集合的概念與表示第1章

集合學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號并會(huì)應(yīng)用.2.理解集合中元素的基本屬性.3.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合.4.理解集合相等、有限集、無限集、空集等概念.導(dǎo)語課時(shí)對點(diǎn)練一、集合的相關(guān)概念二、集合元素基本屬性的應(yīng)用三、集合的表示隨堂演練內(nèi)容索引集合的相關(guān)概念

一提示以上例子中指的都是“所有的”，即某種研究對象的全體，而且每個(gè)例子中的研究對象都是確定的、互不相同的.知識梳理1.集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些

、

對象的全體組成一個(gè)集合，通常用

拉丁字母來表示集合.元素：集合中的

稱為該集合的元素，簡稱

.通常用

拉丁字母來表示.2.常用數(shù)集及表示符號確定的不同的大寫每一個(gè)對象元小寫名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法____________________NN*或N＋ZQR問題2

如果體育老師說“男同學(xué)打籃球，女同學(xué)跳繩”，你去打籃球嗎？提示是男生就去，不是男生就不去.3.元素與集合的關(guān)系知識點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果

，就說a屬于集合A_____a屬于A不屬于如果

，就說a不屬于集合A

或_____a不屬于Aa是集合A的元素a∈Aa不是集合A的元素a?AaA元素與集合之間是屬于或不屬于的關(guān)系，注意符號的書寫.注意點(diǎn)：例1√D中的對象都是確定的，而且是不同的.A中的“近似值”，B中的“學(xué)習(xí)好”，C中的“難題”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足確定性，因此A，B，C都不能構(gòu)成集合.(2)(多選)下列選項(xiàng)中，正確的是∈Q

B.|－3|∈NC.|－3|∈Z

?N√根據(jù)元素與集合的關(guān)系得2∈Q，A正確；|－3|＝3∈N，B正確；|－3|＝3∈Z，C正確；0∈N，D錯(cuò)誤.√√(1)判斷一組對象能構(gòu)成集合的條件是，能找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個(gè)對象，都能確定它是不是給定集合的元素.(2)判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法①直接法：集合中的元素是直接給出的.②推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.反思感悟

(1)(多選)下列說法正確的有A.花壇上色彩艷麗的花朵構(gòu)成一個(gè)集合B.正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合C.未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合D.不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合跟蹤訓(xùn)練1√√在A中，花壇上色彩艷麗的花朵不能構(gòu)成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；在B中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故B正確；在C中，未來世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；在D中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合，故D正確.(2)設(shè)集合M是由不小于

的數(shù)組成的集合，a＝

，則下列關(guān)系中正確的是A.a∈M

B.a?MC.a＝M

D.a≠M(fèi)√集合元素基本屬性的應(yīng)用

二知識梳理集合元素的基本屬性(1)確定性：集合的元素必須是確定的.(2)互異性：對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的.(3)無序性：集合中的元素可以任意排列.集合中的元素必須是確定的，不能是模棱兩可的，任何兩個(gè)元素不能相同，且與順序無關(guān).注意點(diǎn)：

已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三個(gè)元素組成的，且－3∈A，求實(shí)數(shù)a.例2由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，當(dāng)a＝－1時(shí)，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互異性，故a＝－1應(yīng)舍去.延伸探究在本例中，若集合A中的三個(gè)元素?fù)Q為a－3，2a－1，a2－4，其余不變，求實(shí)數(shù)a的值.①若a－3＝－3，則a＝0，此時(shí)A中的元素為－3，－1，－4，滿足題意.②若2a－1＝－3，則a＝－1，此時(shí)A中的元素為－4，－3，－3，不滿足元素的互異性.③若a2－4＝－3，則a＝±1.當(dāng)a＝1時(shí)，A中的元素為－2，1，－3，滿足題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，由②知不符合題意.綜上可知，a＝0或a＝1.利用集合中元素的確定性、互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.反思感悟

設(shè)集合A中含有三個(gè)元素3，x，x2－2x.(1)求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足的條件；跟蹤訓(xùn)練2由集合中元素的互異性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解得x≠－1且x≠0，x≠3.(2)若－2∈A，求實(shí)數(shù)x的值.∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.集合的表示

三問題3

用A表示“本班所有的男生”組成的集合，這是利用的哪種方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列舉出來嗎？提示①這是用自然語言法表示的集合；②我們可以把所有男生的名字寫出來，或者把所有男生的學(xué)號一一寫出.知識梳理列舉法：將集合的元素

出來，并置于花括號“{

}”內(nèi)的表示集合的方法叫做

.列舉法一一列舉(1)集合中的元素之間用逗號分隔，元素不重復(fù)，元素?zé)o順序.(2)元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，把元素一一列舉并用“{}”括起來即可；元素個(gè)數(shù)較多且有明顯規(guī)律，可用列舉法，但必須把規(guī)律顯示清楚，然后加省略號.注意點(diǎn)：問題4

你能用列舉法表示不等式x－7<3的解集嗎？提示不等式x－7<3的解是x<10，因?yàn)闈M足x<10的實(shí)數(shù)有無數(shù)個(gè)，所以x－7<3的解集無法用列舉法表示.但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即x是實(shí)數(shù)，且x<10，把解集表示為{x|x<10，x∈R}.問題5

仿照上面的例子以及閱讀課本，你能表示偶數(shù)集嗎？提示{x|x＝2k，k∈Z}.知識梳理1.描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成_______的形式，這樣表示集合的方法稱為描述法.{x|p(x)}(1)用描述法表示集合時(shí)，應(yīng)寫清該集合中元素的代表符號，并用簡明、準(zhǔn)確的語言描述集合的特征性質(zhì).(2)從上下文的關(guān)系來看，若元素的取值(或變化)范圍是明確的，則可省略不寫.注意點(diǎn)：2.為了直觀地表示集合，我們常畫一條

的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，稱為

.3.集合的分類按照集合元素的多少，集合可以分為有限集和無限集.(1)一般地，含有

個(gè)元素的集合稱為有限集.(2)一般地，含有

個(gè)元素的集合稱為無限集.(3)不含

元素的集合稱為空集，記作

.4.集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素

(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個(gè)集合相等.封閉有限無限任何?完全相同Venn圖

(1)用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝薪o定的集合：①不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；例3不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}.②方程x2－2x－3＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合C；方程x2－2x－3＝0的實(shí)數(shù)根為－1，3，所以C＝{－1，3}.所以方程組的解集D＝{(3，1)}.④不等式2x－3<1的解組成的集合A；不等式2x－3<1的解組成的集合為A，則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x，則x滿足2x－3<1，則A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}.⑤被3除余2的正整數(shù)的集合B；設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z.但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整數(shù)的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}.⑥平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合D.平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x<0，y>0，故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為D＝{(x，y)|x<0，y>0}.(2)設(shè)集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A，B相等，則實(shí)數(shù)x的值為____，y的值為_____.因?yàn)榧螦，B相等，則x＝0或y＝0.①當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；②當(dāng)y＝0時(shí)，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0應(yīng)舍去，故x＝1.綜上可知，x＝1，y＝0.10(1)用列舉法表示集合的注意點(diǎn)①把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次.②這里“{

}”已包含所有的意思，不能出現(xiàn)“全體”“所有”等.(2)利用描述法表示集合的注意點(diǎn)①寫清楚該集合代表元素的符號.②所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi).(3)一個(gè)集合可以用不同的方法表示.若兩個(gè)集合相等，則這兩個(gè)集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等，應(yīng)注意檢驗(yàn)元素是否滿足互異性.反思感悟

(1)用列舉法或描述法表示下列集合.①由所有小于10的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；跟蹤訓(xùn)練3滿足條件的數(shù)有3，5，7，所以所求集合為{3，5，7}.②A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；因?yàn)閤∈N，y∈N，x＋y＝3，故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}.③比1大又比10小的實(shí)數(shù)組成的集合；可以表示成{x|1<x<10，x∈R}.④不等式3x＋4≥2x的所有解；可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}.⑤直線y＝x上的點(diǎn)的集合.可以表示成{(x，y)|x－y＝0}.(2)設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，則b－a＝____.由題意可知a≠0，2∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2.課堂小結(jié)1.知識清單：

(1)集合的概念、元素與集合的關(guān)系.(2)集合中元素的特性及應(yīng)用.(3)用列舉法和描述法表示集合.2.方法歸納：分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū)：忽視集合中元素的互異性；忽視點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別.隨堂演練

1.(多選)下列各組對象能構(gòu)成集合的有A.接近于1的所有正整數(shù)

B.小于0的實(shí)數(shù)C.點(diǎn)(2022，1)與點(diǎn)(1，2022) D.某班級里身高較高的學(xué)生√1234A中，接近于1的所有正整數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不明確，故不能構(gòu)成集合；B中，小于0是一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成集合；C中，(2022，1)與(1，2022)是兩個(gè)不同的點(diǎn)，是確定的，能構(gòu)成集合；D中，某班級里身高較高的學(xué)生不能構(gòu)成一個(gè)集合.√12342.已知集合A中的元素x滿足x－1<，則下列各式正確的是∈A且－3?A

∈A且－3∈A?A且－3?A

?A且－3∈A√12343.集合{x|x－3<2，x∈N*}的另一種表示法是A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}√∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.12344.設(shè)a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，則a＝___，b＝___.A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，得x＝0或a或b，若A＝B，則a＝0，b＝1.0

1課時(shí)對點(diǎn)練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.(多選)下列選項(xiàng)中能構(gòu)成集合的是A.高一年級跑得快的同學(xué)B.中國的大河的倍數(shù)

D.大于6的有理數(shù)√選項(xiàng)A，B都不具備確定性，不能構(gòu)成集合.√123456789101112131415162.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是√123456789101112131415163.集合M是由大于－2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系式正確的是－2<0<1，故B錯(cuò)；1不小于1，故C錯(cuò)；√123456789101112131415164.若以集合A的四個(gè)元素a，b，c，d為邊長構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是A.梯形

B.平行四邊形C.菱形

D.矩形√由于a，b，c，d四個(gè)元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等，則這個(gè)四邊形可能是梯形.123456789101112131415165.用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為A.{1，1} B.{1}C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0}√方程x2－2x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1，根據(jù)集合元素的互異性知B正確.123456789101112131415166.(多選)下列說法中不正確的是與{0}表示同一個(gè)集合B.集合M＝{3，4}與N＝{(3，4)}表示同一個(gè)集合C.方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示為{1，1，2}D.集合{x|4<x<5}不能用列舉法表示√√√12345678910111213141516對于A，0是一個(gè)元素(數(shù))，而{0}是一個(gè)集合，可得0∈{0}，所以A不正確；對于B，集合M＝{3，4}表示數(shù)3，4構(gòu)成的集合，集合N＝{(3，4)}表示點(diǎn)集，所以B不正確；對于C，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示為{1，2}，所以C不正確；對于D，集合{x|4<x<5}含有無窮個(gè)元素，不能用列舉法表示，所以D正確.123456789101112131415167.設(shè)由2，4，6構(gòu)成的集合為A，若實(shí)數(shù)a∈A時(shí)，6－a∈A，則a＝______.代入驗(yàn)證，若a＝2，則6－2＝4∈A，符合題意；若a＝4，則6－4＝2∈A，符合題意；若a＝6，則6－6＝0?A，不符合題意，舍去.所以a＝2或a＝4.2或4123456789101112131415168.若集合

與集合{a2，a＋b，0}相等，則a2022＋b2022的值為___.由已知可得a≠0，因?yàn)閮杉舷嗟龋?經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－1，b＝0滿足條件，所以a2022＋b2022＝1.123456789101112131415169.已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2，若a∈A，求實(shí)數(shù)a的值.由題意可知，a＝1或a2＝a.(1)若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)，又當(dāng)a＝0時(shí)，A中含有元素1和0，滿足集合中元素的互異性，符合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為0.1234567891011121314151610.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；{0，－1}.(2)在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；{x|x＝2k＋1，且x<1000，k∈N}.12345678910111213141516(3)不等式x－2>6的解的集合；{x|x>8}.(4)大于且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合；{1，2，3，4，5，6}.12345678910111213141516解集用描述法表示為解集用列舉法表示為{(2，－1)}.12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.由大于－3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是A.{x|－3<x<11，x∈Z}B.{x|－3<x<11}C.{x|－3<x<11，x＝2k}D.{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}√由題意可知，滿足題設(shè)條件的只有選項(xiàng)D.1234567891011121314151612.已知a，b是非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式

的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是∈M

B.－1∈M?M

∈M√當(dāng)a，b全為正數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是3；當(dāng)a，b全是負(fù)數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是－1；當(dāng)a，b是一正一負(fù)時(shí)，代數(shù)式的值是－1.1234567891011121314151613.(多選)已知集合M中的元素x滿足x＝a＋

b，其中a，b∈Z，則下列選項(xiàng)中屬于集合M的是√√√12345678910111213141516當(dāng)a＝b＝0時(shí)，x＝0；綜上所述，A，B，D中的數(shù)都是集合M中的元素.1234567891011121314151614.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝______.由題意，若a－3＝－3，可得a＝0，此時(shí)集合A＝{－3，－1，－4}，符合題意；若2a－1＝－3，可得a＝－1，此時(shí)a2－4＝－3，不滿足集合元素的互異性，舍去；若a2－4＝－3，可得a＝1或a＝－1(舍去)，當(dāng)a＝1時(shí)，集合A＝{－2，