,38第38頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例3解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,39第39頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例4解由復(fù)合閉路定理有

此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.40第40頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例5解由上例可知41第41頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三定理一由定理一可知:

解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁圖)§4原函數(shù)與不定積分42第42頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三43第43頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三定理二

此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.其證明也完全類似。44第44頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三原函數(shù):原函數(shù)之間的關(guān)系:證[證畢]推論：45第45頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)說明:

有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算.46第46頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,47第47頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)48第48頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例3解此方法使用了微積分中“分部積分法”49第49頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例4解50第50頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,§5柯西積分公式51第51頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三二、柯西積分公式定理-----

柯西積分公式或者：52第52頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三證明：（不作要求，僅供參考）53第53頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三上不等式表明,只要足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關(guān),所以只有在對所有的R積分值為零時才有可能.[證畢]54第54頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三關(guān)于柯西積分公式的說明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(2)一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.55第55頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例1解由柯西積分公式可得56第56頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例2解57第57頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例3解由柯西積分公式58第58頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三定理§6高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.59第59頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例1解60第60頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例2解61第61頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)復(fù)合閉路定理62第62頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例3解63第63頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三例4解64第64頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三一、調(diào)和函數(shù)的定義§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系65第65頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.兩者的關(guān)系定理：任何在區(qū)域

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證：根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定理,[證畢]66第66頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三2.共軛調(diào)和函數(shù)的定義

區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).67第67頁，共80頁，2023年，2月20日，星期三3.偏積分法

如果已知一個調(diào)和函數(shù)u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構(gòu)成一個解析函數(shù)u+vi.這種方法稱為偏積分法.解例1故u(x,