PAGEPAGE13用頻率直方圖估計總體分布頻率直方圖(1)我們將整個取值區(qū)間的長度稱為全距，分成的區(qū)間的長度稱為組距．(2)把橫軸均分成若干段，每一段對應的長度稱為組距，然后以此段為底作矩形，它的高等于該組的eq\f(頻率,組距)，這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構成了直方圖，我們將這種直方圖稱為頻率直方圖．1．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數據可知，樣本落在[15，20]內的頻數為()A．20B．30C．40D．50【解析】選B.樣本數據落在[15，20]內的頻數為：100×[1－5×(0.04＋0.10)]＝30.2．(教材練習改編)某商場在五一促銷活動中，對5月1日9時至14時的銷售額進行統計，其頻率直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時到12時的銷售額為()A．6萬元 B．8萬元C．10萬元 D．12萬元【解析】選C.設11時至12時的銷售額為x萬元，由于頻率分布直方圖中各小組的組距相同，故各小矩形的高度之比等于頻率之比，也等于銷售額之比，所以9時至10時的銷售額與11時至12時的銷售額的比為eq\f(0.10,0.40)＝eq\f(1,4)，所以有eq\f(2.5,x)＝eq\f(1,4)，解得x＝10.3．某中學隨機抽取部分高一學生調查其上學路上所需時間(單位：分鐘)，并將所得數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學路上所需時間的范圍是[0，100]，樣本數據分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].(1)頻率分布直方圖中x的值為________；(2)如果上學路上所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，若招生1200名，估計新生中可以申請住校的學生有________名．【解析】(1)由頻率分布直方圖，可得20x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1所以x＝0.0125.(2)新生上學路上所需時間不少于1小時的頻率為0.003×2×20＝0.12，因為1200×0.12＝144，所以1200名新生中約有144名學生可以申請住校．答案：(1)0.0125(2)1444．某校高二期末統一測試，隨機抽取一部分學生的數學成績，分組統計如表．(1)求出表中m，n，M，N的值，并根據表中所給數據在給出的坐標系中畫出頻率直方圖；分組頻數頻率[0，30]30.03(30，60]30.03(60，90]370.37(90，120]mn(120，150]150.15合計MN(2)若全校參加本次考試的學生有600人，試估計這次測試中全校成績在90分以上的人數．【解析】(1)由頻率分布表得M＝eq\f(3,0.03)＝100，所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝eq\f(42,100)＝0.42，N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1.頻率直方圖如圖所示．(2)由題意知，全校成績在90分以上的學生的人數約為eq\f(42＋15,100)×600＝342.一、單選題1．下列說法不正確的是()A．頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是該組的頻率B．頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和等于1C．頻率分布直方圖中各個小矩形的寬一樣大D．頻率分布折線圖是依次連接頻率分布直方圖的每個小矩形上邊的中點得到的【解析】選A.頻率分布直方圖中每個小矩形的高＝eq\f(頻率,組距).2．有一個容量為45的樣本數據，數據的分組及各組的頻數如下：(12.5，15.5]，3；(15.5，18.5]，8；(18.5，21.5]，9；(21.5，24.5]，11；(24.5，27.5]，10；(27.5，30.5]，4.由此估計，不大于27.5的數據約為總體的()A．91%B．92%C．95%D．30%【解析】選A.不大于27.5的樣本數為3＋8＋9＋11＋10＝41，約占總體的百分比為eq\f(41,45)×100%≈91%.3．某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率直方圖如圖，數據的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是()A．45B．50C．55D．60【解析】選B.設該班的學生人數為n，則20×(0.005＋0.01)n＝15，n＝50.4．某工廠對一批元件進行抽樣檢測．經檢測，抽出的元件的長度(單位：mm)全部在93至105之間．將抽出的元件的長度以2為組距分成6組：[93，95)，[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)，[103，105]，得到如圖所示的頻率直方圖．若長度在[97，103)內的元件為合格品，根據頻率直方圖，估計這批元件的合格率是()A．80%B．90%C．20%D．85.5%【解析】選A.由頻率分布直方圖可知元件長度在[97，103)內的頻率為1－(0.0275＋0.0275＋0.0450)×2＝0.8，故這批元件的合格率為80%.5．對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進行統計，得到樣本的頻率直方圖如圖所示，則估計此樣本的眾數、中位數分別為()A．2.25，2.5 B．2.25，2.02C．2，2.5 D．2.5，2.25【解析】選B.眾數是指樣本中出現頻率最高的數，在頻率直方圖中通常取該組區(qū)間的中點，所以眾數為eq\f(2＋2.5,2)＝2.25.中位數是頻率為0.5的分界點，由頻率直方圖，可知前4組的頻率和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，因此中位數出現在第5組，設中位數為x，則(x－2)×0.5＝0.01，解得x＝2.02.二、多選題6．在某次高中學科競賽中，4000名考生的參賽成績統計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數據用該組區(qū)間中點值作代表，則下列說法正確有()A．成績在[70，80)分的考生人數最多B．不及格的考生人數為1000C．考生競賽成績的平均分為70.5分D．考生競賽成績的中位數為75分【解析】選ABC.A選項，由頻率直方圖可得成績在[70，80)的頻率最高，因此考生人數最多，故A正確；B選項，由頻率直方圖可得成績在[40，60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數為4000×0.25＝1000，故B正確；C選項，由頻率直方圖可得平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正確；D選項，因為成績在[40，70)的頻率為0.45，成績在[70，80)的頻率為0.3，所以中位數為70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67(分)，故D錯誤．7．某班進行了一次數學測試，全班學生的成績都落在區(qū)間[50，100]內，其成績的頻率直方圖如圖所示，則該班學生這次數學測試成績的中位數和眾數的估計值為()A．81.5B．75C．81.25D．85【解析】選CD.因為(0.005＋0.015＋0.025)×10＝0.45<0.5，(0.005＋0.015＋0.025＋0.040)×10＝0.85>0.5，所以該班學生這次數學測試成績的中位數落在[80，90)內．設中位數為x，因為(0.005＋0.015＋0.025)×10＋0.04×(x－80)＝0.5，所以所求中位數為x＝81.25.眾數為85.三、填空題8．某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績(均為整數)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如圖所示的部分頻率直方圖．在統計方法中，同一組數據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，觀察圖形的信息，據此估計本次考試的平均分為________．【解析】在頻率直方圖中，所有小長方形的面積和為1，設[70，80)的小長方形面積為x，則(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即該組數據的頻率為0.3，所以本次考試的平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71四、解答題9．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數如下：[0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并根據直方圖估計這組數據的平均數、中位數、眾數；(3)當地政府制定了人均月用水量為3t的標準，若超出標準加倍收費，當地政府說，85%以上的居民不超過這個標準，這個解釋對嗎？為什么？【解析】(1)頻率分布表分組頻數頻率[0，0.5)40.04[0.5，1)80.08[1，1.5)150.15[1.5，2)220.22[2，2.5)250.25[2.5，3)140.14[3，3.5)60.06[3.5，4)40.04[4，4.5)20.02合計1001(2)頻率分布直方圖如圖：眾數：2.25，中位數：2.02，平均數：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例為6%＋4%＋2%＝12%，即大約有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解釋是正確的．10．從某企業(yè)生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數分布表：質量指標值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數62638228(1)根據上表作出這些數據的頻率直方圖；(2)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規(guī)定？【解析】(1)頻率直方圖如圖．(2)質量指標值的樣本平均數為80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質量指標值的樣本方差為s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.所以這種產品質量指標值的平均數的估計值為100，方差的估計值為104.(3)質量指標值不低于95的產品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規(guī)定．一、選擇題1．某養(yǎng)豬場定購了一批仔豬，從中隨機抽查了100頭仔豬的體重(單位：斤)，經數據處理得到如圖①的頻率直方圖，其中體重最輕的14頭仔豬的體重的莖葉圖如圖②，為了將這批仔豬分欄喂養(yǎng)，需計算頻率直方圖中的一些數據，其中a＋b的值為()A．0.144B．0.152C．0.76D．0.076【解析】選B.由題意得c＋d＝eq\f(12,100)×eq\f(1,5)＝0.024且[2(c＋d)＋a＋b]×5＝1.所以2×0.024＋a＋b＝0.2.所以a＋b＝0.152.2．為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量得到頻率直方圖如圖，則這20名工人中一天生產該產品的數量的中位數為()A．65B．64C．62.5D．60【解析】選C.設20名工人中一天生產該產品的數量的中位數為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.3．(多選)某次考試中，某班級的數學成績統計圖如下(每組數據包含左端點，不包含右端點).則下列說法錯誤的是()A．分數在70～80的人數最多B．該班的總人數為40C．分數在90～100的人數最少D．及格(≥60分)的人數是26【解析】選ABC.從表中可以看出，分數在70～80的有14人，人數最多，所以選項A正確；該班共有4＋12＋14＋8＋2＝40人，所以選項B正確；從表中可以看出，分數在90～100的有2人，人數最少，所以選項C正確；及格(≥60分)的人數為12＋14＋8＋2＝36人，所以選項D錯誤．二、填空題4．將容量為n的樣本數據分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的數據的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數據的頻數之和等于27，則n＝________．【解析】設第一組至第六組數據的頻率分別為2x，3x，4x，6x，4x，x，則2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝eq\f(1,20)，所以前三組數據的頻率分別是eq\f(2,20)，eq\f(3,20)，eq\f(4,20)，故前三組數據的頻數之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,20)＋\f(3,20)＋\f(4,20)))n＝27，解得n＝60.答案：605．某電子商務公司對10000名網絡購物者2018年度的消費情況進行統計，發(fā)現消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內，其頻率直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內的購物者的人數為________．【解析】(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)消費金額在區(qū)間[0.3，0.5)內的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內的購物者的人數為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)60006．為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額”的調查．他們將調查所得到的數據分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，記甲、乙、丙所調查數據的標準差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關系為__________．(用“＞”連接)【解析】甲數據的平均值為eq\x\to(x)甲＝1250×0.0006×500＋1750×0.0004×500＋2250×0.0002×500＋2750×0.0002×500＋3250×0.0006×500＝2200，同理，乙數據的平均值為eq\x\to(x)乙＝2150，丙數據的平均值為eq\x\to(x)丙＝2250，可見甲、乙、丙三者的平均值都處在頻率分布直方圖的最中間一列，此時，若越靠近中間列所占的頻率越大，則相應的方差越小，明顯丙的中間列及附近列所占的頻率最大，其次是乙，甲中間列及附近列所占的頻率最小，故s1>s2>s3.答案：s1>s2>s3三、解答題7．(2019·全國Ⅲ卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．根據試驗數據分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值．(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一