/19/19/2021屆全國Ⅰ卷高三高考臨考仿真沖刺卷數(shù)學（文）試題（五）一、單選題1．設集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得集合，然后由集合的運算法則計算．【詳解】由題可得，，所以，則．故選：C．2．若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】求出，即得解.【詳解】由題得，所以，復數(shù)z對應的點為，在第一象限.故選：A3．已知命題，或，則為A．，且 B．，或C．，或 D．，且【答案】D【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結論.【詳解】命題，或，為全稱命題，則為：，且，故選：．4．某個國家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)和時間（單位：天）在天里的散點圖如圖所示，下面四個回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)和時間的回歸方程類型的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)散點圖據(jù)曲線形狀判斷．【詳解】，，A中是常數(shù)，B中是增函數(shù)，C中是減函數(shù)，D中是減函數(shù)，散點圖所有點所在曲線的切線的斜率隨的增大，而增大，而四個選項中，A斜率不變，CD的斜率隨的增大而減小，只有B滿足．故選：B．5．等差數(shù)列中，，前項和為，若，則（）A．1010 B．2020 C．1011 D．2021【答案】B【分析】.根據(jù)已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，即，即，所以.故選：B6．已知直線l與曲線相切，則下列直線不可能與l平行的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用曲線在某點的導函數(shù)值為曲線在該點的切線方程的斜率.對曲線求導，根據(jù)導函數(shù)的取值范圍即可得出切線斜率的取值范圍.即可選出答案.【詳解】，即直線l的斜率，故直線不可能與l平行，故選C.【點睛】本題考查曲線的切線方程.屬于基礎題.熟練掌握函數(shù)的求導公式是解本題的基礎.7．在中，，，，為的中點，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用表示出，然后可得答案.【詳解】由題易知，，則故選：B8．已知，直線上存在點，滿足，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)上，得到點p在線段AB上，其方程為上，又點在直線l上，聯(lián)立其方程，求得，然后由求解.【詳解】將代入得，將代入得，所以A，B不在直線l上，又上，所以點p在線段AB上，直線AB的方程為：，由，解得，直線方程，即為，設直線的傾斜角為，則，因為，所以，則，所以，即，因為，所以，故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是得到點P在線段AB上，再根據(jù)點P的直線l上，聯(lián)立求得，再利用斜率與傾斜角的關系而得解.9．已知同時滿足下列三個條件：①時最小值為；②是奇函數(shù)；③.若在上沒有最大值，則實數(shù)t的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件①得出函數(shù)的半周期，進而求得ω的值，結合條件②③討論并確定ω和φ的值，得函數(shù)解析式，最后結合函數(shù)圖像可求得t的取值范圍.【詳解】因函數(shù)最大值為1，最小值為-1，而，則，為函數(shù)圖象的兩條對稱軸，最小值為，而相鄰兩條對稱軸間距離為半周期，即周期，，當時，，是奇函數(shù)，則，，，而，，當k為偶數(shù)時成立，此時，當時，，是奇函數(shù)，則，，，，而，即，當k為偶數(shù)時成立，，綜上得，時，，因在沒有最大值，則有函數(shù)在上沒有最大值，如圖是的部分圖象，，時，取最大值1，從而有，.故選：D【點睛】結論點睛：正余弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)中，最小正周期為，最大值為|A|，最小值為-|A|.10．若函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】原問題等價于在上有兩解，即直線與函數(shù)，的圖象有兩個不同的交點即可求解.【詳解】解：由題意，在上有兩解，即在上有兩解，令，故，令，故在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故選：C.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)有幾個零點或方程有幾個根求參數(shù)的取值范圍的問題，常常分離參數(shù)，將原問題等價轉化為直線與函數(shù)圖象的交點來解決.11．已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側面展開圖的面積為，則球O的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓錐側面面積求得圓錐的底面半徑，作出圓錐的軸截面，其外接圓是球的大圓，由圖形求得球半徑，從而可得球表面積．【詳解】設底面半徑為，圓錐母線為，所以，所以，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，是圓錐底面的圓心，設球半徑為，則，，所以，如圖1，，即，解得，不符合題意，當為如圖2時，即，解得，所以球表面積為．故選：A．【點睛】方法點睛：本題考查求球的表面積，解題關鍵是求得球的半徑．在球圓錐或圓柱、圓臺問題中可以作出圓柱（圓錐，圓臺）的軸截面，軸截面的外接圓為球的大圓，由此建立了球半徑與圓柱（圓錐圓臺）的量之間的關系．12．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構造得到．任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把“中間一段”去掉，這樣，原來的條線段就變成了4條小線段構成的折線，稱為“一次構造”；用同樣的方法把每一條小線段重復上述步驟，得到了16條更小的線段構成的折線，稱為“二次構造”，…，如此進行“次構造”，就可以得到一條科曲線．若要科赫曲線的長度達到原來的100倍，至少需要通過構造的次數(shù)是（）．（取）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】由折線長度變化規(guī)律得到n次構造后，曲線的長度為，建立不等式，利用對數(shù)運算求解.【詳解】設原線段長為a，經(jīng)過n次構造后，曲線的長度為，則經(jīng)過1次構造后，曲線的長度為，經(jīng)過2次構造后，曲線的長度為，經(jīng)過3次構造后，曲線的長度為，依次類推，經(jīng)過n次構造后，曲線的長度為，若要科赫曲線的長度達到原來的100倍，則，所以，所以至少需要通過構造的次數(shù)是17.故選：C【點睛】本題主要考查數(shù)列新定義運算問題涉及到對數(shù)運算，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.二、填空題13．某校共有高一、高二、高三學生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，為了解該校學生的身體健康情況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學生96人，則該樣本中的高三學生人數(shù)為________．【答案】78【分析】由題意求出高三學生人數(shù)，再根據(jù)高一學生的抽樣比計算高三抽樣人數(shù)即可.【詳解】設學校有高三學生x人，則高二學生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，該樣本中的高三人數(shù)為×390＝78人．【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用，意在考查學生的基本運算能力，屬于中檔題．14．在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，，．則的面積為___________．【答案】【分析】由正弦定理的邊角關系，結合兩角和正弦公式得，根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角，再由余弦定理求，利用三角形面積公式求的面積.【詳解】由正弦定理，有：，即，∵，，∴，即，又，，即，∴，解得，，故.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：由已知三角恒等關系，應用正余弦定理解三角形，由三角形的面積公式求面積即可.15．已知函數(shù)，則不等式的解集為____________.【答案】【分析】推導出函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，且有，進而可將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為偶函數(shù)，由于函數(shù)在時單調(diào)遞增，而在時單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在時單調(diào)遞增，又函數(shù)在時單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，由得，即，所以，得，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解函數(shù)不等式，推導出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是解答的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16．設?是雙曲線的左?右焦點，為坐標原點，若上存在點，使得，且，則此雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖示，在中根據(jù)余弦定理以及根據(jù)求解出的長度，由此可求解出的關系，從而離心率可求.【詳解】如下圖所示：不妨設為第一象限內(nèi)的點，因為在中，由余弦定理可知，又因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，故答案為：.【點睛】方法點睛：求解雙曲線離心率的值或范圍的常用方法：（1）根據(jù)雙曲線的方程直接求解出的值，從而求解出離心率；（2）構造關于的齊次方程，求解出的值，從而離心率可知；（3）根據(jù)離心率的定義以及雙曲線的定義求解離心率；（4）利用雙曲線及圖形的幾何性質(zhì)構建關于的不等式，從而的范圍可求.三、解答題17．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由可求出；（2）利用裂項相消法求解即可.【詳解】解：（1）當時，，當時，，則，當時也滿足，數(shù)列的通項公式為：；（2）由（1）可知.數(shù)列的前項和.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.18．為進一步提倡餐飲節(jié)約、制止餐飲浪費行為，商務部支持行業(yè)協(xié)會發(fā)揮自律作用，推動建立制止餐飲浪費的長效機制，厲行勤儉節(jié)約、反對鋪張浪費、倡導光盤行動．某酒店推出半份菜、“”點菜法、光盤就贈禮、免費打包等措施，大大減少了餐飲浪費，該酒店記錄了采取措施前天的日浪費食品量和采取措施后天的日浪費食品量的頻數(shù)分布表，如下表所示：采取措施前40天的日浪費食品量的頻數(shù)分布表日浪費食品量（單位：）天數(shù)采取措施后40天的日浪費食品量的頻數(shù)分布表日浪費食品量（單位：）天數(shù)（1）將下面的列聯(lián)表補充完整，浪費小于的天數(shù)浪費不小于的天數(shù)總計采取措施前40天采取措施后40天總計并回答：在犯錯誤的概率不超過的前提下，能否判斷食品浪費情況與是否采取措施有關？（2）估計該酒店倡導節(jié)約、采取措施后，日浪費食品量小于的概率；（3）估計該酒店倡導節(jié)約、采取措施后，一年能節(jié)省多少食品？（一年按天計算，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．【答案】（1）填表見解析；在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷食品浪費情況與是否采取措施有關；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，并計算出的值，結合臨界值表可得出結論；（2）利用頻率估計概率即可；（3）計算采取措施前40天和后40天的日浪費食品量的平均數(shù)的差，再乘以365即可.【詳解】解：（1）補充完整的列聯(lián)表如下：浪費小于的天數(shù)浪費不小于的天數(shù)總計采取措施前40天采取措施后40天總計因為的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷食品浪費情況與是否采取措施有關．（2）由題可知，采取措施后40天的日浪費食品量小于的頻率為，所以估計該酒店倡導節(jié)約、采取措施后，日浪費食品量小于的概率為．（3）該酒店采取措施前40天的日浪費食品量的平均數(shù)為，該酒店采取措施后40天的日浪費食品量的平均數(shù)為，因為，所以估計該酒店倡導節(jié)約、采取措施后，一年能節(jié)省食品．【點睛】方法點睛：獨立性檢驗的一般步驟為：（1）列出列聯(lián)表；（2）利用獨立性檢驗的公式求出；（3）查表下結論.19．如圖，已知四棱錐中，分別是的中點，底面，且（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）中位線性質(zhì)、線面平行的判定有平面，由平行四邊形的判定及性質(zhì)有，結合線面平行的判定有平面，根據(jù)面面平行的判定和性質(zhì)可證平面.（2）由幾何體的組合關系有，結合三棱錐體積的求法求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：在四棱錐中，是中點，是的中點，∴是△的中位線，即，又平面，平面，∴平面，∵且，∴四邊形是平行四邊形，有，∵平面，平面，∴平面，而，∴平面平面，又平面，∴平面.（2）連結，由，∴△的面積，又，∴三棱錐的體積為故三棱錐的體積為：.【點睛】關鍵點點睛：（1）應用線面平行、平行四邊形的判定及性質(zhì)證線面平行，再由面面平行的判定和性質(zhì)證線面平行；（2）將三棱錐分割為兩個棱錐，再由棱錐的組合關系結合棱錐的體積公式求體積.20．已知拋物線，焦點為.（1）若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點坐標；（2）若過點的直線與拋物線相交于、兩點，若，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得出結果；（2）設、，設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，代入韋達定理可求出的值，即可得出直線的斜率.【詳解】（1）拋物線的準線方程為，焦點為，由拋物線的定義可知所有的圓都經(jīng)過的定點為焦點，坐標為；（2）設、.由，可得，，若直線與軸重合，此時直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，則，可得，，可得，解得，因此，直線的斜率為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．已知函數(shù).（1）若在上有極值，求的取值范圍；（2）求證：當時，過點只有一條直線與的圖象相切.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由可求得兩根，由在上有極值可構造不等式求得結果；（2）設切點為，由切線斜率和兩點連線斜率公式可化簡得到，將問題轉化為有且僅有一個實根；令，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性和極值，結合零點存在定理可確定在上有唯一的實數(shù)根，由此證得結論.【詳解】（1）由題意得：，由得：，，在上有極值，，解得：，的取值范圍為.（2）設過點的直線與的圖象切于點，則切線斜率，整理可得：，若過點只有一條直線與的圖象相切，則關于的方程有且僅有個實根，設，則，由得：，，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，，即，當時，，，又在上單調(diào)遞增，在上有唯一的實數(shù)根，即當時，過點只有一條直線與的圖象相切.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，本題證明切線有且僅有一條的關鍵是能夠將問題轉化為方程根的個數(shù)的問題，即函數(shù)零點個數(shù)的問題，進而利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，結合零點存在定理確定零點個數(shù).22．以坐