PAGEPAGE1專題21萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用一、萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系1．在地球外表上的物體地球在不停地自轉(zhuǎn)、地球上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)圓周運(yùn)動(dòng)需要一個(gè)向心力，是重力不直接等于萬(wàn)有引力而近似等于萬(wàn)有引力的原因，如下圖，萬(wàn)有引力為F，重力為G，向心力為Fn。當(dāng)然，真實(shí)情況不會(huì)有這么大偏差?！?〕物體在一般位置時(shí)Fn=mrω2，F(xiàn)n、F、G不在一條直線上。〔2〕當(dāng)物體在赤道上時(shí)，F(xiàn)n到達(dá)最大值Fnmax，F(xiàn)nmax=mRω2，重力到達(dá)最小值：，重力加速度到達(dá)最小值，?！?〕當(dāng)物體在兩極時(shí)Fn=0，G=F，重力到達(dá)最大值，重力加速度到達(dá)最大值，?？梢娭挥性趦蓸O時(shí)重力才等于萬(wàn)有引力，重力加速度到達(dá)最大值；其他位置時(shí)重力要略小于萬(wàn)有引力，在赤道處的重力加速度最小，兩極處的重力加速度比赤道處大；但是由于自轉(zhuǎn)的角速度很小，需要的向心力很小。計(jì)算題中，如果未提及地球的自轉(zhuǎn)，一般認(rèn)為重力近似等于萬(wàn)有引力。即或者寫成GM=gR2，稱為“黃金代換〞。2．離開地球外表的物體衛(wèi)星在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到地球的萬(wàn)有引力作用，我們認(rèn)為衛(wèi)星所受到的引力就是衛(wèi)星在該處所受到的重力，，該處的重力加速度。這個(gè)值也是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的值；衛(wèi)星及內(nèi)部物體處于完全失重狀態(tài)?！矠槭裁矗俊扯?、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．解決天體〔衛(wèi)星〕運(yùn)動(dòng)問題的根本思路〔1〕天體運(yùn)動(dòng)的向心力來源于天體之間的萬(wàn)有引力，即。〔2〕在中心天體外表或附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力近似等于重力，即〔g表示天體外表的重力加速度〕。〔2〕利用此關(guān)系可求行星外表重力加速度、軌道處重力加速度：在行星外表重力加速度：，所以；在離地面高為h的軌道處重力加速度：，得。2．天體質(zhì)量和密度的計(jì)算〔1〕利用天體外表的重力加速度g和天體半徑R由于，故天體質(zhì)量；天體密度：；〔2〕通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r①由萬(wàn)有引力等于向心力，即，得出中心天體質(zhì)量；②假設(shè)天體半徑R，那么天體的平均密度；③假設(shè)天體的衛(wèi)星在天體外表附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，那么天體密度?？梢姡灰獪y(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體外表運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。3．估算天體問題應(yīng)注意三點(diǎn)〔1〕天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24h，公轉(zhuǎn)周期為365天等；〔2〕注意黃金代換式GM=gR2的應(yīng)用；〔3〕注意密度公式的理解和應(yīng)用。三、衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)規(guī)律由萬(wàn)有引力提供向心力，。四、衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律1．線速度v：由得，可見，r越大，v越?。籸越小，v越大。2．角速度ω：由得，可見，r越大，ω越??；r越小，ω越大。3．周期T：由得，可見，r越大，T越大；r越小，T越小。4．向心加速度an：由得，可見，r越大，an越小；r越小，an越大。以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠(yuǎn)越慢〞。2016年10月19日凌晨“神舟十一號(hào)〞飛船與“天宮二號(hào)〞成功實(shí)施自動(dòng)交會(huì)對(duì)接。如下圖，“神舟十一號(hào)〞“天宮二號(hào)〞對(duì)接后，組合體在時(shí)間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，組合體軌道半徑為r，地球外表重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)。那么以下各量不能求出的是A．地球的質(zhì)量B．地球的平均密度C．組合體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度D．組合體受到地球的萬(wàn)有引力【參考答案】D【詳細(xì)解析】組合體在時(shí)間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，那么角速度為，根據(jù)萬(wàn)有引力提供組合體的向心力，那么，所以地球的質(zhì)量為，可知能求出地球的質(zhì)量M，故A能求出；不考慮地球的自轉(zhuǎn)時(shí)，物體在地球外表的重力等于地球?qū)M合體的萬(wàn)有引力，那么得，解得，那么可以求出地球的半徑R，地球的密度為，可知能求出地球的平均密度，故B能求出；根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系，可知，可知可以求出組合體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，C能求出；由于不知道組合體的質(zhì)量，所以不能求出組合體受到的萬(wàn)有引力，故D不能求出。學(xué)*1．某研究小組用天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)一顆行星進(jìn)行觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)該行星有一顆衛(wèi)星，衛(wèi)星在行星的外表附近繞行，并測(cè)得其周期為T，引力常量為G，根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以估算出A．行星的質(zhì)量B．行星的半徑C．行星的平均密度D．行星外表的重力加速度【答案】C2．我國(guó)方案在2022年發(fā)射“嫦娥四號(hào)〞，它是嫦娥探月工程方案中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務(wù)是更深層次、更加全面的科學(xué)探測(cè)月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料。月球的半徑為R，月球外表的重力加速度為g，引力常量為G，“嫦娥四號(hào)〞離月球中心的距離為r，繞月周期為T。根據(jù)以上信息可求出A．“嫦娥四號(hào)〞繞月運(yùn)行的速度為B．“嫦娥四號(hào)〞繞月運(yùn)行的速度為C．月球的平均密度D．月球的平均密度為【答案】AC如下圖，O為地球的球心，A為地球外表上的點(diǎn)，B為O、A連線間的點(diǎn)，AB=d，將地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R。設(shè)想挖掉以B為圓心、以為半徑的球。假設(shè)忽略地球的自轉(zhuǎn)，那么挖出球體后A點(diǎn)的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為A． B．C． D．【參考答案】B【詳細(xì)解析】此題采用割補(bǔ)法解題，設(shè)想沒有挖掉以B為圓心、以為半徑的球，那么A點(diǎn)物體所受到的引力是以B為圓心、以為半徑的球的引力和剩余局部的引力的矢量和，設(shè)地球的質(zhì)量為M，以B為圓心、以為半徑的球的質(zhì)量為，那么，，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有，，，所以，根據(jù)牛頓第二定律得：挖出球體后A點(diǎn)的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為：，所以選B。1．地球赤道上的重力加速度為g=9.8m/s2，物體在赤道上的向心加速度約為an=3.39cm/s2，假設(shè)使赤道上的物體處于完全失重狀態(tài)，那么地球的轉(zhuǎn)速應(yīng)為原來的A．17倍B．49倍C．98倍D．289倍【答案】A2．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為A．B．C．D．【答案】A【解析】如下圖，根據(jù)“質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零〞可知，過地面的球殼對(duì)地面與礦井所在球殼之間的環(huán)形局部的引力為零。設(shè)地面處的重力加速度為g，地球的質(zhì)量為M，由地球外表的物體m1受到的重力近似等于萬(wàn)有引力，可得；再將礦井底部所在的球殼包圍的球體取出來進(jìn)行研究，質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球外表的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。月球的質(zhì)量為M，月球的半徑為R，月球外表的重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，那么航天器的A．線速度B．角速度C．運(yùn)行周期D．向心加速度【參考答案】AC【詳細(xì)解析】根據(jù)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力等于重力得出，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；故D錯(cuò)誤。1．2016年10月19日，神舟十一號(hào)太空飛船在高度393公里的近圓軌道與太空實(shí)驗(yàn)室天宮二號(hào)“牽手〞對(duì)接，變軌前和變軌完成后“天宮二號(hào)〞的運(yùn)行軌道均可視為圓軌道，對(duì)應(yīng)的軌道半徑分別為R1、R2，對(duì)應(yīng)的角速度和向心加速度分別為ω1、ω2和a1、a2，那么有A．B．C．變軌后的“天宮二號(hào)〞比變軌前動(dòng)能增大了，機(jī)械能增加了D．在正常運(yùn)行的“天宮二號(hào)〞內(nèi)，體重計(jì)、彈簧測(cè)力計(jì)、天平都不能使用了【答案】B2．A、B兩顆人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期，那么A．軌道半徑B．線速度C．角速度D．向心加速度【答案】B【解析】根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：，解得：，因?yàn)?，所以rA:rB=2:1，故A錯(cuò)誤；根據(jù)，得那么，故B正確；角速度，所以角速度，故C錯(cuò)誤；向心加速度，那么向心加速度aA:aB=1:4，故D錯(cuò)誤?！久麕燑c(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，知道線速度、角速度、加速度、周期與軌道半徑的關(guān)系。1．2016年10月17日我國(guó)“神舟十一號(hào)〞載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心順利升空，“神舟十一號(hào)〞和“天宮二號(hào)〞對(duì)接，對(duì)接后一起繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道高度是h=400km，假設(shè)地球半徑為R，第一宇宙速度為v，那么可知“神舟十一號(hào)〞和“天宮二號(hào)〞對(duì)接后整體的環(huán)繞速度為A．B．C．D．2．“嫦娥二號(hào)〞是我國(guó)月球探測(cè)第二期工程的先導(dǎo)星。假設(shè)測(cè)得“嫦娥二號(hào)〞在月球〔可視為密度均勻的球體〕外表附近圓形軌道運(yùn)行的周期為T，引力常量G，半徑為R的球體體積公式，那么可估算月球的A．密度B．質(zhì)量C．半徑D．自轉(zhuǎn)周期3．2016年10月19日凌晨，“天宮二號(hào)〞和“神舟十一號(hào)〞在離地高度為393千米的太空相約，兩個(gè)比子彈速度還要快8倍的空中飛行器平安無(wú)誤差地對(duì)接在一起，假設(shè)“天宮二號(hào)〞與“神舟十一號(hào)〞對(duì)接后繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同步軌道離地高度約為36000千米，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是A．為實(shí)現(xiàn)對(duì)接，“神舟十一號(hào)〞應(yīng)在離地高度低于393千米的軌道上加速，逐漸靠近“天宮二號(hào)〞B．“比子彈快8倍的速度〞大于7.9×103C．對(duì)接后運(yùn)行的周期小于24hD．對(duì)接后運(yùn)行的加速度因質(zhì)量變大而變小4．宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船艙內(nèi)有一質(zhì)量為m的人站在可稱體重的臺(tái)秤上，用R表示地球的半徑，g表示地球外表處的重力加速度，g0表示宇宙飛船所在處的地球引力加速度，N表示人對(duì)秤的壓力，那么關(guān)于g0、N下面正確的選項(xiàng)是A．

B．C．

D．N=05．2016年1月5日上午，國(guó)防科工局正式發(fā)布國(guó)際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)批準(zhǔn)的嫦娥三號(hào)探測(cè)器著陸點(diǎn)周邊區(qū)域命名為“廣寒宮〞，附近三個(gè)撞擊坑分別命名為“紫微〞、“天市〞、“太微〞。此次成功命名，是以中國(guó)元素命名的月球地理實(shí)體到達(dá)22個(gè)。質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星與月心的距離為r時(shí)，重力勢(shì)能可表示為，其中G為引力常量，M為月球質(zhì)量。假設(shè)“嫦娥三號(hào)〞在原來半徑為R1的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于受到極其稀薄空氣的摩擦作用，飛行一段時(shí)間后其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變?yōu)镽2，：月球半徑為R，月球外表的重力加速度為g0，地球外表的重力加速度為g，此過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量為A．B．C．D．6．2016年9月15日，中國(guó)成功發(fā)射天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室，對(duì)其軌道進(jìn)行控制、調(diào)整到距離地面高h(yuǎn)=393km處與隨后發(fā)射的神舟十一號(hào)飛船成功對(duì)接，景海鵬和陳冬雨兩名航天員進(jìn)駐天宮二號(hào)。地球半徑為R，地球外表重力加速度為g，當(dāng)天宮二號(hào)在預(yù)定軌道正常運(yùn)行時(shí)，以下描述正確的選項(xiàng)是A．宇航員在天宮二號(hào)內(nèi)可用天平測(cè)物體的質(zhì)量B．天宮二號(hào)運(yùn)動(dòng)周期大于24hC．天宮二號(hào)線速度大小為D．天宮二號(hào)如果要變軌到高軌道那么需要加速7．如下圖，A、B兩衛(wèi)星繞地球運(yùn)行，運(yùn)動(dòng)方向相同，此時(shí)兩衛(wèi)星距離最近，其中A是地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r。地球可看成質(zhì)量均勻分布的球體，其半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T。假設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，A、B第一次相距最遠(yuǎn)，以下說法正確的有A．衛(wèi)星B的周期為B．衛(wèi)星B的周期為C．在地球兩極，地表重力加速度D．由題目條件可以求出衛(wèi)星B的軌道半徑8．〔2022北京卷〕利用引力常量G和以下某一組數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是A．地球的半徑及重力加速度〔不考慮地球自轉(zhuǎn)〕B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期C．月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離9．〔2022新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ卷〕2022年4月，我國(guó)成功發(fā)射的天舟一號(hào)貨運(yùn)飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室完成了首次交會(huì)對(duì)接，對(duì)接形成的組合體仍沿天宮二號(hào)原來的軌道〔可視為圓軌道〕運(yùn)行。與天宮二號(hào)單獨(dú)運(yùn)行時(shí)相比，組合體運(yùn)行的A．周期變大 B．速率變大C．動(dòng)能變大 D．向心加速度變大10．〔2022海南卷〕通過觀測(cè)冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除了引力常量外，至少還需要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是A．衛(wèi)星的速度和角速度B．衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C．衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D．衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑11．〔2022海南卷〕假設(shè)在某行星和地球上相對(duì)各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們?cè)谒椒较蜻\(yùn)動(dòng)的距離之比為2:。該行星的質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為A．B．C．2RD．12．〔2022福建卷〕如圖，假設(shè)兩顆人造衛(wèi)星a和b均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2。那么A．B．C．D．13．〔2022山東卷〕如圖，拉格朗日點(diǎn)L1位于地球和月球連線上，處在該點(diǎn)的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運(yùn)動(dòng)。據(jù)此，科學(xué)家設(shè)想在拉格朗日點(diǎn)L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運(yùn)動(dòng)。以、分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大小。以下判斷正確的選項(xiàng)是A．B．C．D．14．〔2022·海南卷〕設(shè)地球自轉(zhuǎn)的周期為T，質(zhì)量為M。引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為A．B．C．D．15．〔2022天津卷〕研究說明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)。假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比A．距地面的高度變大B．向心加速度變大C．線速度變大D．角速度變大1．D【解析】由萬(wàn)有引力公式可得，解得第一宇宙速度，同理可得整體的環(huán)繞速度，所以，應(yīng)選項(xiàng)D正確，ABC錯(cuò)誤。學(xué)/2．A【解析】“嫦娥二號(hào)〞在月球〔可視為密度均勻的球體〕外表附近圓形軌道運(yùn)行，其軌道半徑可視為等于月球半徑，由G=mR，月球的質(zhì)量M=；由于月球半徑R未知，不能估算月球的質(zhì)量，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤。也不能由題中信息得到月球的半徑和自轉(zhuǎn)周期。由密度公式，ρ=M/V得月球密度ρ=，選項(xiàng)A正確。【名師點(diǎn)睛】〔1〕利用萬(wàn)有引力提供向心力的方法只能求解中心天體的質(zhì)量，而不能求出做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量；〔2〕要注意R、r的區(qū)分。R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑；〔3〕應(yīng)用萬(wàn)有引力定律求解時(shí)還要注意挖掘題目中的隱含條件，如地球公轉(zhuǎn)一周時(shí)間是365天，自轉(zhuǎn)一周是24小時(shí)，其外表的重力加速度約為9.8m/s2等。4．BD【解析】宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，故飛船內(nèi)物體處于完全失重狀態(tài)，所以N=0，故C錯(cuò)誤，D正確；在地球外表，在飛船軌道處，聯(lián)立解得，故A錯(cuò)誤，B正確。5．D【解析】“嫦娥三號(hào)〞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由月球的萬(wàn)有引力提供向心力，那么軌道半徑為R1時(shí)，有：①，衛(wèi)星的引力勢(shì)能Ep1=–GMm/R1

②，軌道半徑為R2時(shí)有：③，衛(wèi)星的引力勢(shì)能Ep2=?GMm/R2

④，設(shè)摩擦力而產(chǎn)生的熱量為Q，根據(jù)能量守恒得：⑤，由黃金代換式得，⑥，聯(lián)立①～⑥得，Q=，故D正確，ABC錯(cuò)誤。6．D【解析】天平是根據(jù)杠桿平衡條件制成的，在太空中，物體和砝碼所受重力完全提供向心力，天平的左右兩盤無(wú)論放多少物體，天平都是平衡的。所以無(wú)法用天平測(cè)量物體的質(zhì)量，所以不能使用，故A錯(cuò)誤；天宮二號(hào)的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)可知，半徑越大，周期越大，所以天宮二號(hào)運(yùn)動(dòng)周期小于24h，故B錯(cuò)誤；根據(jù)以及，得：，故C錯(cuò)誤；天宮二號(hào)如果要變軌到高軌道，需要做離心運(yùn)動(dòng)，需要的向心力大于萬(wàn)有引力，所以要加速，故D正確。【名師點(diǎn)睛】在飛船實(shí)驗(yàn)室里，所有的物體處于完全失重狀態(tài)，所有與重力有關(guān)的儀器都無(wú)法使用；天宮二號(hào)的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，周期大于同步衛(wèi)星的周期；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力以及地球外表萬(wàn)有引力等于重力列式解答即可。7．CD【解析】設(shè)衛(wèi)星B的周期為TB，由題意有：，解得：，AB錯(cuò)誤；在兩極時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力，那么：，對(duì)地球同步衛(wèi)星有：，所以：，C正確；由開普勒第三定律：，r、T，TB以求出，所以rB，可求，且，D正確；應(yīng)選CD。由，會(huì)消