2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：圖像的平移、折

疊、旋轉(zhuǎn)（10題）

一.解答題（共10小題）

1.（2021?吉林模擬）如圖，矩形ABCQ中，A8=8,8C=6,點(diǎn)P為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

△4BP沿AP折疊，點(diǎn)B落在8'處，過點(diǎn)8'作8,EHBC交AP于E,連線BE.

（1）判斷四邊形8PB'E的形狀，并說明理由.

（2）點(diǎn)P移動(dòng)過程中，C8'是否有最小值？如果有，請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值；如果沒

有，請(qǐng)說明理由.

備用圖

2.（2019?廣陵區(qū)校級(jí)二模）如圖，將矩形先過點(diǎn)A的直線乙1翻折，點(diǎn)D4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

D）剛好落在邊8c上，直線L1交OC于點(diǎn)F；再將矩形488沿過點(diǎn)A的直線上翻折,

使點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在A。'上，EG的延長線交A。于點(diǎn)H.

（1）當(dāng)四邊形4E。'”是平行四邊形時(shí)，求乙4。'”的度數(shù).

3.（2011?河西區(qū)二模）如圖，將一個(gè)邊長為1的正方形紙片ABCQ折疊，使點(diǎn)8落在邊

上不與A、。重合.MN為折痕，折疊后5,C與DN交于P.

I連接88',那么88'與的長度相等嗎？為什么？

II設(shè)AB'=x,求），與x的函數(shù)關(guān)系式；

IH猜想當(dāng)8點(diǎn)落在什么位置上時(shí)，折疊起來的梯形MNC'B'面積最?。坎Ⅱ?yàn)證你的猜

想.

4.(2011?香坊區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，軸，將△AB。

沿翻折后，點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，AO交y軸于點(diǎn)區(qū)過點(diǎn)。作DC_Lx軸于點(diǎn)C,OB=

5,OC=3.

(1)求點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AO以遙個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q

從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AD以3個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)△P。。的面積為S(S#0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，求S與l之間的函數(shù)關(guān)系式

(直接寫出自變量f的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)Q作射線AO的垂線交射線AO于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)

當(dāng)t為何值時(shí)，MN=^-PN.

4

5.(2011?陜西)如圖①，在矩形A8C。中，將矩形折疊，使B落在邊(含端點(diǎn))上，

落點(diǎn)記為E,這時(shí)折痕與邊BC或者邊(含端點(diǎn))交于凡然后再展開鋪平，則以B、

E、尸為頂點(diǎn)的△BEF稱為矩形ABCQ的“折痕三角形”

(1)由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCO的任意一個(gè)“折痕△BEF”一定是一個(gè)

三角形

(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB=2,8c=4,當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于

A。的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖③，在矩形A8C。中，AB=2,BC=4,該矩形是否存在面積最大的“折痕△

6.(2020?天津二模)將一張直角三角形紙片ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x

軸上，點(diǎn)C在y軸上，/ACB=90°,且AC=8,BC=6.

(I)如圖①，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(II)如圖②，沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△A。。和△BC202兩個(gè)三角形，

將△ACIDI沿直線DiBCAB)方向平移(點(diǎn)A、D1、。2、B始終在同一直線上)，當(dāng)點(diǎn)

與點(diǎn)8重合時(shí)停止平移.

①如圖③，在平移的過程中，C1O1與BC2交于點(diǎn)E,ACi與C2?、C2B分別交于點(diǎn)尸、

P,當(dāng)點(diǎn)。1平移到原點(diǎn)時(shí)，求。1E的長；

②在平移的過程中，當(dāng)△ACiDi和△BC2O2重疊部分的面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Di的坐

7.(2019?津南區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4,0),8為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且

LAB,OB=2.

(I)如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo);

(II)如圖②，將△0A8沿x軸向右平移得到△0'A'B',設(shè)。。'=m,其中0<〃?

<4,連接BO',A2與。'B'交于點(diǎn)C.

①試用含，"的式子表示△8C0'的面積S,并求出S的最大值；

②當(dāng)△BCO'為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

8.(2022?信陽一模)在△ABC中，AB^AC,ZBAC=90°，點(diǎn)、D,E分別是AC,BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是直線DE上一點(diǎn)，連接4P,將線段以繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段

連接AM,CM.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖(1),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，線段CM與PE的數(shù)量關(guān)系是,ZACM

(2)探究證明

當(dāng)點(diǎn)P在射線EC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)E重合)，(1)中結(jié)論是否一定成立？請(qǐng)僅就圖(2)

中的情形給出證明.

(3)問題解決

9.(2021?安陽一模)在△ABC中，AB=4C=3,N8AC=90°,將邊A8繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)至4B',記旋轉(zhuǎn)角為a.分別過A,C作直線88,的垂線，垂足分別是E,F,連接

B'C交直線AF于點(diǎn)Q.

B'

A

/

圖2

F

圖1

(1)如圖1,當(dāng)a=45°時(shí)，△AEF的形狀為；

(2)當(dāng)0°<a<360°時(shí)，

①(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明

理由：

②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段AE=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長.

10.(2021?濟(jì)南二模)【問題探究】

(1)如圖1,△ABC和△￡>￡(:均為等腰直角三角形，/ACB=NDCE=90°,點(diǎn)B,D,

E在同一直線上，連接A。，BD.

①請(qǐng)?zhí)骄緼D與2。之間的位置關(guān)系？并加以證明.

②若AC=8C=JT5，DC=CE=近,求線段4。的長.

【拓展延伸】

(2)如圖2,△ABC和△￡>￡(?均為直角三角形，ZACB=ZDC￡=90°,AC=5/五，

BC=RCD=M，CE=1.將△￡>€■￡繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角NBCD

為a(0°Wa<360°),作直線BO,連接A。，當(dāng)點(diǎn)8,D,E在同一直線上時(shí)，畫出圖

形，并求線段4。的長.

/kB)

C

E

圖

1E圖2

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：圖像的平移、折

疊、旋轉(zhuǎn)（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2021?吉林模擬）如圖，矩形A8CD中，AB=8,BC=6,點(diǎn)P為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

△4BP沿AP折疊，點(diǎn)8落在8,處，過點(diǎn)8'作"E〃BC交AP于E,連線BE.

（1）判斷四邊形8P8'E的形狀，并說明理由.

（2）點(diǎn)P移動(dòng)過程中，CB'是否有最小值？如果有，請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值；如果沒

有，請(qǐng)說明理由.

備用圖

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】（1）先判斷出再判斷出進(jìn)而得出8'E

=B'P,即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出點(diǎn)⑶在AC上時(shí)，89最小，再利用勾股定理求出AC,即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）四邊形BP8E是菱形，理由：

由折疊知，BP=B'P,ZAPB=ZAPB',

"：B'E//BC,

：.NAPB=ZB'EP,

：.ZAPB'=ZB'EP,

：.B'E=B'P,B'E//BP,

：.四邊形BPB'E是平行四邊形,

；BP=B'P,

.??。8尸8萬是菱形;

(2)如圖1,

圖1

連接AC,由折疊知，AB'=AB=S,

'：AB'+B'C^AC,

當(dāng)點(diǎn)在AC上時(shí)，8。最小，最小值為AC-AB',如圖2,

?.?四邊形48C。是矩形，

.?.NA8C=90°,

在RtZ\4BC中，AB=8,BC=6,

根據(jù)勾股定理得，

AC=^AB2+BC2=IO,

，8'C最小=AC-AB'=10-8=2.

：.CB'有最小值是2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，解決本題

的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

2.(2019?廣陵區(qū)校級(jí)二模)如圖，將矩形ABCD先過點(diǎn)A的直線b翻折，點(diǎn)D4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

D'剛好落在邊BC上，直線必交。C于點(diǎn)B再將矩形ABC。沿過點(diǎn)A的直線上翻折,

使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在A。'上，EG的延長線交A力于點(diǎn)H.

(1)當(dāng)四邊形”是平行四邊形時(shí)，求NA。'〃的度數(shù).

(2)當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)。剛好重合時(shí)，試判斷AAEF的形狀，并說明理由.

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).

【分析】(1)如圖1中，在RTZ\ABC中，由A。'=2AB推出/4D'8=30°,再證明

四邊形AE。'H是菱形即可解決問題.

(2)如圖2中，先證明△￡>￡>'GgADD'C得出。G=OC=A8=AG,發(fā)現(xiàn)△AG。、△

GED，、△OEC都是等腰直角三角形，再證明△ABEg^EC尸即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖1中，：四邊形AE。'H是平行四邊形，

：.AG=GD,

■:EHLAD,

四邊形AE?！笔橇庑危?/p>

AZAD'H=NAD'B,

-：AAEG是由ZXAEB翻折得到，

：.AB=AG=D'G,

?.?四邊形ABC。是矩形，

."8=90°,

：.ZAD'3=30°,

：.ZAD'H=30°.

(2)結(jié)論：△AEF是等腰直角三角形.

理由：如圖2中，連接.

?.?四邊形ABCD是矩形，

J.AD//BC,ZADD1=NDD'C,AB=DC,ZB=/C=90°,

"：AD=AD',

AZADD'=ZAD'D,

：.ZDD'A=NDD'C,

在△O。'G和△￡>￡)'C中,

<ZDGD/=ZDCDZ

,ZDDZG=ZDDZC，

DD'=DDy

:.叢DDG^/XDD1C,

：?DG=DC=AB=AG,

VZAGD=90°,

AZGAD=ZGDA=ZAD1E=ZDEDf=45°,

:?EG=GD'=BE=CD',

VZADrB+NFD'C=90。,

：.ZFDrC='D'FC=45°,

:.CD'=CF=BE,

???NCED=NCDE=45°,

：.EC=CD=AB,

在△ABE和△￡(7/中，

'AB=EC

,ZB=ZC=90°，

BE=CF

:?4ABE當(dāng)AECF,

：.AE=EF,NBAE=/CEF,

9：ZBAE+ZAEB=90°,

AZAEB+ZCEF=90°,

AZAEF=90°,

???△AE尸是等腰直角三角形.

京圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性

質(zhì)、等腰直角三角形的判定等知識(shí)，第一問的關(guān)鍵是菱形性質(zhì)的應(yīng)用，第二個(gè)問題的關(guān)

鍵是正確尋找全等三角形，利用特殊三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.（2011?河西區(qū)二模）如圖，將一個(gè)邊長為1的正方形紙片A8CZ）折疊，使點(diǎn)3落在邊

上不與A、力重合.MN為折痕，折疊后夕C與。N交于P.

I連接8夕，那么83'與的長度相等嗎？為什么？

II設(shè)AB'=x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

IH猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時(shí)，折疊起來的梯形MNC'B'面積最??？并驗(yàn)證你的猜

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）.

【分析】I、根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，NA=NMRN=90°,又=NRNM,RN

=AB=\,可知△ABB'空ARNM,繼而可知88'=MN；

II、由I可知AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

IIL由［［可得到MB'和CN的表達(dá)式，繼而根據(jù)梯形的面積公式求出S的表達(dá)式，利用

二次函數(shù)求出S的最小值.

【解答】解：I、過點(diǎn)N作垂足為R,連接BB'交MN于點(diǎn)Q.

則由折疊知，△MBQ與△M8'。關(guān)于直線MN對(duì)稱，

:.MQLBB'.（4分）

在ARNM和AABB'中，ZA^ZMRN=90°,（5分）

AABB'+NBMQ=NRNM+NBMN=90°

：.AABB'=/RNM,(6分)

又：RN=AB=1,(7分)

：.BB'=MN.(8分)

II,由I可知△MQBsaVAB,

?「AB'=AB=BB',(9分)

MQBQMB

'：AB'=x,

則BB'=5/1+X2,SQ=ly/1+x2,代入上式得:

BM=1.(x2+l).(10分)

2

IIL由H得：(?+l),

2

CN=BR=BM-(Al)-x=A(x-1)2,(11分)

22

'：MB'//NC',

四邊形MNC'B'是梯形，

.,.5=A[A(x-1)2+A(?+l)]X1=A(/-X+1),(12分)

2222

由5=A(X2-X+1)=A(x--1)2+3,

2228

故當(dāng)X=L時(shí)，即B落在A。的中點(diǎn)處時(shí)，梯形面積最小，其最小值為3.

28

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了翻折變換，要注意翻折不變性和正方形的性質(zhì)等隱含條件.題目還

涉及二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng).

4.（2011?香坊區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，軸，將△AB。

沿A。翻折后，點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，交y軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)C,OB=

5,OC=3.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)?從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段A。以找個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q

從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線A。以3個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)△P。。的面積為S（SW0）,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒，求S與r之間的函數(shù)關(guān)系式

（直接寫出自變量，的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)。作射線的垂線交射線A。于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)"，

當(dāng)，為何值時(shí)，

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)；點(diǎn)的坐標(biāo)；三角形的面積；

等腰三角形的判定；勾股定理.

【分析】（1）作。于H,由條件和勾股定理可以求出CO=8H=4,BC=DH=8,

在中由勾股定理得A4,從而可以求出A8,進(jìn)而可以求出4的坐標(biāo).

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段AO上時(shí)，過點(diǎn)P作尸F(xiàn)LAO于F,當(dāng)點(diǎn)。在射線AO上時(shí)，過點(diǎn)尸

作PG_LA。于G,利用三角形相似就可以用r表示出PF或PG,再利用三角形的面積公

式就可以表示出△PD。的面積.

（3）如圖3,如圖4,作ORLMN,利用三角形相似的性質(zhì)可以用含f的式子

表示出PN、MN,再根據(jù)就可以求出其滿足條件的，值.

4

【解答】解：（1）在RtaOQC中，由勾股定理，得

DC=4.過點(diǎn)。作QH_LAB于點(diǎn)”，則在RtZiA。”中，

AH2+DH2=AD1

：.（4）-4）2+82=AD2,

.??AD=10,

，A(-5,10)

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段A￡>上時(shí)，過點(diǎn)P作尸F(xiàn)LAZ)于F.

.,.00=10-3f,AP=?,由△APfs/vion,

.PF'&

?~w,

：.PF=t,

FPQO=2Q?PF=-3p+5f(OVrV也).

223

當(dāng)點(diǎn)。在射線AC上時(shí)，過點(diǎn)P作PGLAO于G,

：.QD=3t-10,AP=?,同上得：PG=t,

：.S^PQD=l.QD-PG=^-t2-5t(12<^5).

(3)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AQ上時(shí)，過點(diǎn)。作OKLMN于K,

：./\MOK^/\ODC,

"：OK=QD=\0-3t,QN=_|f,

：.MK=^-(10-3r),MQ=&(10-3r)+5MN=MQ-QN=-空/+至,

4442

?：MN=J^-PN,

4

；.MV=Y2_（AN-AP）,

4__

/.-里＞?+空=?/!.（?娓t-疾t）,

4242

；.r=20

7

當(dāng)點(diǎn)Q在射線AD上時(shí)，過點(diǎn)O作ORLMN于R,

:.△MORS^ODC.

'：OR=QD=3t-10,QN=_|/.

：.MR=2,10）,/WS=5（3/-10）=一旦什型，MN=QN-MQ=^t-至,

444242

?：MN=^-PN,

4

:.MN=^^-（AN-AP）,

4__

電-至=近.（則Ll-心），

4242

.”4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，勾股定理的運(yùn)用，相似三角

形的判定與性質(zhì).

5.（2011?陜西）如圖①，在矩形ABCO中，將矩形折疊，使8落在邊A。（含端點(diǎn)）上，

落點(diǎn)記為E,這時(shí)折痕與邊BC或者邊8（含端點(diǎn)）交于F,然后再展開鋪平，則以反

E、尸為頂點(diǎn)的ABEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABC。的任意一個(gè)“折痕△BEF”一定是一個(gè)

等腰三角形

（2）如圖②，在矩形A8C。中，AB=2,8c=4,當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于

40的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖③，在矩形ABC。中，A8=2,BC=4,該矩形是否存在面積最大的“折痕△

BEF"？若存在，說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在，為什么？

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論.

【分析】(1)由圖形結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答；

(2)由折疊性質(zhì)可知，折痕垂直平分BE,求出AB、AE的長，判斷出四邊形A8FE為

正方形，求得F點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)矩形存在面積最大的折痕三角形8EF,其面積為4,

①當(dāng)尸在邊。C上時(shí)，SABEFWL矩形ABCD,即當(dāng)月與C重合時(shí)，面積最大為4;

2

②當(dāng)尸在邊C￡＞上時(shí)，過尸作尸”〃BC交AB于點(diǎn)”，交.BE于K,再根據(jù)三角形的面積

公式即可求解；再根據(jù)此兩種情況利用勾股定理即可求出AE的長，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：(1)等腰.

(2)如圖①，連接BE,畫BE的中垂線交BC與點(diǎn)F,連接EF,/XBEF是矩形ABCD

的一個(gè)折痕三角形.

,折痕垂直平分BE,AB=AE—2,

...點(diǎn)4在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過點(diǎn)4.

四邊形ABFE為正方形.

:.BF=AB=2,

：.F(2,0).

(3)矩形ABC。存在面積最大的折痕三角形8EF,其面積為4,

理由如下：①當(dāng)F在邊0C上時(shí)，如圖②所示.

S^BEF〈工S爐mABCD,即當(dāng)尸與C重合時(shí)，面積最大為4.

2

②當(dāng)尸在邊CD上時(shí)，如圖③所示，

過F作FH〃BC交AB于點(diǎn)H,交BE于K.

,/SAEKF=LKF?AHWLHF?AH=LS算%AHFD,

222

SABKF=LKF?BHW^HF*BH=三矩形BCFH,

222

矩形ABCD=4.

2

即當(dāng)尸為CQ中點(diǎn)時(shí)，△BEF面積最大為4.

下面求面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo).

①當(dāng)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖④所示.

由折疊可知CE=CB=4,

在心△(?￡)￡：中，￡O=A/CE2_CD2=^42_22=2V3.

；.AE=4-273.

：.E(4-2A/3-2).

②當(dāng)尸在邊OC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，如圖⑤所示.

此時(shí)E(0,2).

③④

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到矩形及正方形的性質(zhì)，難度較大，在解

答此題時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類討論.

6.(2020?天津二模)將一張直角三角形紙片ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x

軸上，點(diǎn)C在y軸上，ZACfi=90°,且AC=8,BC=6.

(I)如圖①，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(II)如圖②，沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△A。。和△BC2。兩個(gè)三角形，

將沿直線D2B(AB)方向平移(點(diǎn)4、。1、￡>2、B始終在同一直線上)，當(dāng)點(diǎn)

與點(diǎn)B重合時(shí)停止平移.

①如圖③，在平移的過程中，GO與BC2交于點(diǎn)E,ACi與C2。、C2B分別交于點(diǎn)尸、

P,當(dāng)點(diǎn)功平移到原點(diǎn)時(shí)，求力1E的長；

②在平移的過程中，當(dāng)△4。。和△BC2￡>2重疊部分的面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D\的坐

標(biāo).(直接寫出結(jié)論即可)

【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(I)根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論;

(II)①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBEDI=NBC2￡>2,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DC=

DA=DB,即CIQI=C2￡>2=BQ2=A￡)I,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

②如圖③，設(shè)平移的距離為x,△ACiQi和△8C2O2重疊部分的面積為y,由題意

得，AB=10,AD\—BDI—C\D\—C2D2—5,求得D\E=BD\—D2F—ADI=5-x,得到

C2F=CIE=X,過E作EM_LOIB于M,由平移知，NC2D2O=NEDiB,根據(jù)三角函數(shù)

cQ

的定義得到圖-=—--,求得人=2415-X),s2kBED,=LxBOiXH=_ll(5-x)

1

ED1C2D225225

2,求得sinB=：l,cosB=W,得到PC2=當(dāng)，PF=^x,5AFC,P=^-PCiXPF=-Lr2,

5555'225

根據(jù)三角形的面積公式列函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)在Rt/viBc中，^=VAC2+BC2^VS2+62=,0,

TAU8C=2A8?0C,

22

.11

??yX8X6=yX10XOC)

.?.0C="

5

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,24),

5

(II)①：CQ〃C2O2,

：.NBEDI=/BC2D2,

；NABC=90°,CO是斜邊上AB上的中線，

：.DC=DA=DB,

即C\D\=C2D2=BDI^AD\,

：./BC2D2=NB,

:.NBEDI=NB,

：.ED\=BD\,

在RtABDiC2中，BDi22=2(^)2=-y,

=AJBC2-D1C2^6-

.".￡)!￡■=IS；

5

②如圖③，設(shè)平移的距離為X,△A?！泛汀鰾C202重疊部分的面積為y,

由題意得，A8=10,AD\=BD2=C]D[=C2D2=51

V￡>2￡>I=X,

AD\E=BD\=DiF=ADi=5-x,

C1F=C\E=xf

過E作EMJ_D18于M,如下圖所示，

plfC9O

在和Rt^C2n2。中，sinZEDiM=-^-,sinZC2f>20=--—,

ED]C2D2

.EMc2°

ED]，2。2

24

???——h^―—―5,,

5-x5

：.h=24(5-X/i,sABED,=Lx201義"=辿(5-x)2,

251225

VZCI+ZBC2￡>2=90O,NCI=NC2FP,

：.ZFPC2^90°,

?:NBC2D2=NB,

sinB=—,cosB=—,

55

：.PC2=^-x,PF=^-x,SAFC,P=ApC2XPF=_Lr2,

55‘225

2

Ay=SABC,D,-SABED.-SAFC,P=ASAABC-(5-x)-A?,

221222525

?,?y=--1^A-2+.^T=--1^.(x-A2.)2+8(04W5),

255253

.?.當(dāng)x=￥時(shí)，y有最大值8,

此時(shí)，D\(空，0).

15

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換的綜合題，平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積的

計(jì)算，直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

7.(2019?津南區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4,0),2為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且。8

LAB,OB=2.

(I)如圖①，求點(diǎn)8的坐標(biāo);

(II)如圖②，將△OAB沿x軸向右平移得到△(?'A'B',設(shè)。。'=m,其中0<〃?

<4,連接B。'，A8與。'B'交于點(diǎn)C.

①試用含小的式子表示△8C0'的面積S,并求出S的最大值；

②當(dāng)△8C0'為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

【專題】綜合題.

【分析】（I）由OBLAB,0A=4,。8=2得出△AOB是有一個(gè)角為30°的直角三角形,

簡單計(jì)算即可；

（II）①由平移用，〃表示出8C,O'C,建立S=?[-（w-2）2+4]>即可；

8

②利用△BCO'為等腰三角形，則有CB=C。'確定出〃?，再利用相似求出8,即

可.

【解答】解：（I）-：OBLAB,0A=4,08=2,

.*.N4OB=60°,NOAB=30。,AB=243,

過點(diǎn)B作BDLOA,

.?.00=1,BD=?,

：.B（1,V3）.

（ID①0'B'是△OAB平移得到，

...NA'O'B'=NAO8=60°,O'B'±AB,

VOO'=m,

：.A0'=4-〃?，

：.O'C=2AO'=上（4-W，AC=J^AO'=近（4-%），

2222

:.BC=AB-AC=J^m,

2_

C=^-m（4-w）=返[-（巾-2）2+4],

288

當(dāng)）?=2時(shí)，S般大=M

'2

②如下圖，作BE_LOA,CD±OA,

由①有，AO'=4-in,O'C=A(4-w),AC=^-(4-m),

22

：.CB=AB-AC=2代-返(4-w)=

22

由平移得，AACO'=NABO=90°,

.?△BCO'為等腰三角形,

,.CB=O'C,

(4-tn'),

22

\m=2(V3-1).

BEXOA=OBXAB,

R—OBXAB/X

OK—

AE=MBE=3,

：/XACO'S^AB。，

.CD=A0’

■bA，，

CD=A0'.xBE=三XF=4-2(依-1)xy=浦-3,

O'A'442

：BELOA,CDLOA,

,.BE//CD,

?ADCD

,AE'BE'

\AD=^-XAE=3,

BE2_

*.OD=OA-AD=4-3)=3?T,

_22

?Q(3V3-13-^3~3-)

"-2--2-,

【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，考查了平移得性質(zhì)，一個(gè)角為30°的直角三角形，相

似三角形的判定和性質(zhì)，用機(jī)表示出有關(guān)線段如(AO'=4-m,O'C=1(4-m\

2

AC=Y2(4-〃)。3=退")是解本題的關(guān)鍵.

22

8.(2022?信陽一模)在△A8C中，AB=AC,NBAC=90°,點(diǎn)。，E分別是AC,BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是直線OE上一點(diǎn)，連接4P,將線段雨繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PM

連接AM,CM.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖(1),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，線段CM與PE的數(shù)量關(guān)系是CM=\[5PE,ZACM

=45°°.

(2)探究證明

當(dāng)點(diǎn)P在射線E。上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)E重合)，(1)中結(jié)論是否一定成立？請(qǐng)僅就圖(2)

中的情形給出證明.

(3)問題解決

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)結(jié)論不變.連接AE.證明推出￡1=迎=&,ZACM=ZAED

PEAP

=45°,可得結(jié)論.

(3)如圖(3)中，過點(diǎn)P作PQ_L8C于。.設(shè)PQ=EQ=機(jī)，則CQ=愿〃?，PE=?m,

想辦法用m表示AC,即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖(1)中，

Uy

9：AB=AC,ZBAC=90°,

???NB=45°,

?:AD=DC,BE=EC,

：.DE//AB.

：.ZCED=ZB=45°,

VAD=DC,PM_LAC,MP=AP=PC,

C.MA—MC,

：.ZMAD=ZMCA=45°,

AZCME=ZCEM=45°,

:?CM=CE,

u：CPLEM,

；?PE=PM,

：.CM=?PM=?PE.

故答案為：CM=42PE,45°.

（2）結(jié)論成立.

理由：如圖（2）中，連接4E.

圖（2）

"：AB=AC,BE=EC,

；.AE平分/BAC,

，NC4E=2/BAC=45°,

2

?:DE"AB,

AZADE=180°-ZBAC=90°,

：.AD=DB,

：.AE=y/2AD,

'：AM=-/2AP,

.AC=AM

"AEAP"

,：ZPAM=ZCAE=45°,

：.ZCAM^ZEAP,

：./\CAM^^EAP,

...空=迎=&，ZACM=ZAED=45°,

PEAP

:.CM=?PE.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方時(shí)，如圖(3)中，過點(diǎn)P作PQ,8c于Q.

：△PCM是等邊三角形，

ZMCP=60°,

VZMCB=-ZACB+ZACM=45°+45°=90°,

：.ZPCQ=30°,

設(shè)PQ=EQ=m,則CQ=yf3m,PE=?m,

：.BC=2CE=2ni+2?m,

；.AC=V^_BC=(V2+V6)m,

2_

...AC_(V2+V6)m=[+?

"PEV2m

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E是下方時(shí)，同法可得，典=炳-1,

PE

綜上所述，滿足條件的值為1+遙或我-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用

參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

9.（2021?安陽一模）在△A8C中，AB=AC=3,N84C=90°,將邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)至A8',記旋轉(zhuǎn)角為a.分別過A,C作直線BB,的垂線，垂足分別是E,F,連接

B'C交直線AF于點(diǎn)Q.

（1）如圖1,當(dāng)a=45°時(shí)，ZXAEF的形狀為等腰直角三角形；

（2）當(dāng)0°<a<360°時(shí)，

①（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明

理由；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段AE=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】（1）結(jié)論：△AEF是等腰直角三角形.通過計(jì)算證明NAFE=45°,可得結(jié)論;

（2）①結(jié)論成立.想辦法證明NAFE=45°,可得結(jié)論；

②分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)E在4B的下方，當(dāng)點(diǎn)E在A8的上方，分別求出EF,EB,,可得

結(jié)論.

【解答】解：（1）結(jié)論：是等腰直角三角形.

理由：如圖1中，

B

EY/

F

圖1

；NABC=90°,ZBAB'=45°,

：.ZCAB'=900-45°=45°,

'：AB=AB'=AC,

:.NABB'=N4B'8=ZAB'C=ZACB1=67.5°,

：.ZCB'尸=180°-2X67.5°=45°,

VCF1BF,

：.NFCB'=NFB'C=45°,

：.FB'=FC,

\'AC=AB',

???AF垂直平分線段CB',

：.NAFB'=/4FC=45°,

VAE1EF,

：.ZEAF=ZEFA=45<,,

：.EA=EF,

...△AEF是等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角三角形；

(2)①結(jié)論成立.

理由：如圖2中，

圖2

"：AB=AC=AB',

：.ZBB'C=AZBAC=45°,

2

:CFLBF,

：.ZFCB'=NFB'C=45°,

：.FB'=FC,

'：AC=AB',

??.A尸垂直平分線段CB',

J.AQFB'=/QFC=45°,

:.NAFE=NQFB'=45°

'：AE±EF,

.\ZEAF=ZEFA=45°,

J.EA^EF,

...△4EF是等腰直角三角形；

②如圖2中，在Rt/XABE中，BE=EB'=VAB2-AE2^32-12=272)

"：AE=EF=\,

：.CF=B'F=2M-1.

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在48上方時(shí)，同法可得CF=FB'=EF+EB'=1+2&,

B'

綜上所述，滿足條件的CF的值為2&-1或2&+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形

的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△AEF是等腰直角三角

形，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.

10.(2021?濟(jì)南二模)【問題探究】

(1)如圖1,△ABC和均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=W°,點(diǎn)8,D,

E在同一直線上，連接AD,BD.

①請(qǐng)?zhí)骄颗c8。之間的位置關(guān)系？并加以證明.

②若AC=BC=JiU，DC=CE=?求線段的長.

【拓展延伸】

(2)如圖2,△4BC和△OEC均為直角三角形，ZACfi=ZDCE=90°,AC=J五，

8c=4，CD=M，CE=\.將aoCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角NBC。

為a(0°Wa<360°),作直線BD,連接AD,當(dāng)點(diǎn)5,D,E在同一直線上時(shí)，畫出圖

形，并求線段AQ的長.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】（1）①由“SAS”可證△ACQ絲ZiBCE,可得NAQC=NBEC=45°,可得AD

LBD-,

②過點(diǎn)C作CFJ_AO于點(diǎn)八由勾股定理可求OF,CF,AF的長，即可求A。的長；

（2）分點(diǎn)。在BC左側(cè)和BC右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可

求解.

【解答】解：（1）①結(jié)論：ADLBD.

理由：:△ABC和△OEC均為等腰直角三角形，

：.AC=BC,CE=CD,ZABC=ZDEC=45°=NCDE

：NACB=NOCE=90°,

ZACD=ZBCE,且AC=BC,CE=CD,

：./\ACD^/\BCE（SAS）,

AZADC=ZBEC=45°,

AZADE=ZADC+ZCDE=90Q,

:.ADLBD.

②如圖，過點(diǎn)C作CFA.AD于點(diǎn)F,

B

：NAOC=45°,CFLAD,CZ)=&,

:.DF=CF=l,

VAC2-CF2V(VW)2-I2=3，

：.AD=AF+DF=4.

（2）若點(diǎn)。在2C右側(cè)，

如圖，過點(diǎn)C作CFLAD于點(diǎn)凡

B

?.?/ACB=NOCE=90°,AC=&I，8C=V7，CD=M，CE=1.

ZACD=ZBCE,/=F=型，

BCCE

:.叢ACDs^BCE

：.ZADC=4BEC,

,:CD=a，CE=\,

?**DE=VDC2-K;E2=V(V3)2+l2=2，

■:NADC=NBEC,NDCE=NCFD=90°,

:ADCESACFD,

?DE=DC=CE

DCCFDF'

即—2=1,

V3CFDF

；.CF=與，。尸=返，

22_____________

舁，

?■?AF=VAC2-CF2=^(V2i)2-(-1)2=-

：.AD=DF+AF=3y/3,

若點(diǎn)。在BC左側(cè)，

B

F

VZACB=ZDCE=90°,4C=V7I，BC={7,CD=Vs，CE=1.

：.ZACD=ZBCEf螞=?=型，

BCCE

/XACD^^BCE

：.4ADC=ZBEC,

：.4CED=ACDF,

,:CD=M，CE=1,

D￡=VDC2+CE2=V(V3)2+12=2'

,：ZCED=ZCDF,NDCE=NCFD=90°,

:ADCESACFD,

?DE=DC^CE,

"DCCFDF)

即2=近=工

MCFDF

:.CF=3,?！?，

22_______