平面、柱面、錐面有什么共同的特征呢?一、直紋曲面的概念柱面和錐面都是直紋曲面；橢球面不是直紋曲面；定義由一族直線所生成的曲面叫做直紋曲面(ruledsurface)，生成曲面的那族直線叫做該曲面的一族直母線.橢圓拋物面不是直紋曲面.平面是直紋曲面；雙葉雙曲面不是直紋曲面；§4.7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線單葉雙曲面與雙曲拋物面上包含直線嗎?有沒(méi)有更復(fù)雜的直紋曲面呢？有哪些二次曲面可能是直紋曲面呢?因而它們都是直紋曲面.下面我們來(lái)證明:這兩曲面不僅含有直線，而且可以由一族直線所構(gòu)成.我們雖然很彎曲,但是我們都由直線構(gòu)成,

你相信嗎?直紋曲面模型直紋曲面模型首先考慮單葉雙曲面（1）其中為正常數(shù)，把（1）改寫為或者（2）(2)與(1)等價(jià)嗎?等價(jià)!（2）現(xiàn)在引進(jìn)不等于零的參數(shù)u,將上述方程寫為:改寫為:(2)/(3)(3)與(2)等價(jià)嗎?不等價(jià)!對(duì)于給定的u,(3)表示什么曲線?直線（4）與（4）/考慮到(3)

與(2)相比,漏掉了下面的兩個(gè)方程組（2）(2)/(1)(3)也就是說(shuō)(3)與（4）（4）/合起來(lái)與單葉雙曲面(1)的方程等價(jià).把(3),(4),(4`)合起來(lái)組成的一族直線叫做單葉雙曲面的(4)與(4)/仍然表示直線u族直線.

方程組(4),(4`)實(shí)際上是（3）式中當(dāng)參數(shù)和時(shí)的兩種極限情形.(3)（4）（4）/我們是u族直線家族成員

現(xiàn)在來(lái)證明由這族直線可以構(gòu)成曲面(1)，從而它是單葉雙曲面(1)的一族直母線。首先容易知道，都在曲面(1)上.u族直線中任何一條直線上的點(diǎn)（1）u族直線滿足于滿足于這是因?yàn)榉催^(guò)來(lái)，設(shè)是曲面(1)上的點(diǎn).下面說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)一定在u族直線中的某一條上.只須證明由這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定出參數(shù)u.是曲面(1)上的點(diǎn).所以滿足單葉雙曲面方程即（5）（5）因此不失一般性，假設(shè)顯然與不能同時(shí)為零.?????如果那么取的值使得由(5)便得所以點(diǎn)在u直線上.所以點(diǎn)也在u直線上.而u族直線是單葉雙曲面(1)的一族直母線，稱為u族直母線（5）如果那么由(5)知必有這樣就證明了曲面(1)是由u族直線所構(gòu)成.因此單葉雙曲面(1)是直紋曲面.同樣可以證明由直線（6）(其中為不等于零的任意實(shí)數(shù))與另兩直線(相當(dāng)與(6)中當(dāng)和的情形)（7）與(7)/合在一起組成的直線族是單葉雙曲面(1)的另一族直母線.稱它為單葉雙曲面(1)的v族直母線.

直紋面在建筑學(xué)上有意義含兩族直母線

例如，儲(chǔ)水塔、電視塔等建筑都有用這種結(jié)構(gòu)的..單葉雙曲面是直紋面.

推論對(duì)于單葉雙曲面上的點(diǎn)，兩族直母線中各有一條直母線通過(guò)這點(diǎn).

為了避免取極限，我們常把單葉雙曲面(1)的u族直母線寫成（4.7-1）其中不同時(shí)為零。當(dāng)時(shí)，各式除以式子就化為(3)；當(dāng)時(shí)便化成(4)；當(dāng)時(shí)便化成(4`).(3)（4.7-2）其中不同時(shí)為零.對(duì)于雙曲拋物面而v族直母線寫成同樣地可以證明它也有兩族直母線悉尼歌劇院它們的方程分別是(4.7-3)（4.7-4）與分別稱為u族和v族直母線.

含兩族直母線雙曲拋物面是直紋面也有下面的推論：

推論對(duì)于雙曲面與拋物面上的點(diǎn)，兩族直母線中各有一條直母線通過(guò)這一點(diǎn).

單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線，在建筑上有著重要的應(yīng)用，常常用它來(lái)構(gòu)成建筑的骨架。

單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線還有下面的一些性質(zhì)：定理4.7.1

單葉雙曲面上異族的任意兩直母線必共面而雙曲拋物面上異族的任意兩直母線必相交.

現(xiàn)在我們來(lái)證明定理的前半部分，單葉雙曲面上異族的任意兩直母線必共面.證:單葉雙曲面的兩個(gè)異族直母線方程分別為:這兩條直線共面的充分必要條件是(看p135,例3)四個(gè)方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所組成的行列式為零.所以單葉雙曲面上異族的兩直母線必共面.

定理4.7.2單葉雙曲面或雙曲拋物面上同族的任意兩直母線總是異面直線，而且雙曲拋物面同族的全體直母線平行于同一平面.另外,還有下面的定理.例

求過(guò)單葉雙曲面上的點(diǎn)（6,2,8）的直母線方程。解