從幾道重要例題看不定積分與變限定積分的關系白秀琴楊寶玉(平頂山工業(yè)職業(yè)技術學院基礎部河南平頂山467001)摘要：通過一類考研題的討論，表明不定積分Jf(x用只能作為運算符號，無法用來討論f(x)的某一原函數(shù)的性質(zhì)；而變限定積分函數(shù)Jxf(t)dt為某一確定的原函數(shù)。a可以用它來討論f(X)的原函數(shù)的性質(zhì)；如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值等.關鍵詞：不定積分原函數(shù)變限定積分函數(shù)FromafewsseetheindefiniteintegralwithchangetolimitthedefiniteintegralofrelationBAIXiu-qin,YangBao-yu(PingdingshangIndustrialCollegeOfTechnology,Pingdingshan,Henan,467001)Abstract:Throughthediscussionofthiskindofproblemsintheentranceexamsforpastgraduateschools,itshowathattheindefiniteintegrationcanjustbeusedasmathematicalsymbol,butcan’tusedtodiscusstheprimaryfunctionoff(x);whiletheChangetolimitthedefiniteintegral，J'xf(t)dtasonecertainprimaryfunction,candiscussthequalityoff(x),suchastheoddorevenquality,monotonityextremeum,andvalueetc.Keywords:indefiniteintegration;primaryfunction,Changetolimitthedefiniteintegral求導數(shù)(或微分)的逆運算問題一一求不定積分，是積分學的基本問題之一，而定積分是通過微元分析，并歸結為同一類型的黎曼和的極限，這是從兩個完全不同的角度引進的兩個不同的概念，兩者之間的聯(lián)系之一就是微積分第二基本定理，也就是我們熟悉的牛頓一一萊布尼茲公式：J"f(x)dx=F(a)-F(b)該公式表明，在定理條件下，函數(shù)f(x)在［a,b］上a定積分的值等于它任意一個原函數(shù)F(x)在該區(qū)間上的改變量F(a)-F(b)，它將定積分的計算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的函數(shù)值問題.上面公式的重要性不用置疑，然而很多人往往忽視他們之間的另外一個聯(lián)系，也就是從微積分第一基本定理得到的，這也是本文主要討論的內(nèi)容；不定積分與定積分中的變限定積分的關系，絕大部分的高等數(shù)學教材，例如同濟大學的《高等數(shù)學》介紹不定積分與變限定積分的關系，主要就介紹變上限函數(shù)求導定理，并引出原函數(shù)存在定理，同時證明牛頓一—萊布尼茲公式.，現(xiàn)在首先來看變上限積分函數(shù)的求導定理：、'設f(x)在［a,b］上連續(xù)，則(Jxf(t)d］x=f(x).，由此可知Jxf(t)dt是f(x)的一個、a/a原函數(shù)，很多高等數(shù)學教材就只介紹上面這個求導的式子，接下來并沒有強調(diào)另一關鍵的式子：

Jf(x)dx=Jxf(t)dt+C(*)aJf(X)dx來因為要注意的是不定積分Jf(X)dx只能作為運算符號，或者說它表示一類函數(shù)的集合，不能表示f(x)的一個具體的原函數(shù)，特別當f(x)為一個抽象的函數(shù)時，無法用討論它的某一原函數(shù)的性質(zhì)，而Jxf(t)dt的最大優(yōu)點在于它的確定性，可以用它來討論af(x)原函數(shù)的性質(zhì)；如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值等等，以下我們通過幾個例子來看看變限積分函數(shù)Jxf(t)dt的應用以及它的重要性。Jf(X)dx來a例11999年數(shù)學一、二、三、四的一道選擇題:設f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則(A)當f(x)是奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)(B)當f(x)是偶函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)(C)當f(x)是周期函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù).(D)當f(x)是單調(diào)增函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增函數(shù).現(xiàn)用變上限定積分表示f(x)的一個原函數(shù)，記F(x)=Jxf(t)dt并設其中f(x)為連續(xù)a的奇函數(shù)，則F(-x)=J-xf(t)dt=J-xf(-u)d(-u)=Jxf(u)duFapa0—a=Jaf(u)du+Jxf(u)du=0+Jxf(t)dt=F(x)-aaa所以F(x)為偶函數(shù)，應選(A).(A).從上面的例子可以看出，變限定積分比起不定積分的最大優(yōu)越性在于它的函數(shù)形式的確定性，我們再來看一道類似的題目：例2設F(x)為ex2-2x的一個原函數(shù)，且滿足F(o)=0，求J1F(x)dx0ex2-2x本身是一個不可積的函數(shù)，我們根本不能把F(x)表達成初等函數(shù)的形式，這個時候唯一的辦法就是利用變上限積分Jxet2-2tdta解設F(x)=Jxet2-2tdt它是&的一個原函數(shù)，又顯然滿足F(0)=0，于是0J1F(x)dx=J1Jxet2-2tdtdx由于雙重積分里面&關于t的原函數(shù)不可積，所以用交換000積分次序的辦法

J1J"L=J1J1"-2心d="g/尸000t01211—022e=J1et2-21(1-2t)dt=--J1et2-2td(12-2t)0201=—et2-211=—2211—022e又如常微分方程中的一階線性微分方程lp(x)y=q(x),它的通解為y=e-Jp(x)dx(Jq(x)eJp(x)dxdx+C)x.,在p(x)與q(x)并未具體給出時，如何表達初值y(x0)=0下的特解呢？下面是1996年考研數(shù)學二第八題例3設f(x)是連續(xù)函數(shù)，(1)求初值問題〈y，+ay=f(x)O的解y(x)，，其中a是Iyx=0=0k一正常數(shù)；⑵若If(x)<k，(k)為常數(shù))，證明當x>0時，有|y(x)1<-(1-e-ax)。.例3設f(x)是連續(xù)函數(shù)，(1)求初值問題〈若采用不定積分將本題的通解寫成y(x)=e-ax[Jf(x)dx+C]，由于f(x)沒有具體給出，無法由初始條件定出C.如果能夠很好的掌握不定積分與變限定積分的關系，那么就有Jf(x>)eaxdx=Jxf(x")eaxdx+C，將上式代入不定積分表達式中，可得到(1)y(x)=e-ax[Jxf(x>)eaxdx+C2],C2=C+C2，以y(0)=0代入，可得到C2=0，y(x)=e-axJxf(x)e-axdx,0所以⑵y(x)|<e"Jx0f(x)^eaxdx<e-axJxkeaxdx=e-ax—(eax一1)=—(1-e-ax),x>00aa此例一是說明必要時一階線性微分方程的通解應該用變限定積分函數(shù)表示::⑵y(x)|<e"Jx0y=e±0p(x他[Jxq(x)e￡。p(x壯dx+y]，0是要學會將不定積分與變限定積分互相表示的方法。從以上討論可以看出熟練掌握不定積分與變限定積分的關系，即Jf(x)dx=Jxf(t)dt+C，對解決這類抽象函數(shù)的性質(zhì)的題目大有用處，或者可以講，a像上述這類題一定要利用這個式子才能求解，所以我認為講課中必須強調(diào)一下不定積分與變限定積分的關系式子(*).作者簡介：白秀琴（1965-），女，河南淇縣人，平頂山工業(yè)職業(yè)技術學院副教授，主要從事基礎數(shù)學的研究參考文