第五章頻率域方法215－3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性開環(huán)幅相特性曲線開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線2設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)一、開環(huán)幅相特性曲線G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)開環(huán)頻率特性3系統(tǒng)開環(huán)幅頻與相頻分別為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別由各個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性相加得到。41、開環(huán)幅相特性曲線的繪制開環(huán)幅相曲線可以通過取點、計算和作圖繪制。這里著重介紹工程中繪制概略開環(huán)幅相曲線的方法，分幾種情況討論反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素：（1）確定開環(huán)幅相曲線的起點和終點；（2）確定開環(huán)幅相曲線與實軸的交點（3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）5（1）不包含積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)一個慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)串聯(lián)圖5－20系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線順時針轉(zhuǎn)過90度62個慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)串聯(lián)順時針轉(zhuǎn)過2個90度當開環(huán)傳函由n個慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)串聯(lián)時，開環(huán)幅相特性曲線從實軸開始，隨ω從變化時，順時針轉(zhuǎn)過n個象限(n個90度)7（2）含微分環(huán)節(jié)的情況以m=1,n=3為例：8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分子有一階微分環(huán)節(jié)，其開環(huán)幅相特性曲線出現(xiàn)凹凸，但曲線仍從實軸開始9若開環(huán)傳遞函數(shù)中分子含有m個一階微分環(huán)節(jié)，分母含有n個慣性環(huán)節(jié)時，開環(huán)幅相特性曲線隨ω變化的趨勢：10（3）含積分環(huán)節(jié)的情況11當開環(huán)傳遞函數(shù)中含有1個積分環(huán)節(jié)時，開環(huán)幅相特性曲線從負虛軸方向開始，但不是從負虛軸上開始12開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)時，頻率趨于零時，幅值趨于無窮大。當開環(huán)傳遞函數(shù)中含有2個積分環(huán)節(jié)時，開環(huán)幅相特性曲線從負實軸方向開始132.系統(tǒng)開環(huán)幅相的特點當頻率ω→0時(起點)，其開環(huán)幅相特性完全由比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)決定。當開環(huán)傳函不包含積分環(huán)節(jié),即?=0時,G(jω)

曲線從正實軸開始，G(j0)=K∠0.當開環(huán)傳函包含一個積分環(huán)節(jié),即?=1時,G(jω)

曲線從負虛軸方向開始，當開環(huán)傳函包含2個積分環(huán)節(jié),即?=2時,G(jω)

曲線從負實軸方向開始，當?=3時,14積分環(huán)節(jié)與起點的關(guān)系15當頻率ω→∞

時(終點)，若n>m（即G(s)中的分母階次n大于分子階次m）,|G(jω)|=0，相角為(m-n)π/2。若G(s)

中分子含有s因子的環(huán)節(jié)時，其G(jω)曲線隨

ω變化時發(fā)生彎曲；不含有s因子的環(huán)節(jié)時，G(jω)曲線隨

ω變化將是一條平滑的曲線。16

G(jω)曲線與負實軸的交點，是一個關(guān)鍵點。交點坐標可有下列方法確定：與負實軸的交點17系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制該系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。例118例1幅相特性曲線19例2某0型單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。20解：1）系統(tǒng)開環(huán)頻率特性213）與負實軸的交點令得即系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在處外與實軸無交點22可正可負故系統(tǒng)幅相曲線在第Ⅳ和第Ⅲ象限內(nèi)變化，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖所示。思考：若取K<0,系統(tǒng)幅相曲線如何變化？23例3設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。24解

1）系統(tǒng)開環(huán)頻率特性253）與負實軸的交點令得26思考：若v為2、3等,系統(tǒng)幅相曲線如何變化？27例4已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。28解：1）系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為293）與負實軸的交點令3031例5已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。32解1）系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為333）與負實軸的交點令3435例6設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線。解1）系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為363）與負實軸的交點開環(huán)頻率特性表達式知其虛部不為零，故與實軸無交點37注意到開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)，當趨于時，趨于無窮大，而相頻特性取在的附近，相角突變，幅相曲線在處呈現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象。作系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。38繪制的幅相曲線解：求交點：

例7390-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]曲線如圖所示：令.064,056,0)]j(GRe[222=+w=w+w-=w無實數(shù)解，與虛軸無交點40開環(huán)概略幅相曲線繪制步驟(1)給出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)G(jω)H(jω)，并寫成指數(shù)式A(jω)ejφ(ω)或代數(shù)式R(ω)+jI(ω)(2)確定極坐標圖的起點ω=0和終點ω→∞(3)確定與負實軸的交點41二、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與對數(shù)相頻表達式為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻之和，相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。42例5－1繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)由三個典型環(huán)節(jié)組成，每個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。4344將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻。45系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻的漸近特性有三段直線（0，-20，-40）組成，轉(zhuǎn)折頻率：1、10rad/s;相頻從0逐漸趨于-180；46例5－2繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)首先將開環(huán)傳遞函數(shù)中的各因式轉(zhuǎn)換成典型環(huán)節(jié)的標準形式47五個基本環(huán)節(jié)484950515251234五個基本環(huán)節(jié)系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻的漸近特性由四段直線（-20，-40,-20，-40）組成，轉(zhuǎn)折頻率：1、2、20rad/s;相頻從-90逐漸趨于-180；53開環(huán)系統(tǒng)波特圖的特點開環(huán)對數(shù)頻率特性在低頻段的形狀只與系統(tǒng)的開環(huán)增益k和積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)：54開環(huán)對數(shù)頻率特性漸近特性經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，其斜率要發(fā)生變化，高頻段最終斜率為-(n-m)20;開環(huán)對數(shù)相頻特性最終的相角為-(n-m)π/255波特圖的繪制步驟(1)將開環(huán)頻率特性寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式,并求出各典型環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；(2)從小到大按順序計算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/Ti，若T1>T2>T3>...,則有ω1<ω2<ω3<…，并標注在ω軸上；(3)繪制低頻漸近線(ω1左邊的部分),這是一條斜率為-20νdB/dec(ν為開環(huán)系統(tǒng)中所包含的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)的直線,它或它的延長線應(yīng)通過(1,20lgK)點;56(4)隨著ω的增加,每遇到一個典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,就改變一次斜率;慣性環(huán)節(jié)：-20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)：-40dB/dec；一階微分：+20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)：+40dB/dec對數(shù)相頻特性可以由各個典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得,也可以利用相頻特性函數(shù)φ(ω)直接計算,通常采取求出幾個特定值的辦法，如φ(0),φ(1),φ(10),φ(∞)等

。

高頻漸近線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。5758繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為

的零型系統(tǒng)的伯德圖。

解例159

高頻漸近線的斜率為：-20(n-m)dB/dec=-4060例1的伯德圖

61已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

解將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下典型環(huán)節(jié)乘積形式:例2試繪制系統(tǒng)的伯德圖。62系統(tǒng)由一個比例環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)、一個慣性環(huán)節(jié)、一個一階微分環(huán)節(jié)和一個二階振蕩環(huán)節(jié)組成,且ω1=1.414,ω2=2,ω3=3。

20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比=0.354。

63在確定了各個環(huán)節(jié)的交接頻率和20lgK的值以后,可按下列步驟繪制系統(tǒng)的伯德圖:(1)通過點(1,17.5)畫一條斜率為－20dB/dec的直線,它就是低頻段的漸近線;(2)在ω1=1.414處,將漸近線的斜率從－20dB/dec改為－60dB/dec,這是考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用;(3)由于慣性環(huán)節(jié)的影響,

在ω2=2處,漸近線斜率改變-20dB/dec,即從原來的－60dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec;64(4)在ω3=3處,漸近線的斜率改變+20dB/dec,形成斜率為－60dB/dec的線段,這是由于一階微分環(huán)節(jié)的作用;(5)根據(jù)相頻特性φ(ω),求出若干點的相頻特性曲線角度值

如表所示,將各點光滑連接,可以繪制系統(tǒng)的相頻特性。

開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖所示(虛線為漸近線)。65例2的伯德圖

66已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪出開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線。例367系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。[解]：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以則，2、低頻漸進線：斜率為，過點（1，20）3、波德圖如下：例468紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。69已知，試畫波德圖。[解]：1、2、低頻漸進線斜率為，過（1，-60）點。4、畫出波德圖如下頁：3、高頻漸進線斜率為：例570紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。71已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。解：開環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解形式為

1）確定各交接頻率及斜率變化值非最小相位一階微分環(huán)節(jié)：，斜率增加慣性環(huán)節(jié)：，斜率減少例672振蕩環(huán)節(jié)：，斜率減少最小交接頻率。2）繪制低頻段漸近特性曲線。因為，則低頻漸近線斜率，按得直線上一點。3）繪制頻段漸近特性曲線系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線如圖所示。73具體計算相角時應(yīng)注意判別象限。例如在本例中74由于頻率特性是線性系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）在正弦輸入信號下的響應(yīng)特性，因此由傳遞函數(shù)可以得到頻率特性。反之，由頻率特性也可以求得相應(yīng)的傳遞函數(shù)。對于最小相位系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）而言，一條對數(shù)幅頻特性曲線只能有一條對數(shù)相頻特性曲線與之對應(yīng)，因此只需要對數(shù)幅頻特性曲線就可以求出系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)。根據(jù)頻率特性確定傳遞函數(shù)75（1）由低頻段確定系統(tǒng)傳函的型別：-20νdB/dec(ν為傳函中包含的積分環(huán)節(jié)數(shù))（2）確定傳函增益K0型：20lgK=L1

型：低頻段或其延長線交頻率軸于點0，K=0

型：低頻段或其延長線交頻率軸于點0，K=02由對數(shù)幅頻特性確定其傳遞函數(shù)的步驟76L()L11（3）串聯(lián)環(huán)節(jié)的確定：交接頻率1處，斜率改變-20dB/dec，串斜率改變+20dB/dec，串斜率改變-40dB/dec，串斜率改變+40dB/dec，串77

某最小相位系統(tǒng)由頻率響應(yīng)實驗獲得的對數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù)。例178解：1）確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)。由于對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的斜率為，而圖中低頻漸近線的斜率為+20dB/dec，故有v=-1，系統(tǒng)含有一個微分環(huán)節(jié)。

2）確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)表