數(shù)學命題及其教學數(shù)學命題概述數(shù)學命題學習心理分析命題教學基本要求和教法探討第1頁第1頁數(shù)學命題概述判斷意義和種類1.數(shù)學判斷對思維對象有所必定或否認思維形式叫做“判斷”。數(shù)學判斷是關(guān)于數(shù)學對象及其屬性判斷。按照思維對象量，判斷可分為：全稱判斷、特稱判斷、單稱判斷；按判斷質(zhì)來分有：必定判斷、否認判斷；按判斷關(guān)系來分有：定言判斷、選言判斷和假言判斷。第2頁第2頁2.慣用判斷形式及其之間關(guān)系

假如用S表示判斷對象，P表示性質(zhì)（1）全稱必定判斷“所有S是P”（2）全稱否認判斷“所有S都不是P”（3）特稱必定判斷“有S是P”（4）特稱否認判斷“有S不是P”S也叫做判斷“主項”，P也叫做“謂項”，“所有”或“有”表示主項數(shù)量，叫做“量詞”，在全稱判斷中量詞經(jīng)常省略不寫；“是”或“不是”稱為聯(lián)結(jié)詞，表示必定或否認。第3頁第3頁SAPSIPSOPSEP反對關(guān)系矛盾關(guān)系下反對關(guān)系差等關(guān)系差等關(guān)系系關(guān)矛盾第4頁第4頁數(shù)學命題意義在數(shù)學中，用來表示數(shù)學判斷陳說句或符號組合叫做“數(shù)學命題”。通慣用“p,q,r,s,t···”來表示，并且稱為命題變量（變項）。對于無法判斷其真假語句，稱為開（語）句。注：形式邏輯專門研究判斷形式，而無論判斷內(nèi)容，只從真值角度研究命題形式及各種命題之間關(guān)系。但在數(shù)學中，既研究命題內(nèi)容，又研究命題形式，把內(nèi)容和形式統(tǒng)一起來研究數(shù)學命題。如在形式邏輯中，命題“假如1>3,那么1+2>3+2.”√但在數(shù)學中×第5頁第5頁請大家判斷下列語句是否是數(shù)學命題：（1）數(shù)學是一門科學；（2）；（3）6<3;（4）x+5=9;（5）x>7;（6）你在干什么？（7）嚴禁吸煙?。?）2比3大嗎？（9）哎呀！那還得了！第6頁第6頁復合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞數(shù)學命題普通可分為簡樸命題和復合命題兩大類。簡樸命題就是不包括其它命題命題，又可分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種。象“一切矩形都是平行四邊形”、“自然數(shù)不是無理數(shù)”、“有些奇數(shù)是素數(shù)”等都是性質(zhì)命題；象“一切正數(shù)都不小于零”、“直線a平行于直線b”等都是關(guān)系命題。復合命題是由兩個或兩個以上簡樸命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞結(jié)合起來而構(gòu)成命題。慣用邏輯聯(lián)結(jié)詞有下列五種：否認、合取、析取、蘊涵、等價第7頁第7頁1.否認（非），其真值表下列：0110第8頁第8頁2.合取（與，且）100010101100P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形p∧q:△ABC是等腰直角三角形.p:AB∥CDq:AB=CDp∧q:ABCD∥＝第9頁第9頁3.析?。ɑ颍?11010101100p:x>2q:x=2p∨q:x≥2P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形P∨q:△ABC是等腰三角形或直角三角形.第10頁第10頁4.蘊涵（假如···，則···）110010101011P:a和b都是偶數(shù)，Q:a+b也是偶數(shù)。當前件為假時，無論后件為真還是假，都不與本來命題矛盾。第11頁第11頁5.等價（當且僅當）100110101100第12頁第12頁復合命題值求復合命題值，可先窮盡地列出p、q取值也許，然后再依據(jù)聯(lián)結(jié)詞強弱順序，逐步得出各層復合命題值，直到最后求出整個復合命題值。聯(lián)結(jié)詞強弱順序：第13頁第13頁111110000111010110101100恒真命題第14頁第14頁111100001010101011001100用真值表驗證是恒真命題1011101111110101111110011011000111111111第15頁第15頁邏輯等價假如兩個復合命題A、B真值表相同，我們就稱A、B邏輯等價。記為“”0111100001110101001110101100結(jié)果相同第16頁第16頁能夠驗證下列邏輯等價式：冪等律雙重否認律互換律結(jié)合律分派律德·摩根律余補律同一律吸取律第17頁第17頁假言命題四種形式及其之間關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題互逆互逆互否互否逆否（等價）第18頁第18頁例子：1.原命題：假如兩個三角形全等，則這兩個三角形等積。逆命題：假如兩個三角形等積，則這兩個三角形全等。否命題：假如兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等積。逆否命題：假如兩個三角形不等積，則這兩個三角形不全等。真假假真第19頁第19頁2.原命題：假如一個四邊形是平行四邊形，則它對角線互相平分。逆命題：假如一個四邊形對角線互相平分，則它是平行四邊形。否命題：假如一個四邊形不是平行四邊形，則它對角線不互相平分。逆否命題：假如一個四邊形對角線不互相平分，則它不是平行四邊形。真真真真第20頁第20頁3.原命題：假如一個四邊形是平行四邊形，則它對角線互相垂直。逆否命題：假如一個四邊形對角線不互相垂直，則它不是平行四邊形。逆命題：假如一個四邊形對角線互相垂直，則它是平行四邊形。否命題：假如一個四邊形不是平行四邊形，則它對角線不互相垂直。假假假假第21頁第21頁它們之間關(guān)系能夠用真值表來證實：10111101110110110101001110101100結(jié)果相同第22頁第22頁偏逆命題及其否命題把原命題中數(shù)目相同部分前提和結(jié)論互換后得到命題稱為原命題偏逆命題。比如原命題：假如a和b都是偶數(shù)，則a+b也是偶數(shù)。

真真(a是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a+b是偶數(shù))偏逆1：(a是偶數(shù))∧(a+b是偶數(shù))→(b是偶數(shù))偏逆2：(a+b是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a是偶數(shù))第23頁第23頁請大家作出下面這個命題偏逆命題：假如四邊形ABCD是平行四邊形，則它對邊相等。(AB∥CD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(AB=CD)→(BC∥AD)∧(BC=AD)(AB=CD)∧(BC∥AD)→(AB∥CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(BC=AD)→(AB=CD)∧(BC∥AD)(BC=AD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(AB∥CD)第24頁第24頁充足條件和必要條件假如命題“p→q”為真，那么，p就稱為使q成立充足條件，q就稱為使p成立必要條件。充足而非必要條件：p→q真但q→p假.必要而非充足條件：p→q假但q→p真.充足必要條件：p→q和q→p均真，簡稱充要條件.第25頁第25頁公理和定理公理：作為證實其它一切命題基礎(chǔ)，而不加證實就認可其真實性一組命題。公理化方法：從盡也許少原始概念和公理出發(fā)，應(yīng)用形式邏輯演繹推理，建立數(shù)學各分支理論體系一個方法。如：歐氏幾何公理體系公理選取必須滿足：相容性、獨立性、完備性第26頁第26頁定理：依據(jù)已知概念和真命題，遵循邏輯規(guī)律，利用正確邏輯辦法來證實其真實性命題。

逆定理：一個定理逆命題若為真，則稱其為該定理逆定理。

鑒定定理：用來擬定某個對象存在充足條件定理。

性質(zhì)定理：擬定某個對象存在必要條件定理。

引理：為證實一個主要定理作準備，先證實一個或幾種“小定理”。

推論（或系）：從公理或定理直接推出來定理。

證實題：在教材中通常列入例題或習題，作為推理論證練習。第27頁第27頁分斷式命題和配套定理在△ABC中，假如AB＞AC，那么∠C＞∠B；假如AB＝AC，那么∠C＝∠B；假如AB＜AC，那么∠C＜∠B.象上例，一個命題是由幾種命題總合而成，而它們條件和結(jié)論有相同特點：所含事項互不相容，又包括了一切也許情形，則把這樣命題稱為“分斷式命題”.分命題第28頁第28頁學生學習數(shù)學命題心理分析對公理、定理、公式學習很大程度上依賴于直接感知難以從條件與結(jié)論關(guān)系上