2023屆廣東省深圳市南山區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合中元素范圍，再根據(jù)交集的概念可得答案.【詳解】，故選：C.2．命題“存在無(wú)理數(shù)，使得是有理數(shù)”的否定為（????）A．任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，都不是有理數(shù) B．存在無(wú)理數(shù)，使得不是有理數(shù)C．任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，都是有理數(shù) D．不存在無(wú)理數(shù)，使得是有理數(shù)【答案】A【分析】利用特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題來(lái)得答案.【詳解】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題得命題“存在無(wú)理數(shù)，使得是有理數(shù)”的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，都不是有理數(shù)”故選：A.3．若的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為8，則（????）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】直接令計(jì)算可得答案.【詳解】令得，解得故選：C.4．已知隨機(jī)變量的分布列如下：12若，則（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.【詳解】由已知得解得故選：B.5．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，利用其單調(diào)性來(lái)比較大小.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選：D.6．在三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感，假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比為，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則此人是流感患者的概率為（????）A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15【答案】B【分析】由題意可知，分別求出此人來(lái)自三個(gè)地區(qū)的概率，再利用條件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.【詳解】設(shè)事件為“此人是流感患者”，事件分別表示此人來(lái)自三個(gè)地區(qū)，由已知可得，，由全概率公式得故選：B7．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則下列結(jié)論正確的為（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)在上為奇函數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到最小值與最大值的和為0，推導(dǎo)出.【詳解】，由題意得：，故，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，故為奇函數(shù)，則，A正確，D錯(cuò)誤；故一定異號(hào)，所以，BC錯(cuò)誤.故選：A8．已知交于點(diǎn)的直線(xiàn)，相互垂直，且均與橢圓相切，若為的上頂點(diǎn)，則的取值范圍為（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由條件聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，得到點(diǎn)的軌跡是圓，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)橢圓的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)，且過(guò)與橢圓相切的直線(xiàn)方程為：，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消去可得，所以，即，設(shè)為方程的兩個(gè)根，由兩切線(xiàn)相互垂直，所以，所以，即，所以，當(dāng)橢圓的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，也滿(mǎn)足上式，所以，其軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又因?yàn)锳為橢圓上頂點(diǎn)，所以，當(dāng)點(diǎn)位于圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)位于圓的下頂點(diǎn)時(shí)，，所以，故選:D二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（????）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對(duì)于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對(duì)于B：，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，D正確.故選：AD.10．下列等式能夠成立的為（????）A．B．C．D．【答案】BC【分析】利用兩角和與差的正弦余弦公式及倍角公式逐一計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，B正確；對(duì)于C：，C正確；對(duì)于D：，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上運(yùn)動(dòng)，平行四邊形的頂點(diǎn)，分別在的兩條漸近線(xiàn)上，則下列結(jié)論正確的為（????）A．直線(xiàn)，的斜率之積為 B．的離心率為2C．的最小值為 D．四邊形的面積可能為【答案】AC【分析】根據(jù)題意可得：雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，即可得到離心率為，漸近線(xiàn)方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)漸近線(xiàn)互相垂直可得：平行四邊形為矩形，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和基本不等式進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知：雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，則離心率為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由方程可知：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，點(diǎn)在漸近線(xiàn)上.因?yàn)闈u近線(xiàn)互相垂直，由題意可知：平行四邊形為矩形，則，，所以直線(xiàn)，的斜率之積為，故選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)，由題意知：為矩形，則，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：，，則當(dāng)且僅當(dāng)，也即為雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)時(shí)取等，所以的最小值為，故選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)的分析可知：，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（????）A．直線(xiàn)可能與平面相交B．三棱錐與三棱錐的體積之和為定值C．當(dāng)時(shí)，與平面所成角最大D．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【分析】A.利用面面平行的性質(zhì)定理，判斷A；B.利用等體積轉(zhuǎn)化，可判斷B；C.利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線(xiàn)面角的定義，即可判斷C；D.首先確定點(diǎn)的位置，再利用球的性質(zhì)，以及空間向量的距離公式，確定球心坐標(biāo)，即可確定外接球的半徑，即可判斷D.【詳解】A.如圖，，且平面，平面，所以平面，同理平面，且平面，平面，且，所以平面平面，且平面，所以平面，故A錯(cuò)誤；B.如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面，平面，，.故B正確；C.因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，且，平面，平面，所以平面，且平面，所以，即，點(diǎn)是的中點(diǎn)，此時(shí)線(xiàn)段最短，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，即上任何一個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)為，設(shè)與平面所成角為，，,當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段最短，所以此時(shí)最大，所以最大，故C正確；D.的周長(zhǎng)為，為定值，即最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，如圖，將平面展成與平面同一平面，當(dāng)點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，此時(shí)最小，作，垂足為，，解得：，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，,，連結(jié)，平面，且經(jīng)過(guò)的中心，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，則,即，解得：，，所以外接球的表面積，故D正確.附：證明平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且，平面，平面，所以平?平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱錐是正三棱錐，所以經(jīng)過(guò)的中心.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間幾何的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是第四個(gè)選項(xiàng)的判斷，充分利用數(shù)形結(jié)合和空間向量的綜合應(yīng)用，解決三棱錐外接球的球心問(wèn)題.三、填空題13．已知，，若，則______.【答案】【分析】先利用求出，再利用模的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】，解得，，故答案為：.14．已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】12##0.5【分析】根據(jù)基本不等式可得，再計(jì)算的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的最小值為，故答案為：.15．如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法為：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線(xiàn).設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為1，將圖①，圖②，圖③，圖④中的圖形周長(zhǎng)依次記為，，，，則______.【答案】##【分析】觀察圖形可知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【詳解】通過(guò)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)圖形開(kāi)始，每一個(gè)圖形的周長(zhǎng)都在前一個(gè)圖形周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上增加了其周長(zhǎng)的，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即因此.故答案為：16．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】設(shè)，，將方程的根轉(zhuǎn)換為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，討論函數(shù)單調(diào)性從而確定函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，，則，令得，所以，令，，所以在單調(diào)遞增，則，于是可得，當(dāng)時(shí)，方程在無(wú)解，即恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，所以此時(shí)方程在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程在的根為或（舍），當(dāng)，當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以，又，，設(shè)，，所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，故，則，且當(dāng)時(shí)，，即，故，使得，即方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，屬于中等題.解決本題的關(guān)鍵是，如果方程在某區(qū)間上有且只有一個(gè)根，可根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理進(jìn)行解答，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性時(shí)要分類(lèi)討論.當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞增，結(jié)合特殊值，得不符合題意，當(dāng)時(shí)，得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，判斷，，的符號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得的范圍.四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用計(jì)算整理得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）將變形為，利用裂項(xiàng)相消法求，進(jìn)一步觀察證明不等式.【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，即，又當(dāng)時(shí)，，解得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）得，，因?yàn)椋?8．某學(xué)校有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人.為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，按照性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試.其中男生有50人測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)良，其余非優(yōu)良；女生有10人測(cè)試成績(jī)?yōu)榉莾?yōu)良，其余優(yōu)良.(1)請(qǐng)完成下表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷全校學(xué)生體質(zhì)測(cè)試的優(yōu)良率與性別有關(guān).性別體質(zhì)測(cè)試合計(jì)優(yōu)良非優(yōu)良男生女生合計(jì)(2)100米短跑為體質(zhì)測(cè)試的項(xiàng)目之一，已知男生該項(xiàng)成績(jī)（單位：秒）的均值為14，方差為1.6；女生該項(xiàng)成績(jī)的均值為16，方差為4.2，求樣本中所有學(xué)生100米短跑成績(jī)的均值和方差.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：【答案】(1)根據(jù)小概率事件的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以認(rèn)為全校學(xué)生體質(zhì)測(cè)試的優(yōu)良率與性別有關(guān).(2)均值；方差【分析】（1）根據(jù)題意，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算公式，代入計(jì)算即可判斷；（2）根據(jù)題意，可得男生，女生的人數(shù)，結(jié)合均值方差的性質(zhì)，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）性別體質(zhì)測(cè)試合計(jì)優(yōu)良非優(yōu)良男生501060女生301040合計(jì)80200100，根據(jù)小概率事件的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以推斷全校學(xué)生體質(zhì)測(cè)試的優(yōu)良率與性別有關(guān).（2）男生人數(shù)，女生人數(shù)，則設(shè)男生的成績(jī)?yōu)榕某煽?jī)?yōu)樗跃禐椋裕詷颖局兴袑W(xué)生100米短跑成績(jī)的方差為19．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面平面，，且為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，且，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）先根據(jù)已知證明，即可得到，又通過(guò)即可證明，即可證明答案；（2）設(shè)，，先通過(guò)已知與勾股定理求出，建立空間直角坐標(biāo)系，即可通過(guò)二面角的向量求法求出答案.【詳解】（1）證明：側(cè)面為矩形，，，、，且，，，，且平面平面，，，；（2）設(shè)，，由題意可得，，，為的中點(diǎn)，，，解得，即，，根據(jù)第一問(wèn)與題意可得：，，，則以C為原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，由題意可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，且由圖得為銳角，則.20．在中，，，為邊上一點(diǎn).(1)若，求的值；(2)若，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）在、中分別利用正弦定理，結(jié)合已知條件可求得的值；（2）由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得出，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得出的值，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：在中，由正弦定理可得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因此，.（2）解：因?yàn)?，則，即，，所以，，即，即，解得，，故為鈍角，所以，，故.21．已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.(1)當(dāng)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；(2)記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn),連接.利用幾何法，分別證明出,為的角平分線(xiàn)，即可證明；（2）利用“設(shè)而不求法”分別表示出，解方程求出.【詳解】（1）如圖示：當(dāng)時(shí)，恰為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).由拋物線(xiàn)的定義可得：.取的中點(diǎn),連接,則為梯形的中位線(xiàn)，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,所以.在中，由可得：.因?yàn)闉樘菪蔚闹形痪€(xiàn)，所以，所以，所以.同理可證：.在梯形中，,所以，所以，所以,即.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，可設(shè).設(shè),則，消去可得：，所以，.則.而.所以，解得：.22．已知定義在上的函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)分類(lèi)討論，答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類(lèi)討論解和作答.（2）當(dāng)時(shí)，可得為任意正數(shù)，當(dāng)時(shí)，變形給