第5章大數(shù)定律和中心極限定理5.1

大數(shù)定律5.2

中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是探討隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái).也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必定的法則，應(yīng)當(dāng)探討大量隨機(jī)現(xiàn)象.

探討大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常接受極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行探討.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理5.1大數(shù)定律一、依概率收斂的概念二、切比雪夫不等式三、切比雪夫大數(shù)定律四、伯努利大數(shù)定律五、辛欽大數(shù)定律定義一、依概率收斂的概念依概率收斂不是通常微積分中的收斂因此設(shè)隨機(jī)變量的期望值方差則對(duì)于任意給定的正數(shù)有二、切比雪夫不等式注:(1)切比雪夫不等式也可以寫(xiě)成(2)切比雪夫不等式表明：則事務(wù)發(fā)生的概率越大，即，隨機(jī)變量集中在期望附近的可能性越大.隨機(jī)變量的方差越小，(3)在方差已知的狀況下，它的期望的偏差不小于的概率的估計(jì)式.如取則有切比雪夫不等式給出了與故對(duì)任給的分布，只要期望和方差存在，則隨機(jī)變量取值偏離超過(guò)3倍均方差的概率小于例1已知正常男性成人血液中,每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為依題意,所求概率為由切比雪夫不等式即每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400

之間的概率不小于8/9.例2在每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求:獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)最小取何值時(shí),事件出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76

之間的概率至少為0.90?解設(shè)為次試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的次數(shù),則在切比雪夫不等式中取則依題意,取使解得即取18750時(shí),可以使得在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的頻率在之間的概率至少為0.90.三、切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫切比雪夫大數(shù)定律說(shuō)明：在定理的條件下，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量的離散程度是很小的.這意味著只要n充分大，盡管n個(gè)隨機(jī)變量可以各有其分布，但其算術(shù)平均以后得到的隨機(jī)變量將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近，不再為個(gè)別隨機(jī)變量所左右.作為切比雪夫大數(shù)定律的特例，我們有下面的推論.推論這一推論使算術(shù)平均值的法則有了理論依據(jù)四、伯努利大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律的另一個(gè)推論通常稱(chēng)為伯努利大數(shù)定律n重伯努利試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生n次,每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率為p，則對(duì)隨意＞0,有伯努利大數(shù)定律表明事務(wù)發(fā)生的頻率依概率收斂于事務(wù)的概率。由實(shí)際推斷原理,在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),可以用事務(wù)發(fā)生的頻率來(lái)代替事務(wù)的概率。進(jìn)一步探討表明，切比雪夫大數(shù)定律推論中的方差存在這個(gè)條件并不是必要的，下面給出一個(gè)獨(dú)立同分布場(chǎng)合下的辛欽大數(shù)定律。作業(yè)P139練習(xí)5.11.2.5.2

中心極限定理一、萊維中心極限定理二、棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理

在實(shí)際問(wèn)題中，常常須要考慮很多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著很多隨機(jī)因素的影響.重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.探討?yīng)毩㈦S機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的分布是什么？本節(jié)內(nèi)容視察表明，假如一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都聽(tīng)從或近似聽(tīng)從正態(tài)分布.自從高斯指出測(cè)量誤差聽(tīng)從正態(tài)分布之后，人們發(fā)覺(jué)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).一、萊維中心極限定理一、萊維中心極限定理例1設(shè)有30個(gè)電子元件,它們的壽命均聽(tīng)從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布(單位:小時(shí)),每個(gè)元件工作相互獨(dú)立,求他們的壽命之和超過(guò)350小時(shí)的概率.解由萊維中心極限定理即他們的壽命之和超過(guò)350小時(shí)的概率為0.1814標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表他們的壽命之和超過(guò)350小時(shí)例2一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電器Vk(k=1,2,…,20),設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上聽(tīng)從勻整分布。記求P{V>105}的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,…,20).近似聽(tīng)從正態(tài)分布N(0,1),由萊維中心極限定理例3對(duì)敵人的防衛(wèi)地段進(jìn)行100次炮擊,在每次炮擊中,炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2,均方差為1.5,求在100次炮擊中,有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率.解設(shè)Xk為第k次炮擊炮彈命中的顆數(shù)(k=1,2,…,100),在100次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)Xk相互獨(dú)立，且E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,…,100)由萊維中心極限定理有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率二、棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理證明由于依據(jù)萊維中心極限定理得依據(jù)萊維中心極限定理得棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理表明:當(dāng)n充分大時(shí),

正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布,當(dāng)n充分大時(shí),可以利用下面公式計(jì)算二項(xiàng)分布的概率．例4某工廠有200臺(tái)同類(lèi)型的機(jī)器,每臺(tái)機(jī)器工作時(shí)需要的電功率為Q千瓦,由于工藝等緣由,每臺(tái)機(jī)器的實(shí)際工作時(shí)間只占全部工作的75%,各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的,求:(1)任一時(shí)刻有144至160臺(tái)機(jī)器正在工作的概率.(2)須要供應(yīng)多少電功率可以保證全部機(jī)器正常工作的概率不少于0.99.解

(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示200臺(tái)任一時(shí)刻正在工作的機(jī)器的臺(tái)數(shù)，則X

~

B(200,0.75)

.由棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理,有n=200,p=0.75,q=0.25,np=150,npq=37.5(1)任一時(shí)刻有144至160臺(tái)機(jī)器正在工作的概率.(2)設(shè)任一時(shí)刻正在工作的機(jī)器的臺(tái)數(shù)不超過(guò)m,則由3原則知，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得例4某工廠有200臺(tái)同類(lèi)型的機(jī)器,每臺(tái)機(jī)器工作時(shí)需要的電功率為Q千瓦,由于工藝等緣由,每臺(tái)機(jī)器的實(shí)際工作時(shí)間只占全部工作的75%,各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的,求:(1)任一時(shí)刻有144至160臺(tái)機(jī)器正在工作的概率.(2)須要供應(yīng)多少電功率可以保證全部機(jī)器正常工作的概率不少于0.99.解

(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示200臺(tái)任一時(shí)刻正在工作的機(jī)器的臺(tái)數(shù)，則X

~

B(200,0.75)

.由棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理,有(1)任一時(shí)刻有144至160臺(tái)機(jī)器正在工作的概率.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得(2)設(shè)任一時(shí)刻正在工作的機(jī)器的臺(tái)數(shù)不超過(guò)m,則思索題對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參與家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來(lái)參與會(huì)議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參與會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立,且聽(tīng)從同一分布.求參與會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過(guò)450的概率.(2)求有1名家長(zhǎng)來(lái)參與會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.解(1)以Xk(k=1,2,…,400)記第k個(gè)學(xué)生來(lái)參與會(huì)議的