/17/17/2022屆貴州省普通高等學(xué)校招生高三全國統(tǒng)一模擬測試數(shù)學(xué)（理）試題（四）一、單選題1．已知集合，，則（???????）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求出集合A，再根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所?故選：D.2．若，則（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：B.3．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則的公差為（???????）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列出方程組，解之即可.【詳解】解：設(shè)公差為d，由題意知，解得.故選：A.4．在中，，且，則（???????）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，即得.【詳解】∵，∴，∴.故選：B.5．在正三棱柱中，，，分別在上，且，則過三點(diǎn)的平面截此棱柱所得截面的面積為（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，則過三點(diǎn)的截面的面積即等腰梯形的面積，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】解：連接，易知，過三點(diǎn)的截面的面積即等腰梯形的面積.因?yàn)檎庵校?，所以，，所以，等腰梯形的面積為.故選：C6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可以是（???????）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，定義域，特殊值排除即可得答案.【詳解】解：由函數(shù)的定義域，由于選項(xiàng)C的定義域?yàn)?，故排除；?duì)于A選項(xiàng)，，即函數(shù)，不符合函數(shù)圖像特點(diǎn)，排除；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又，不符合給出的函數(shù)圖象的特點(diǎn)排除；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，且，圖像特征滿足；故選：D7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且，，則橢圓C的離心率為（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，然后根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的定義，余弦定理可求出，，從而可求出離心率【詳解】設(shè)，，，，則，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以解得，所以所?故選：B8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，直到結(jié)束循環(huán)即可得答案．【詳解】解：由程序框圖可知，循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：，，；，，；，，；，，；，，，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選：C.9．在數(shù)列中，，，若，則（???????）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，前n項(xiàng)和為滿足，，進(jìn)而分為奇數(shù)和為偶數(shù)討論求解即可.【詳解】解：由題意得，，，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，.若為奇數(shù)，則為3的倍數(shù)，不是的倍數(shù)，不合題意；當(dāng)為偶數(shù)，則，即，所以.故選：B10．中國文字博物館薈萃歷代中國文字樣本精華，用詳盡的資料向世界展示了中華民族一脈相承的文字和輝煌燦爛的文明.該博物館館藏的重要藏品主要分為銅器?碑碣?錢幣?陶器?玉石器?甲骨?竹木?紙質(zhì)?瓷器共九類.小明去中國文字博物館參觀，并任意選取了三類重要藏品重點(diǎn)參觀，則小明在碑碣?甲骨?瓷器三類中至少參觀了一類的概率為（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】9類藏品中選取3類藏品共有種不同情況，利用間接法可得在碑碣?甲骨?瓷器三類中至少參觀了一類有種不同情況，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：9類藏品中選取3類藏品共有種不同情況，碑碣?甲骨?瓷器三類都不選有種不同情況，則所求概率為.故選：B.11．若存在兩條過點(diǎn)的直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（???????）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡得，則由可求出答案【詳解】，設(shè)切點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，切線過點(diǎn)，即，化簡得，由題意可得方程有兩個(gè)不同的根，所以，或.故選：C12．如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長方體中，根據(jù)已知條件建立關(guān)于長方體的長?寬?高的邊長a，b，c的方程組，求解得，進(jìn)而可得外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線長，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，，則平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長方體中，如圖：易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設(shè)長方體的長?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：C.二、填空題13．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，則___________.【答案】1【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，所以，即.故答案為：114．一組樣本數(shù)據(jù)x，2，3，6的中位數(shù)為4，則該組數(shù)據(jù)的方差為___________.【答案】2.5【分析】先求出x，再套公式求出方差.【詳解】由中位數(shù)的定義，樣本數(shù)據(jù)x，2，3，6的中位數(shù)為4，則所以，解得.所以平均數(shù)為，方差為.故答案為：15．已知函數(shù)，，且，寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)的解析式：___________.【答案】（答案不唯一）【分析】由題可得，進(jìn)而可得，取，即得.【詳解】∵，，且，∴，，∴，，令，，，，，令，，.故答案為：（答案不唯一）.16．已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)雙曲線C的漸近線上一點(diǎn)，設(shè)，若λ的最大值為，則雙曲線C的漸近線方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合題意，根據(jù)基本不等式得，此時(shí)根據(jù)等號(hào)成立的條件求解得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線中經(jīng)過第一象限的漸近線方程為，故設(shè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”，此時(shí)，離心率，，，曲線C的漸近線方程為.故答案為：三、解答題17．在銳角中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求A；(2)若，求c的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求出，即可求出；（2）由余弦定理得.分別由C為銳角和B為銳角，列不等式，求出c的范圍.【詳解】(1)由題意，.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?所以，則.(2)由余弦定理得.是銳角三角形，若C為銳角，則，把代入得，，若B為銳角，則，把代入得，，故.18．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，，平面平面ABCD，，平面ABCD.(1)證明：.(2)若，求直線EF與平面AEB所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取BC的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，則，由于四邊形ABCD是菱形，，所以可得，再利用線面垂直的判定可得平面DFG，從而可得，（2）設(shè)，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，以過平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，利用空間向量求解【詳解】(1)如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，，，，，且，∵四邊形ABCD是菱形，，∴為等邊三角形，∵，∴，且，又，平面DFG.平面DFG，.(2)設(shè)，∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵平面ABCD，平面，∴，∵平面平面ABCD，，平面平面，∴平面，∴以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，以過平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，易知，，，.設(shè)平面EAB的法向量為，，，，則，令，則，，故直線EF與平面AEB所成角的正弦值為.19．某企業(yè)為加強(qiáng)科研創(chuàng)新，加大研發(fā)資金的投入，新研發(fā)了一種產(chǎn)品.該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本由直接生產(chǎn)成本（如原料?工人工資?機(jī)器設(shè)備折舊等）和間接生產(chǎn)成本（如物料消耗?管理人員工資?車間房屋折舊等）組成.該產(chǎn)品的間接生產(chǎn)成本y（萬元）與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)并對(duì)數(shù)據(jù)作初步處理，得到散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.3.513.241.8117.51.4619.95.84表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為間接生產(chǎn)成本y與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測生產(chǎn)9千件產(chǎn)品時(shí)，間接生產(chǎn)成本是多少萬元；(3)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，該企業(yè)在生產(chǎn)過程中對(duì)生產(chǎn)的每件產(chǎn)品均進(jìn)行五個(gè)環(huán)節(jié)的質(zhì)量檢測，若檢測出不合格產(chǎn)品，則需在未進(jìn)入下一環(huán)節(jié)前立即修復(fù)（修復(fù)后再進(jìn)入下一環(huán)節(jié)），已知每個(gè)環(huán)節(jié)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)品檢測的合格率均為98%，各環(huán)節(jié)中不合格的一件產(chǎn)品所需的修復(fù)費(fèi)用均為100元，求一件產(chǎn)品需修復(fù)的平均費(fèi)用.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】(1)更適合(2)，18萬元(3)（元）【分析】（1）由散點(diǎn)圖和一次函數(shù)及冪函數(shù)圖象的特征即可判斷；（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)及參考公式即可求解y關(guān)于x的回歸方程，從而即可求出預(yù)測值；（3）由題意，服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1)解：由散點(diǎn)圖判斷更適合作為間接生產(chǎn)成本y與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程類型；(2)解：令，先建立y關(guān)于的線性回歸方程，，，∴y關(guān)于的線性回歸方程為，∴y關(guān)于x的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即生產(chǎn)9千件產(chǎn)品時(shí)，間接生產(chǎn)成本是18萬元；(3)解：設(shè)每件產(chǎn)品需修復(fù)的環(huán)節(jié)為個(gè)，則，，設(shè)一件產(chǎn)品需修復(fù)的費(fèi)用為元，則，（元）.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)直線AB與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，即，又，解方程組即可得答案；（2）由題意，直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)且不為0，設(shè)直線，與C的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，同理可得，進(jìn)而可得，設(shè)直線，與C的方程聯(lián)立，由弦長，根據(jù)弦長公式可得的值.【詳解】(1)解：由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線方程為，由，即，又，解得或（舍去），所以拋物線C的方程為；(2)解：因?yàn)橹本€PA，PB關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)且不為0，設(shè)直線，與C的方程聯(lián)立，消去y得，由韋達(dá)定理得，則，設(shè)直線，同理可得，則直線AB的斜率，設(shè)直線，與C的方程聯(lián)立消去y得，，，設(shè)，，，，，，，∴直線AB的方程為.21．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍.(2)記兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，可得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即得；（2）設(shè)，，由題可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得，即證.【詳解】(1)∵∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，不合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得.所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，.令，即，得，因?yàn)?，所以函?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，，易知函數(shù)在上遞減，，即，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.(2)由（1）知，設(shè)，，由，得，，，.設(shè)，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，則，，即，∴所以，∴.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與C2的公共點(diǎn)分別為A，B，，求a的值.【答案】(1)（），；(2)或.【分析】（1）利用消參法可得圓的普通方程，利用公式法可得圓的直角坐標(biāo)方程；（2）利用弦長公式可得直線AB的方程為或，再利用兩圓方程可得公共弦方程，即得.【詳解】(1)∵曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），∴圓的普通方程為，，∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為又，∴圓的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題可得，，直線的斜率，又，則直線AB的斜