PAGEPAGE16課時(shí)穩(wěn)固過(guò)關(guān)練四函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用(35分鐘55分)一、選擇題(每題5分,共20分)1.(2022·荊州一模)函數(shù)f(x)=lnx-2xA.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(e,+∞)【解析】選B.因?yàn)閒(x)=lnx-2x那么函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-23所以f(2)f(3)<0,所以在區(qū)間(2,3)內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點(diǎn).2.(2022·張掖一模)函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,h(x)=x-14A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.b<a<c【解題導(dǎo)引】分別由f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0,利用圖象得到零點(diǎn)a,b,c的取值范圍,然后判斷大小即可.【解析】選B.由f(x)=0得ex=-x,由g(x)=0得lnx=-x.由h(x)=0得x=1,即c=1.在坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)y=ex,y=-x,y=lnx的圖象,由圖象可知a<0,0<b<1,所以a<b<c.【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)=3x+2x-4,函數(shù)g(x)=log2x+2x2-5,假設(shè)實(shí)數(shù)m,n分別是函數(shù)f(x),函數(shù)g(x)的零點(diǎn),那么()A.g(m)<0<f(n) B.f(n)<0<g(m)C.0<g(m)<f(n) D.f(n)<g(m)<0【解析】選A.依題意,f(0)=-3<0,f(1)=1>0,且函數(shù)f(x)是增函數(shù),因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),即0<m<1.g(1)=-3<0,g(2)=4>0,且函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),即1<n<2,于是有f(n)>f(1)>0>g(m).3.(2022·鄭州一模)函數(shù)f(x)=ax+x-b的零點(diǎn)x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,那么n的值為()A.2 B.1 C.-2 D.-1【解題導(dǎo)引】根據(jù)指數(shù)函數(shù),一次函數(shù)的單調(diào)性,及增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可得函數(shù)f(x)=ax+x-b為增函數(shù),結(jié)合常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,可得f(-1)<0,f(0)>0,進(jìn)而可得n的值.【解析】選D.由題意得函數(shù)f(x)=ax+x-b為增函數(shù),常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,所以f(-1)=1a所以函數(shù)f(x)=ax+x-b在(-1,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),故n=-1.【加固訓(xùn)練】(2022·沈陽(yáng)一模)函數(shù)f(x)=2x-1【解析】作函數(shù)f(x)=2x-1y=ax+1恒過(guò)點(diǎn)(0,1),當(dāng)直線y=ax+1過(guò)點(diǎn)(2,2)時(shí),a=12當(dāng)直線y=ax+1與f(x)=2x-1相切時(shí),那么a=-直線l的斜率為a=2-1故所求范圍為0,12答案:0,14.(2022·黃岡一模)汽車的“燃油效率〞是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.以下表達(dá)中正確的選項(xiàng)是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同的路程,三輛汽車中,甲車消耗汽油量最多C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí),相同條件下,在該城市用丙車比用乙車更省油【解析】選D.選項(xiàng)A,問(wèn)的是縱坐標(biāo)最大值.選項(xiàng)B,消耗1升油甲走最遠(yuǎn),那么反過(guò)來(lái)路程相同甲最省油.選項(xiàng)C,此時(shí)甲走過(guò)了80千米,消耗8升汽油.選項(xiàng)D,80千米/小時(shí)以下丙“燃油效率〞更高,更省油.二、填空題(每題5分,共10分)5.假設(shè)關(guān)于x的方程4sin2x-msinx+1=0在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____.【解析】設(shè)sinx=t,那么0<t≤1,那么方程等價(jià)于f(t)=4t2-mt+1在(0,1]內(nèi)有惟一解,即Δ=答案:m=4或m>56.(2022·石嘴山二模)對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“?〞:a?b=a2-ab,a<b,b【解析】由2x-1≤x-1可得x≤0,由2x-1>x-1可得x>0.所以根據(jù)題意得f(x)=(即f(x)=2x2-x,x≤0,函數(shù)的圖象和直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn),再根據(jù)函數(shù)的極大值為f12=1可得m的取值范圍是0,答案:0【加固練習(xí)】(2022·廣州二模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3,那么函數(shù)g(x)=|cos(πx)|-f(x)在區(qū)間-1【解析】因?yàn)閒(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),所以f(-x)=f(2-x),所以f(x)的周期為2.畫(huà)出y=f(x)和y=|cos(πx)|的圖象,由圖可知,g(x)共有5個(gè)零點(diǎn),其中x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2.所以所有零點(diǎn)的和為3.答案:3三、解答題(7題12分,8題13分,共25分)7.(2022·衡水一模)函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≥0,x2【解析】結(jié)合函數(shù)f(x)=-x①當(dāng)b=0時(shí),[f(x)]2+af(x)-b2<0化為[f(x)]2+af(x)<0,當(dāng)a>0時(shí),-a<f(x)<0,由于關(guān)于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1個(gè)整數(shù)解,因此其整數(shù)解為3,又f(3)=-9+6=-3,所以-a<-3<0,-a≥f(4)=-8,那么8≥a>3,a≤0不必考慮.②當(dāng)b≠0時(shí),對(duì)于[f(x)]2+af(x)-b2<0,Δ=a2+4b2>0,解得:-a-a2只考慮a>0,因?yàn)殛P(guān)于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1個(gè)整數(shù)解,所以f(x)=0,那么-a-a2由于f(x)=0時(shí),不等式的解集中含有多于一個(gè)整數(shù)解(例如,0,2),舍去.綜上可得:a的最大值為8.【加固訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.(1)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2.(2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2,求|a|+|b|的最大值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=x2+ax+b(a,b∈R),=x+a2所以對(duì)稱軸為直線方程x=-a2由a≥2得:-a2≤所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,所以M(a,b)等于|f(1)|與|f(-1)|兩者的最大值.當(dāng)a≥2時(shí),由f(1)-f(-1)=2a≥4,可知|f(1)|與|f(-1)|兩者的最大值大于等于2;當(dāng)a≤-2時(shí),由f(1)-f(-1)=2a≤-4,可知|f(1)|與|f(-1)|兩者的最大值大于等于2.綜上可知:當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2可得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,所以|a-b|≤3,|a+b|≤3.因?yàn)閨a|+|b|=|所以|a|+|b|≤3.當(dāng)a=2,b=-1時(shí),|a|+|b|=3,且|x2+ax+b|在[-1,1]上的最大值為2,即M(2,-1)=2,所以|a|+|b|的最大值為3.8.(2022·唐山一模)有一種新型的洗衣液,去污速度特別快.每投放k(1≤k≤4,且k∈R)個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放在濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=k·f(x),其中f(x)=248-x-1,0≤x≤4,7-(1)假設(shè)只投放一次k個(gè)單位的洗衣液,當(dāng)兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3克/升,求k的值.(2)假設(shè)只投放一次4個(gè)單位的洗衣液,那么有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘?(3)假設(shè)第一次投放2個(gè)單位的洗衣液,10分鐘后再投放1個(gè)單位的洗衣液,那么在第12分鐘時(shí)洗衣液是否還能起到有效去污的作用?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意知k248-2所以k=1.(2)因?yàn)閗=4,所以y=96當(dāng)0≤x≤4時(shí),由968-x-4≥解得-4≤x<8,所以0≤x≤4.當(dāng)4<x≤14時(shí),由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.綜上可知,當(dāng)y≥4時(shí),0≤x≤12,所以只投放一次4個(gè)單位的洗衣液的有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘.(3)在第12分鐘時(shí),水中洗衣液的濃度為2×7-12=5(克/升),又5>4,所以在第12分鐘時(shí)還能起到有效去污的作用.(30分鐘55分)一、選擇題(每題5分,共20分)1.以下函數(shù)中,在(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是()A.y=log2x B.y=2x-1C.y=x2-2 D.y=-x3【解析】選B.y=log2x在(-1,1)內(nèi)有沒(méi)有意義的情況,故A不對(duì);y=x2-2在(-1,0)單調(diào)遞減,故C不對(duì);y=-x3在(-1,1)單調(diào)遞減,故D不對(duì).因?yàn)閥=2x-1,單調(diào)遞增,f(-1)<0,f(1)>0,所以在(-1,1)內(nèi)存在零點(diǎn).【加固訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=ax2-ex,f′(-1)=-4,那么函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(-3,-2) B.(-1,0)C.(0,1) D.(4,5)【解析】選B.因?yàn)閒(x)=ax2-ex,f′(-1)=-4,所以-2a-e-1=-4,所以a=2-12e所以f(x)=2-12ex2所以f(-1)=2-32e所以函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(-1,0).2.函數(shù)f(x)=2x-1,x≤0,f(x-1),x>0,A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.f(x)=log0.6(x+1)的根的個(gè)數(shù),即函數(shù)y=f(x)與y=log0.6(x+1)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖:由圖可得兩個(gè)函數(shù)圖象共有2個(gè)交點(diǎn),故方程f(x)=log0.6(x+1)有兩個(gè)根.3.函數(shù)f(x)=-x2+3x,x≤0,A.(-∞,0] B.(-∞,1]C.[-3,0] D.[-3,1]【解題導(dǎo)引】①當(dāng)x>0時(shí),根據(jù)ln(x+1)>0恒成立,求得a≤0.②當(dāng)x≤0時(shí),可得x2-3x≥ax,求得a的范圍.再把這兩個(gè)a的取值范圍取交集,可得答案.【解析】選C.當(dāng)x>0時(shí),根據(jù)ln(x+1)>0恒成立,那么此時(shí)a≤0.當(dāng)x≤0時(shí),根據(jù)-x2+3x的取值為(-∞,0],|f(x)|=x2-3x≥ax,x=0時(shí),左邊=右邊,a取任意值.當(dāng)x<0時(shí),有a≥x-3,即a≥-3.綜上可得,a的取值為[-3,0].4.假設(shè)函數(shù)f(x)=2exln(x+m)+ex-2存在正的零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(-∞,e) B.(e,+∞)C.(-∞,e) D.(e,+∞)【解析】選A.令2exln(x+m)+ex-2=0,所以ln(x+m)=1ex-因?yàn)閥=1ex-12所以x>0時(shí),y=1ex-12問(wèn)題等價(jià)于ln(x+m)<12因?yàn)閥=ln(x+m)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以lnm<12,m<e【加固訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)+f(2-x)=0.當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x2-1,假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)-kx=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,那么正實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(5-26,4-13)B.(8-215,4-23)C.(5-26,4-23)D.(8-215,4-13)【解題導(dǎo)引】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)的周期,以及函數(shù)的解析式,利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與y=kx有三個(gè)不同的交點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合,以及直線和拋物線相切的等價(jià)條件,利用判別式Δ=0,進(jìn)行求解即可.【解析】選B.因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)+f(2-x)=0.所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),即f(x+2)=-f(x),那么f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數(shù)為周期是4的周期函數(shù),假設(shè)x∈[-1,0],那么-x∈[0,1],此時(shí)f(-x)=x2-1=f(x),即f(x)=x2-1,x∈[-1,0],綜上,f(x)=x2-1,x∈[-1,1],假設(shè)x∈[-2,-1],那么x+2∈[0,1],那么由f(x+2)=-f(x),得f(x)=-f(x+2)=-[(x+2)2-1]=1-(x+2)2,x∈[-2,-1],假設(shè)x∈[1,2],那么-x∈[-2,-1],那么f(-x)=1-(-x+2)2=1-(x-2)2=f(x),即f(x)=1-(x-2)2,x∈[1,2],即函數(shù)在一個(gè)周期[-2,2]上的解析式為f(x)=1假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)-kx=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,等價(jià)為f(x)=kx恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即函數(shù)f(x)與y=kx有三個(gè)不同的交點(diǎn),作出函數(shù)f(x)和y=kx的圖象如圖:當(dāng)x∈[1,2]時(shí),由f(x)=1-(x-2)2=kx,得x2+(k-4)x+3=0,由判別式Δ=(k-4)2-12=0,得k-4=±23,即k=4±23,由1<-k-4那么k=4-23,此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x∈[-4,-3]時(shí),x+4∈[0,1],那么f(x)=f(x+4)=(x+4)2-1,x∈[-4,-3],當(dāng)f(x)與y=kx相切,即(x+4)2-1=kx,即x2+(8-k)x+15=0時(shí),判別式Δ=(8-k)2-4×15=0,即k=8±215,由-4<-8-k即k=8-215,此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn).故假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)-kx=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,那么正實(shí)數(shù)k滿足8-215<k<4-23.二、填空題(每題5分,共10分)5.在如下圖的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影局部),那么其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_____m.【解析】如圖,過(guò)A作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)F,易知DEBC=x40=ADAB=那么S=x(40-x)≤402即x=20時(shí)取等號(hào),所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20m.答案:206.x0是f(x)=12x+1x的一個(gè)零點(diǎn),x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0),那么f(x1)________0,f(x2)________0.(填“>〞“【解析】因?yàn)閤0是f(x)=12x+1x的一個(gè)零點(diǎn),x1∈(-∞,x0),x2∈可令h(x)=12x,g(x)=-當(dāng)0>x>x0時(shí),g(x)>h(x),h(x)-g(x)=12x+當(dāng)x<x0時(shí),g(x)<h(x),h(x)-g(x)=12x+因?yàn)閤1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0),所以f(x1)>0,f(x2)<0.答案:><【加固訓(xùn)練】偶函數(shù)f(x)滿足f(x)-f(x+2)=0,且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x·ex,假設(shè)在區(qū)間[-1,3]內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-kx-2k有且僅有3個(gè)零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.【解析】因?yàn)閒(x)-f(x+2)=0,所以f(x)=f(x+2),即函數(shù)的周期是2,因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x·ex,所以根據(jù)增函數(shù)的性質(zhì)可知,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(0)=0,f(1)=e,所以當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=f(-x)=-x·e-x,令g(x)=f(x)-kx-2k=0,得到f(x)=k(x+2),作出兩個(gè)函數(shù)f(x)和y=k(x+2)在[-1,3]上的圖象,由圖象可知當(dāng)x=1時(shí),f(1)=e,當(dāng)x=3時(shí),f(3)=f(1)=e,即B(1,e),C(3,e),當(dāng)直線y=k(x+2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,e)時(shí),此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn),此時(shí)e=3k,解得k=e3直線y=k(x+2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3,e)時(shí),此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn),此時(shí)e=5k,解得k=e5所以要想使函數(shù)g(x)=f(x)-kx-2k有且僅有3個(gè)零點(diǎn),那么直線y=k(x+2)應(yīng)該位于直線AB和AC之間,所以此時(shí)直線的斜率k滿足e5<k<e故k的取值范圍是e5答案:e三、解答題(7題12分,8題13分,共25分)7.如圖,A,B,C三地有直道相通,AB=5千米,AC=3千米,BC=4千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往B地,經(jīng)過(guò)t小時(shí),他們之間的距離為f(t)(單位:千米).甲的路線是AB,速度為5千米/小時(shí),乙的路線是ACB,速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)B地后原地等待.設(shè)t=t1時(shí)乙到達(dá)C地.(1)求t1與f(t1)的值.(2)警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)t1≤t≤1時(shí),求f(t)的表達(dá)式,并判斷f(t)在[t1,1]上的最大值是否超過(guò)3?說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意知t1=38小時(shí),設(shè)乙到C時(shí)甲所在地為D,那么AD=15在△ACD中,CD2=AC2+AD2-2AC·ADcosA,所以f(t1)=CD=38(2)甲到達(dá)B用時(shí)1小時(shí);乙到達(dá)C用時(shí)38小時(shí),從A到B總用時(shí)7當(dāng)t1=38≤t<7f(t)=(=25t當(dāng)78≤t≤所以f(t)=25因?yàn)閒(t)在38,78上的最大值是f38=3418所以f(t)在38,1上的最大值是【加固訓(xùn)練】設(shè)x,y∈R,且滿足(x-2【解析】因?yàn)?x-2)3+2x+sin(x-2)=2,所以(x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=2-4=-2,因?yàn)?y-2)3+2y+sin(y-2)=6,所以(y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=6-4=2