PAGEPAGE3午間半小時(三十八)(30分鐘50分)一、單選題1．經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有()A．0個 B．1個C．無數(shù)個 D．1個或無數(shù)個【解析】選D.當兩點連線與平面α垂直時，可作無數(shù)個垂面，否則只有1個．2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】選C.因為n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.3．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β【解析】選D.A中，m，n可能為平行、垂直、異面直線；B中，m，n可能為異面直線；C中，m應與β中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立．4．設α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列說法正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，則n⊥βB．若α⊥β，n∥α，則n⊥βC．若m∥α，m∥β，則α∥βD．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，則n⊥β【解析】選D.對于A選項，由于直線n可能含于平面β，故A選項錯誤；對于B選項，由于直線n可能含于平面β，故B選項錯誤；對于C選項，α，β可能相交，故C選項錯誤；對于D選項，由于m⊥α，n⊥α，所以m∥n；由于m⊥β，所以n⊥β，所以D選項正確．5．如圖所示，平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，下列結(jié)論中不正確的是()A．PD⊥BDB．PD⊥CDC．PB⊥BCD．PA⊥BD【解析】選A.若PD⊥BD，則BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，則過平面外一點有兩條直線與平面垂直，不成立，故A不正確；因為平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，所以PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，因為AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，同理可證PB⊥BC.因為PA⊥矩形ABCD，所以由直線與平面垂直的性質(zhì)得PA⊥BD.6．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60°B．30°C．45°D．15°【解析】選C.由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA為二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.二、多選題7．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列說法正確的有()A．平面PAD⊥平面PABB．平面PAD⊥平面PCDC．平面PBC⊥平面PABD．平面PBC⊥平面PCD【解析】選ABC.由題意PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥BC，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，同理可得AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB.8．以等腰直角三角形ABC的底邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面，則下列四個選項中，正確的是()A．AB⊥CD B．△ABC為等腰直角三角形C．三棱錐D-ABC是正三棱錐 D．平面ABD⊥平面BCD【解析】選ACD.如圖所示，由題意知AD⊥BD，AD⊥DC，又面ABD⊥面ACD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得CD⊥平面ABD，可得AB⊥CD，A正確；當△ABC為等腰直角三角形時，折疊后△ABC為等邊三角形，B不正確；DA＝DB＝DC且兩兩垂直，三棱錐D-ABC為正三棱錐，C正確；由AD⊥BD，AD⊥DC，可得AD⊥面BCD，又AD?面ABD，則面ABD⊥面BCD，D正確．三、填空題9．如圖所示，平面α⊥平面β，在α與β交線上取線段AB＝4，AC，BD分別在平面α和β內(nèi)，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD＝________.【解析】連接BC.因為BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，所以BD⊥α.因為BC?α，所以BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝eq\r(32＋42)＝5.在Rt△CBD中，CD＝eq\r(52＋122)＝13.答案：1310．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點，沿BM把△ABC折成二面角，折后A與C的距離為eq\f(\r(6),2)，則二面角C-BM-A的大小為________．【解析】因為△ABC為等腰直角三角形，且AB＝BC＝1，M為AC的中點，所以折之前，AC＝eq\r(2)，BM⊥AC，折之后，AM＝CM＝eq\f(\r(2),2)，AM⊥BM，CM⊥BM，所以∠AMC是二面角C-BM-A的平面角，在△AMC中，由余弦定理得，cos∠AMC＝eq\f(AM2＋CM2－AC2,2AM