水箱的水流量估計摘要本文主要討論了水箱在任意時刻流量隨時間的變化問題。對于問題一，應用EXCEL公式將所給的原始數(shù)據(jù)化為標準形式得到時間中點與平均流量值，用matlab軟件的三次樣條插值函數(shù)計算出水泵工作時空缺的流量值，做出時間一流量散點圖，觀察點的分布特征，考慮其最佳的擬合函數(shù)形式，最后通過matlab曲線擬合得到在一天內(nèi)時間與流量的函數(shù)關系式：/(%)=97566-16.8x3+0.013x5一83143cos(O.lx)-27478sin(O.lx)在該模型中應用曲線插值和曲線擬合得到時間與流量的關系式，最后利用水泵泵水速度為常數(shù)這一原理來檢驗模型的擬合程度，操作簡單結(jié)果真實。關鍵字：時間中點平均流量曲線插值多項式擬合一、問題盧述準確地對短時段水塔水流量的預測在良好的用水管理機構(gòu)中越來越成為至關緊要的一個步驟，對各個城鎮(zhèn)的發(fā)展也具有重要的意義。許多供水單位由于沒有測量流入或流出水箱流量的設備，只能測量水箱中的水位，試通過測得的某時刻水箱中的水位的數(shù)據(jù)，估計在任意時刻t流出水箱的流量f(t)。二、模型假設1、 忽略水位高度對流量的影響(根據(jù)托里拆利定律v=2、 影響水箱水流量的唯一因素是該區(qū)公眾對水的普通需求；3、 水泵泵水速度為常數(shù)；4、 從水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；5、 流量與水泵是否工作無關。三、符號說明t:時間V:水箱的水量Vt：t時刻水箱的水量/?("任意t時刻流出水箱的流量P:水泵的泵水速度四、模型建立與求解4.1模型分析問題要求是分析水箱流量與時間的關系，因此我們需要得到具體時間點所對應的流量數(shù)據(jù)，由于原始數(shù)據(jù)中只有一個時間段所對應的水量變化值，于是我們用一個時間段的平均流量作為該時間段時間中點所對應的流量值，然后再通過曲線插值擬合得出時間和流量的函數(shù)關系式。

4.2數(shù)據(jù)處理首先我們要將表中數(shù)據(jù)換算為標準單位制，其中：時間用小時（h）、水箱水量用加侖（G）換算公式有：IE=0.3024m,lm3=1000U1L=7.481G用EXCEL公式進行換算，結(jié)果如表一：表一：時間與水量表時間（h）水量(103G)時間（h）水量(103G)0606.112.95639.510.92593.6913.88622.321.8458314.98604.572.95571.5515.9589.33.87562.5716.83574.984.98552.0717.93558.765.9544.0619.04542.537.01533.5619.96528.217.93525.3520.84514.858.97514.8522.02泵水9.98泵水22.96泵水10.93泵水23.88663.3710.95677.6824.99648.4812.03657.6425.91637.6平均流量▽=（區(qū)間左端水量-區(qū)間右端水量）-時間間隔用EXCEL公式進行計算，計算結(jié)果為表二：表二：時間中點與平均流量表時間中點（h）平均流量（103G）0.4613.491.3811.622.410.323.419.764.439.465.448.716.469.467.478.928.4510.19.48LVALUE!10.46LVALUE!10.94LVALUE!

11.4918.5612.4919.7113.4218.4814.4316.1415.4416.616.3715.417.3814.7518.4914.6219.515.5720.415.1821.43tiVALUE!22.49tiVALUE!23.42tiVALUE!24.4413.4125.4511.834.3數(shù)據(jù)插值在數(shù)據(jù)中水泵工作時的流量數(shù)據(jù)并沒有給出，為了模型擬合的準確性，我們采用三次樣條插值作出水泵泵水時水從水箱流出的流量值（即時間點9.48h、10.46h、10.94h、22.43h、22.49h、23?42h對應的流量值），并作出時間一流量的散點圖（程序見附錄一），散點如圖一；表三：插值所得空缺的流量值時間（h）9.4810.4610.9421.4322.4923.42流量（G）127511571117117147141449014190畫無農(nóng)*+++畫無農(nóng)*++++++++++++300.81 1 1 1 1 L300 5 10 15 20 25時間中點圖一：時間中點一平均流量散點圖4.4曲線擬合從圖一中可以看出數(shù)據(jù)分布不均勻，局部緊密，因此不能采用插值多項式進行擬合，而應用曲線擬合的最小二乘法。我們選擇｛1,迅護曲］(0.1刃,8$(0.“)｝作為基函數(shù)擬合得到時間流量的函數(shù)關系式(程序見附錄二)，擬合圖像如圖二：4x102| 1.81.6■+1.4■+1.24-■+4-°-8o4x102| 1.81.6■+1.4■+1.24-■+4-°-8o1015202530圖二：函數(shù)擬合圖像得到的時河流屋函數(shù)式為：/(%)=97566-16.8%3+O.O13%5-83143cos(O.lx)-27478sin(O.lx)其中0?x?24(h)。該模型擬合得到的是一天內(nèi)流量隨時間的函數(shù)式，根據(jù)經(jīng)驗如果該天沒發(fā)生特殊原因每天的用水量和用水時段應該人致一樣，因此我們可以將此模型推廣到任意一天的用水量隨時間的變化關系：若t?24,則x=tf(t)=97566-16.8%3+0.013%5一83143cos(O.lx)-27478sin(O.lx)若t?24,則x=t-24kk=1,2,3…f(t)=97566-16.8加+0.013%5一83143cos(O.lx)-27478sin(O.lx)其中0?x?24o4.5誤差估計用MATLAB軟件做出擬合結(jié)果的殘差圖(圖三)：

x10ResidualCaseOrderPlot-1.5510 15 20CaseNumber25x10ResidualCaseOrderPlot-1.5510 15 20CaseNumber25515051.00s-enp-sa8從殘差圖可以看出，所有數(shù)據(jù)的殘差離零點均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明回歸模型/'(%)=97566-16.8x3+0.013x5一83143cos(O.lx)-27478sin(O.lx)能較好的符合原始數(shù)據(jù)。4.6驗證泵水速度為常數(shù)如果該模型確實準確地模擬了這些數(shù)據(jù)，那么在不同的泵水周期中，按此模型計算出的水泵泵水速度應近似為常數(shù)；而在水泵工作時水的體積平均變化速度訃應近似等于水泵我泵水速度P減去此段時間水從水箱流出的平均速度。即:AVff(t)dt_ATAT此處Jf(t)dt為f(t)在泵水區(qū)間AT兩端的定積分。于是通過檢驗兩個泵水期間的泵水速度是否為同一常數(shù)來檢驗該模型的誤差(定積分求解過程見附錄三)。第一段泵水的始停時間及水量：T始=8.97(h),V始=514850(G)T末=10.93(h),V末=677100(G)A"_V末-A"_V末-V始=82865(G/h)1r10.93Pi=82865+If(t)dt=82865+13955=96820(G/h)1■丿8?97第二段泵水的始停時間及水量：T始=20.84(h),V始=514850(G)T4-=22.96(h),V4-=677100(G)AV2兀=AV2兀==76569(G/h)r22.96P2=76569+亠f(t)dt=76569+12525=89094(G/h)AT2丿20.84相對誤差:Pl—P2~~PT~96820Pl—P2~~PT~96820-8908496820 =7.9%所以P2、Pi相差僅為7.9%,此結(jié)果足以支持該模型。六、模型評價與推廣6.1模型的優(yōu)點1、 該模型驗證了泵水速度為常數(shù)的這一假設。2、 如果所給數(shù)據(jù)準確無誤，那么該模型可以計算任何一天任何時刻的用水量。3、 該模型應用的數(shù)學知識簡單易懂，操作方便。4、 該模型具有很好的通用性。6.2模型的缺點1、 該模型提供的數(shù)據(jù)太少，只有一天的觀測數(shù)據(jù)，在實際建模中最好應有不同條件下很多天所釆集得數(shù)據(jù)。2、 由于水泵工作時間不確定導致模型有一定的誤差，如果能知道水泵的具體工作時間將會很多地提高模型的精確度。6.3模型的推廣此模型根據(jù)一些水量和時間的數(shù)據(jù)得到流量隨時間的變化關系，可以預測一天中任意時刻的用水量，這對居民避免用水高峰、供水公司合理分配供水量有很大的幫助，同時該模型還可以推廣到用電供給和天然氣供給等領域。七、參考文獻[11張磊，畢靖，郭蓮英，MATLAB實用教程，北京，人民郵電出版社，2008年[2]亨塞爾曼.美，精通MATLAB,北京，清華大學出版社，2006年八、附錄附錄一插值clearx二[0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,24.44,25.45];%時間中點y二[13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,15570,15180,13410,11830];%流量yO=interpl(x,y,[9.48,10.46,10.94,21.43,22.49,23.42],'spline')%三次樣條插值散點圖xl=[0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,9.48,10.46,10.94,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,21.43,22.49,23.42,24.44,25.45]; %插值過后時間yl=[13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,12751,15712,17117,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,14729,14264,14714,14490,14190,13410,11830];%插值過后流量plot(xl,yl,'*')xlabelC時間中點')ylabelC平均流量')附錄二非線性擬合建立m-文件volum.m女口下functionyhat=volum(beta,xl)yhat二beta⑴-beta(2)*xl."3+beta(3)*xl."5-beta(4)*cos(0.l*xl)+beta(5)*sin(0.l*xl)輸入程序：clcclearxl=[0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,9.48,10.46,10.94,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,21.43,22.49,23.42,24.44,25.45];yl=[13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,12751,15712,17117,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,14729,14264,14714,14490,14190,13410,11830];beta0=[112000,200,1,10000,30000]';[beta,r,J]二nlinfit(xl‘，yl','volum",betaO)[YY,delta]=nlp