第16節(jié)平行四邊形

1\中考課標導航

2『必備知識梳理

目錄

3中考真題回顧

4中考考點透視

E

中考課標導航

課標考點考情

吁理解平行四邊形的概念

｀了解四邊形的不穩(wěn)定性

平行四邊形的性質和判定5年4考

4探索并證明平行四邊形的性質l

定理和判定定理

本節(jié)復習目標：l．能準確表述平行四邊形的性質和四種判定方法；2.

能利用平行四邊形的性質進行計算和證明；3．能夠根據(jù)圖形構成選擇

合適的平行四邊形判定方法解決簡單的證明題

E

必備知識梳理

平行四邊形的性質和判定

1兩組對邊分別平行(AD/IBC,AB//CD)

邊

兩組對邊分別相等(AD=BC,AB=CD)

性質1角：兩組對角分別相等（乙BAD＝乙BCD,LA~C=LADC)

對角線：對角線互相平分(AO=CO,B_O=D_O)

葉稱性：中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點．

平行四邊形

D

IIIIII兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

h

,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

____[;

BaeE一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊

角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

面積計算公式：S平行四邊形Anco=a·h(a為邊長，h為該邊上的高）

E

中考真題回顧

平行四邊形的性質及應用

1.(2017山西.6分）如圖，在口ABCD中，延長AB至點E，延長CD至

點F，使得BE=DF．連接EF，與對角線AC交于點O．求證：OE=OF.

解：如答圖？四邊形ABCD是平行四邊形，D

JF

:.AB/ICD,AB=CD,

?:BE=DF,:.AB+BE=CD+DF,

即AE=CF.·:AB/ICD,:.AEIICF,

:.LE=LF,Ll=L2,BE

:.~AOE竺~COF,:.OE=OF.答圖

E

中考考點透視

考點平行四邊形的性質

1.已知四邊形ABCD，從＠iABIICD;@AB=CD;@BCIIAD;BC=AD

這四個條件中選取兩個，使四邊形ABCD成為平行四邊形，下面選取方

式不正確的是CD)

A.@@)B.G)恒）C.@)@)D.@@)

2．如圖，口ABCD中，AC與BD交千點O,AE上BD千E,BD==20,BE=7,

AE=4,則AC的長為_____l_Q?

D

B

E

3．在如圖所示的平面直角坐標系中，A,B,C三點的坐標分別為

(3,4),(7,1),(5,5)．請在圖中畫出以A,B,C為三個

頂點的平行四邊形，并直接寫出第4個頂點D的坐標．（寫出全部

點D的坐標）義幾、

......\·""......................)·····??:??·..··?:.......,

解：如答圖，畫出的平行四邊形共3個，頂點:

.......:.......;...\...::.......::.....:);.:.:-:-....、.．．..．．；．．.．．．．：.．..．．'，:c:::

D的坐標為(1,8)或(9,2)或(5,0).5

4~·····+·····:?···1\C·?·=......:.\·?~·+·?·?·:·--···

隨堂筆記3l······(····+····:·\~.;·\···---f~--··..;

:--~---------~-;-~-::--;-~--=-~-~---~~-:~--:=--=--=--~=-=--~-~---=~-;-~--~-;:~~-=--------::---;-~---=--=~----------!2l·..···<·--····~·······:······!·······1-······;···\:...··:··""'-.::··\..'.....·:··:··_;.;:D

1．作圖的理論依據(jù)是平行四邊形的判定，具體思路i~l.......l........!

ll·······!········l·······i·····:_\·:·.;~?:?··i

和總結見70頁平行四邊形存在性問題“三定一動”;·.D1B

型．iQI123456789X

2．作圖過程中可以運用“平移”的方法，實現(xiàn)“對邊i答圖

平行且相等“.

--------------------.-------.-------一一一一一一一--一一一一一一----.-----.-.-------.--------一一一一一一一一一一一.-..-.---------------------.----------------------------------------

E

4.（教材改編）如圖1,在口ABCD中，點E,F分別為AD,BC上的動

點

(1)若AE=CF,求證：四邊形BEDF是平行四邊形．

E

證明：（1)．：四邊形ABCD是平行四邊形，D

:.ADIiBC且.AD=BC.

又？AE=CF,

.?.AD-AE=BC-CF，即DE=BF.BFl

又·:DEiiBF,圖

:．四邊形BEDF是平行四邊形．

E

(2)如圖2,在（1）的基礎上，連接AC分別交BE,DF千點G,H,

連接DG,BH，判斷四邊形BGDH的形狀并給出證明．

在洶A宮噬政攻刀叮秉并行四邊形．E

,D

:：：柲卿，AB=CD,LABc=LADC.B

圖F

奐4B的尸泊CH.

：：馮如雙泊茂庫件如女LEDF.

即LABG=LCDH.

E

(3)如圖3,若BE..lAC千點G,DF..lAC千點H,連接DG,BH,

則(2)中的結論還成立嗎？為什么？

成立．點撥：方法一，證明EE

,DD

6.ABG竺6.CDH(AAS,如圖

析1)6.ADH竺6.CBG(AAS,

B

2)SB

如圖析或6.ABC=S6.ADCFF

從而得到DH=BG,由“同一平圖析1圖析2

面內垂直于同一直線的兩直線

平行“得到BGIIDH，由“一

組對邊平行且相等的四邊形是

平行四邊形”得證．

E

(3)如圖3,若BE上AC千點G,DF上AC千點H，連接DG,BH，則

(2)中的結論還成立嗎？為什么？

E

方法二：得DH=BG后，證明6.DHG竺6.BGHD

(SAS,如圖析3)，得DG=BH,由“兩組對

邊分別相等的四邊形是平行四邊形”得證；

或得LDGH=LBHG,進而由內錯角相等得B

DGIIBH，結BGIIDH，由“兩組對邊分別平F

行的四邊形是平行四邊形”得證．圖析3

E

5.(2022原創(chuàng)）如圖1,在平行四邊形ABCD中，E,F是直線BD上的兩

點，連接AE,CE,CF,AF.

(1)如圖1,當BE=DF時，求證：四邊形AECF是平行四邊形．

解：（1)如答圖1,連接AC交BD于點H

．．．四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AH=CH,BH=_DH.

·:BE=DF,B

答圖1

:.BH-BE=DH-DF，即EH=_FH

:．四邊形AECF是平行四邊形．

E

5.(2022原創(chuàng)）如圖1,在平行四邊形ABCD中，E,F是直線BD上的兩

點，連接AE,CE,CF,AF.

(2)如圖2,當AE平分乙BAD,CF平分乙BCD時，求證：四邊形

AECF是平行四邊形D

也kB泗邊犁屋肛包且是所節(jié)四邊形，

:4曬Ef)4啞歷：邵FE,BAD=LBCD.

c

:.LABE=LCFJE'.~B

圖2

..:．呻分？且BAD,CF平分LBCD,

：浸膚牡又和梢廬幻5所::21線抄三LDCF,

.-:·~沁偉蛉EP.F(ASA).."·.A~CF.

:．四邊形AECF是平行四邊形．

E

5.(2022原創(chuàng)）如圖1,在平行四邊形ABCD中，E,F是直線BD上的兩

點，連接AE,CE,CF,AF.

(3)當點E,F在圖3所示的位置，且BE=DF時，求證：四邊形AECF

是平行四邊形F

(3)如答圖2,連接AC交EF于點0.

？四邊形ABCD為平行四邊形．

:.AO=CO,BO=DO.E

?:BE=DF,答圖2

.?.Bo+BE=DO+DF,即EO=FO.

:．四邊形AECF是平行四邊形．

第17節(jié)特殊平行四邊形

1\中考課標導航

2『必備知識梳理

目錄

3中考真題回顧

4中考考點透視

E

中考課標導航

課標考點考情

＂理解平行四邊形、菱形、矩形、正1.菱形的性質與判定5年4考

方形的概念，以及它們之間的關系2.矩形的性質與判定5年5考

d

探索并證明矩形、菱形、正方形的3．正方形的性質與判定5年4考

性質定理以及它們的判定定理

4．四邊形綜合5年5考

本節(jié)復習目標：1.能對照圖形、用符號語言和文字準確表述菱形、矩形、正方形

的性質和判定；2.能利用菱形、矩形、正方形的性質結合其他常用知識解決中

等難度的習題；3．能夠根據(jù)圖形構成選擇合適的菱形、矩形、正方形判定方法解

決基礎及中等難度證明題，并能用準確的符號語言進行表達

E

必備知識梳理

一、菱形的性質與判定

邊：四條邊相等(AB=BC=CD=AD)

性質［角：對角相等（乙BAD=乙BCD，乙ABC=兇ADC)

菱形對角線：對角線互相垂直平分(OA=OC,OB=OD,AC..lBD)

J對稱性：既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形（對稱軸是直線

B

AC，直線BD；對稱中心是點0)

c

|菱形性質的拓展探究1

菱形的對角線平分一證法一（等腰三角形三線合一）證法二

組對角嗎？A由題可知叢ABD是等腰三角形，（三角形全等）:

答：是的B~三：江掃一:DiAD．用SSS,SAS,HL證明

"----------------------------------~~--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------·

E

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（菱形的定義）

判定［邊｛四條邊相等的四邊形是菱形

菱形對角線：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

__

，金_AC·BD

_

面積公式：S菱形ABco=AE?CD或S菱形ABCD=2，即菱形的

B

面積等千對角線乘積的一半

c

對角線互相垂直的四邊形面積拓展探究

IA

S四邊形ABCD

探究：上述面積公式S菱形ABCJJ=

=S1:,.AB/J+S1:,.CBJJ

AC.BD1

是菱形特有的面積公式嗎？=::BD·(AO+CO)

2Df

答：不是，對角線互相垂直的四邊形Bc=-=BD·AC

都可以用該公式計算面積，如右圖2

E

＿、_矩形的性質與判定

邊：對邊平行且相等(AB/ICD,AB=CD,ADIiBC,AD=BC)

角：四個角都是直角（乙BAD=乙ABC=乙BCD=乙ADC=90°)

性質1對角線：對角線互相平分且相等(OA=OB=OC=OD)

AEB矩形對稱性：既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形（對稱軸是直

線EG、直線FH，對稱中心是點0)

邊：有一個角是直角的＿

判定1角：有三個角是直角的四邊形是矩形

對角線：對角線相等的平行四邊形是矩形

面積公式：S矩形ABC廳AB-BC

E

1I

,直角三角形斜邊中線定理的探究

”'，＇

I'A

，矗．，＇｀｀．，＇｀．，＇，＇，＇

ADA已';令D

義夕-;--i-

＿尸定理：直角三角

BCBw;,...CB

li1iIIII'III'IIIIIIt-二c?形斜邊上的中線

由矩形對角線的性質如圖，隱去LADC在Rt~ABC中，等千斜邊的一半

41曰寸。AC)BC)C。D

__=__

OA=OB=OC

－}::}}i

_E

＿、一正方形的性質與判定

邊：四條邊都相等(AB=BC=CD=AD)

角：四個角都是直角（乙BAD=乙ABC=乙BCD=乙ADC=90°)

性質」

對角線：對角線相等且互相平分OA=OB=OC=OD,AC..lBD)

正方形對稱性：既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形（對稱軸是直線

AC、直線BD、直線EG、直線FH，對稱中心是點0)

有一組鄰邊相等，并且有一個角是

E

判定叫做止方形

DHC|1邊：有一組鄰邊相等的矩形是正方形

廠個角是直角的且衛(wèi)是正方形

對角線互相垂直的矩形是正方形

對角線相等的菱形是正方形

AC·BD

面積公式：S

正方形ABC廳A爐或S正方形ABC廳：一了一

E

1拓展：平行四邊形和特殊四邊形之間的關系

(1)從邊與角的角度看

一個角是直角且有一組鄰邊相等

平行四邊形

(2)從對角線角度看

對角線相等且互相垂直

平行四邊形

E

中考真題回顧

考點一菱形的性質即判定

1.(2021山西13題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交千點o,

5-2

BD=-8,AC=6,OE/IAB，交BC千點E,則OE的長為.

D

BE

E

考點二矩形的性質即判定

2.(2012山西18題）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線

AC平行千x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30°,OC=2,則點B的坐標

為(2,2西．y

cA

。x

E

中考考點透視

考點一菱形的性質即判定

1.(2022原創(chuàng)）在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O，過點A

作AE..lBC千點E，交BD千點F.

(1)如圖1,若AC=6，乙ABC=60°，則LABC的形狀為等邊三角形，

乙ABD=~,BD的長為6西．D

BE圖l

E

1.(2022原創(chuàng)）在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交千點O，過點A

作AE_l_BC于點E，交BD于點F.

(2)如圖2,在圖1的基礎上連接OE,若AC=6,BD=8.

24

＠菱形ABCD的面積為24,AE的長度為--4----,OE的長度為3.

79D

@BF的長度為__i__,OF的長度為4.

BE

圖2

E

2.已知四邊形ABCD是平行四邊形．BF平分乙ABC3乞m千點F,AE上BF

千點O，交BC千點E,連接EF.

求證：四邊形ABEF是菱形．AFD

證明：？四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ADIiBC.:.LEBF=LAFB.

·:BF平分LABC,:.LABF=LEBF.B

:.LABF=LAFB.:.AB=AF.

?:BF.1.AE,:.LAOB=LEOB=90°.

?:BO=BO,:.6.BOA竺6.BOE(ASA).

:.AB=EB.:.BE=AF.

?:BEIiAF,．．．四邊形ABEF是平行四邊形．

?.?AB=AF,．．．四邊形ABEF是菱形．

E

考點二矩形的性質與判定

3.(2022原創(chuàng)）在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交千點0.

ADAA

BccBc

BEE

12

圖圖圖3

(1)如圖1,若乙AOB=60°,BD=B,則AB的長為4.

(2)若AB=3,BC=4,E為BC上一動點．

旦

＠如圖2,連陪M咬BD千點F,當AE..lBD時，AF的長為5；當AE平分乙BACH寸，

BE的長為＿五—·

12

＠如圖3,過點E作EM..lBD千M,EN..lAC千N,則EM+E對內值為王＿．

E

4.(2022原創(chuàng)）（）如圖11,已知四邊形ABCD是矩形，對角線ACBD相

交千點0,AEIIBD,DEi/AC，則四邊形AODE是菱形.

(2)如圖2,已知四邊形ABCD是菱形，DFIIAC,DFIIDB，求證四邊

形DOCF是矩形．EDF

(2)·:DFIIAC,CFIIDB,D

AAc

:．四邊形DOCF是平行四邊形．

又．．．四邊形ABCD是菱形，

BCB

:.AC上BD.~

:.LDOC=90°.圖l圖2

:．四邊形DOCF是矩形．

E

隨堂筆記

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

矩形的對角線把矩形分割成四個等腰三角形且四個等腰三角形

的面積相等．當兩條對角線的夾角是60°時，含60°角的兩個等腰三

角形為等邊三角形

E

5.(2022原創(chuàng)）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點，E

是射線BA上的一個動點，連接EO,EO的延長線交射線DC千點F.

(1)當EF上BD（請?zhí)砑右粋€條件）時，四邊形EBFD是菱形，請

說明理由．

解：（1)理由如下：

·:0是BD的中點，．．．BO=DO.

又？EF上BD,

:.EF垂直平分BD.:.EB=ED,FB=FD.？四邊升

:.AB//DC.:.LEBO=LFDO.

又？LEOB=LFOD,:.~EOB竺~FOD(ASA)..:.EB=FD.

:.EB=ED=-FB=FD.．．．四邊形EBFD是菱形．

E

5.(2022原創(chuàng)）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點，E

是射線上的一個動點，連接EO,EO的延長線交射線DC::于點F.

(1)當EF~BD（請?zhí)砑右粋€條件）時，四邊形EBFD是菱形，請說

明理由

理由如下：

·:o是BD的中點，．．．BO=DO.

．．．四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB/IDC.:.LEBO=LFDO．又

?:LEOB=LFOD.:.6.EOB竺6-FOD.

:.EO=FO,．．．四邊形EBFD是平行四邊形．

又...EF=BD,．．．四邊形EBFD是矩形．

E

考點三正方形的性質與判定

6.(2022原創(chuàng)）如圖1,已知在正方形ABCD中，AB=2.

A

ADD

Bc

BE

圖1圖2

(1)如圖2,在圖1的基礎上連接AC,BD相交千點0,F為BD上的動點，連接AF

并延長交BC千點E.

＠若乙BAE=15°,則乙AFB的度數(shù)為l20°.

＠若DF=DA時，則乙AFD的度數(shù)為67.5°.

＠若AF平分乙BAC，則BE的長為J;/i-2.

E

6.(2)(I)等邊三角形EFB與圖1中的正方形ABCD按如圖3所示的位置擺放，使BE

與AB重合，連接FD,FC，則乙FDC的度為15°.

＠等邊三角形EFB與圖1中的正方形ABCD按如圖4所示的位置擺放使BE與AB重合，

連接FD,FC，則點F到DC的距離為長爐－2.

＠等邊三角形EFB與圖1中的正方形ABCD按如圖5所示廬位置擺放，點E,F在AD,

42

或2~-2~

DC邊上，則6.EDF為等腰直角三角形，BF的長為立豆土1·

DDD

A(E)A(E)AE

F

FC

BccB

圖5

圖3

7.(20221,ABCD中，EBC上的一個點，F(xiàn)巨

原創(chuàng)）如圖在正方形是為

CD上的一個點

(1)當BF=AE時，求證：BFj_AE.AD

八I

證明：（1)？四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)

:.LABE=LC=90°,AB=BC.

?:AE=BF,Bc

E

:.Rt6.ABE竺Rt6.BCF(HL).

圖1

:.LBAE=LCBF.

·:LABF+LCBF=90°,

.?.LBAE+LABF=90°.

:.LAGB=90°,:.BF上AE.

E

7.(2022原創(chuàng)）如圖1,在正方形ABCD中，E是BC上的一個點，F(xiàn)為

CD上的一個點

變式：當BF上AE時，BF=AE是否成立？請說明理由．

AD

證明：變式：成立．

？四邊形ABCD是正方形，

:.LABE=LC=90°,AB=BC.F

?:AEJ_BF,c

:.LAGB=90°.B

E

.?.LBAE+LABF=LCBF+LABF.

圖1

:.LBAE=LCBF.

:.6.ABE竺6.BCF(ASA).

.·.AE=BF.

E

7.(2022原創(chuàng)）如圖1,在正方形ABCD中，E是BC上的一個點，F(xiàn)為CD

上的一個點

(2)在(1)的基礎上，連接對角線AC,BD相交千點O,AE交BD千H,

BF交AC千M，求證：OH=OM.AD

(2)．．．四邊形ABCD是正方形，

:.ACJ_BD,OA=OB,:.LAOH=LBOM=90°.FC

:.LOBM+LOMB=90°.

B

?:BFJ_AE,:.LAGF=90°.E

.?.LOAH+LOMB=90°.圖2

.?.LOAH=LOBM.

:.~AOH竺~BOM(ASA).

.?.oH=OM.

E

8.(2022原創(chuàng)）（1)如圖1,在正方形ABCD中，E為BD上一點(BE

1

<-BD)，連接AE,CE，則AE與CE的數(shù)量關系為AE=CE.

2

(2)如圖2,BD上取點F，使DF=BE,連接AF,CF．求證四邊形

AECF是菱形．D

AAD

(2)如答圖1,連接AC交BD于點0,

？四邊形ABCD是正方形，

人AC上BD,OA=OC,OB=OD.c

BBc

圖2

?.?DF=BE,.?.OB-BE=OD-DF,.?.OE=O質1答圖1

·:OA=OC,．．．四邊形AECF是平行四邊形．

·:AC..LEF,．．．四邊形AECF是菱形．

E

(3)如圖3,若EA=EM,判斷ME與EC的位置關系，并說明理由

(3)ME上EC，理由如下：AMD

？四邊形ABCD是正方形，

:.AB=BC=CD=DA,LBAD=LBCD=LADC=90°,

.?.LADE=LCDE=45°.

又？DE=DE,.·.~DEA竺~DEC(SAS).Bc

:.LEAD=LECD.

圖3

又？EA=EM,.·.LEAM=LEMA.

?:LEMA＋乙EMD=180°,

:.LECD+LEMD=IB0°.:.LADC+LMEC=IB0°

.:.LMEC=90°..:.ME上EC.

E

變式：若將(3)中條件變?yōu)椤斑^點E作ME上EC交AD千點M“請判斷

EA與EM的數(shù)量關系，并說明理由．

變成E.Jl.丑CfEM，理由如下：

如答展Ec=遠）點E作EG..LAD于點G,EH..LCD于點H.GM

AKL.IAD

:：：四位一扛C-LMEH,

即嘩B”也lllf.,LBAD=LBCD=-LADC=90°.

:．么邸一&0ASA).H

:.B~'EC.心C(l)得EA=.EC,Bc

:::E&上四．EH上DC.

答圖2

:.EG=EH,LEGD=LEHD=LGDH=90°.

.?.LGEH=90°.

_

隨堂筆記

正方形常見的基木圖形歸納如下：

正方形與等邊三角形組合

l

AAED

lBDA

F

CBl,L_J.JVI.J(`CB~C

!:iBAE蘭t:iBCF