2020-2021學(xué)年福建省三明市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）本試卷共6頁.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.3.考試結(jié)束后，考生必須將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，僅有一項是符合題目要求的.1.青少年近視問題已經(jīng)成為我國面臨的重要社會問題.現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法調(diào)查某校學(xué)生的視力情況，該校三個年級的學(xué)生人數(shù)如下表：年級高一高二高三人數(shù)550500450已知在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數(shù)為（）A.18 B.20 C.22 D.242.用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖如圖所示，則在的三邊及中線中，最長的線段是（）A. B. C. D.3.下列結(jié)論正確的是（）A.事件A發(fā)生的概率是B.若事件A發(fā)生的概率，則事件A是必然事件C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則有明顯療效的可能性為76%D.某獎券中獎率為0.5，若某人購買此券10張，則一定有5張中獎4.若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次（3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的情況）均不低于第3名，則稱該同學(xué)為班級的尖子生.根據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù)，推斷一定是尖子生的是（）A.甲同學(xué)：平均數(shù)為2，方差小于1 B.乙同學(xué)：平均數(shù)為2，眾數(shù)為1C.丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2 D.丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于15.設(shè)D，E分別為兩邊，的中點，則（）A. B. C. D.6.袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就停止摸球.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：411231324412112443213144331123114142111344312334223122113133由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為（）A. B. C. D.7.如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱，的中點.若點F在線段上，且滿足平面，則的值為（）A.1 B.2 C. D.8.中，若，，點E滿足，直線與直線相交于點D，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.從1至9這9個自然數(shù)中任取兩個，有如下隨機事件：A=“恰有一個偶數(shù)”，B=“恰有一個奇數(shù)”，C=“至少有一個是奇數(shù)”，D=“兩個數(shù)都是偶數(shù)”，E=“至多有一個奇數(shù)”.下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.，10.下列命題正確的是（）A.若，則或B.已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為C.若，則向量，的夾角為鈍角D.設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則，可作為該平面的一個基底11.如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，上的動點.給出下面四個命題，其中正確的是（）A.B.直線與直線所成角的最大值是C.若直線與直線相交，則交點在直線上D.若直線與直線相交，則二面角的平面角的最小正切值為12.在中，，，，P為內(nèi)一點，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.的面積的最大值為D.的面積的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則_____________.14.2021年1月1日起，三明市全面鋪開市區(qū)生活垃圾分類工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”、“其他垃圾”的標(biāo)準(zhǔn)進行分類投放.若某居民將“廚余垃圾“和“可回收物“兩袋垃圾隨機地投放到四個分類垃圾桶中的兩個，則兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確的概率為_____________.15.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，是一個棱長為1的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上.則該正方體的棱長為____________；半正多面體的表面積為_____________.16.已知正三棱錐的底面是邊長為3的正三角形，其外接球O的表面積為，且點A到底面的距離小于外接球O的半徑，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為____________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)，所對應(yīng)的向量分別為，.（1）求所對應(yīng)的點C的坐標(biāo)；（2）求的值.18.（12分）三棱柱中，側(cè)面是邊長為的菱形，，平面，E，F(xiàn)分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角.19.（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若，，求的面積.20.（12分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機抽取2道題作答，若甲每道題答對的概率為，乙每道題答對的概率為，且甲乙答對與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響.求：（1）甲至少抽到1道填空題的概率；（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率.21.（12分）已知A，B兩家公司的員工月均工資情況如下：（1）以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，根據(jù)圖1估計A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù)，你認(rèn)為用哪個數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平？請簡要說明理由.（2）小明擬到A，B兩家公司中的一家應(yīng)聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，他應(yīng)該選哪個公司？22.（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是正三角形，E為線段的中點，.（1）求證：平面平面；（2）是否存在點F，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（3）若平面平面，在平面內(nèi)確定一點H，使的值最小，并求此時的值.三明市2020-2021學(xué)年第二學(xué)期普通高中期末質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則評分說明：1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則.2.對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.A2.D3.C2.D3.C4.A5.D6.B7.C8.A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.ABD 10.BD 11.BCD 12.BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.2 14.15.； 16.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.解：（1）因為，，所以，.…………3分所以點C的坐標(biāo)為.……………………5分（2）依題意，，，所以，.……………………7分所以.…………10分18.解法一：（1）證明：如圖，取的中點G，連接，，則，，∵，∴,∵平面，平面，∴平面；∵平面，平面，∴平面；.………………4分又，，平面，∴平面平面；∵平面，∴平面.………………6分（2）解：設(shè)與交于點H，連接，∵側(cè)面是邊長為的菱形，，∴，，∴；∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∴為直線與平面所成的角；.………………9分∵平面，∴；∵又，，∴，∴，即直線與平面所成的角為.…………12分解法二：（1）如圖，取的中點，連接，，則，，∵，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，.……………4分平面，平面，∴平面.…………6分（2）同解法一.……………………12分19.解：（1）∵，由正弦定理得，，.……1分∴，∴，.…………3分∴，∴，∴，又，∴；.…………5分（2），.………………6分.…………8分由正弦定理得，，.……………………10分∴.……12分20.解：（1）記3道選擇題的題號為1，2，3，2道填空題的題號為4，5，則試驗的樣本空間，.……2分共有10個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題”，則，.…………4分所以，，.……………………5分所以，.因此，甲至少抽到1道填空題的概率為.…………6分（2）設(shè)，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，分別表示乙答對0道題，1追題的事件，根據(jù)獨立性假定，得，.，.……9分記事件B=“甲答對的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立，所以.………………10分.因此，甲答對的題數(shù)比乙多的概率為.…………12分21.解：（1）A公司員工月均工資的平均數(shù)為（萬元）.………………2分由A公司員工月均工資的扇形圖知，在0.6萬元以下的比例為A公司員工月均工資在0.8萬元以下的比例為A公司員工月均工資的中位數(shù)為（萬元）.…………4分用中位數(shù)更能反映該公司普通員工的工資水平.理由：因為平均數(shù)受每一個數(shù)據(jù)的影響，越離群的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響越大，該公司少數(shù)員工的月收入很高，在這種情況下平均數(shù)明顯右偏，并不能較好的反映普通員工的收入水平，而中位數(shù)不受少數(shù)極端數(shù)據(jù)的影響，可以較好的反映普通員工的收入水平.………………6分（2）B公司員工月均工資的平均數(shù)為（萬元）由B公司員工月均工資的頻率分布直方圖知，在0.6萬元以下的比例為B公司員工月均工資在0.8萬元以下的比例為所以，B公司員工月均工資的中位數(shù)為（萬元）.……………………9分小明應(yīng)選擇B公司應(yīng)聘.理由：B公司員工工資數(shù)據(jù)較為集中，月工資的平均數(shù)和中位數(shù)均能反映該公司普通員工的平均收入水平，B公司員工月工資（萬元）平均數(shù)為0.69，中位數(shù)為0.7均大于反映A公司普通員工的收入水平的中位數(shù)0.62，所以以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選B公司應(yīng)聘.…………12分22.解：（1）證明：因為是正三角形，E為線段的中點，所以.因為是菱形，所以.因為，所以是正三角形，所以，而，所以平面.又，所以平面.…………3分因為平面所以平面平面.……………………4分（2）由，知.……5分所