復(fù)習(xí)1.方陣A可對(duì)角化：①n階方陣A可對(duì)角化A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量推論:如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等,則A可對(duì)角化．②A可對(duì)角化對(duì)A的每個(gè)特征值λ,皆成立的對(duì)角線元素為A的特征值，P的n列為對(duì)應(yīng)的特征向量.2.實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化①特征值全為實(shí)數(shù).②對(duì)每個(gè)特征值λ

，都有③屬于不同特征值的特征向量必正交。A可正交對(duì)角化，即存在正交陣Q，使思考題:設(shè)n階實(shí)對(duì)稱陣A滿足A2

=

A

，且r(A)=

r，求|2I

-A|的值.解：設(shè)

∵A是實(shí)對(duì)稱陣，且r(A)=

r可逆陣P

，使∴A

-2I

有特征值-2(n–r重)和-1(r重)思考題:已知3階實(shí)可逆陣A、B,A的特征值為此處為互異正整數(shù)，若B的特征值為－5,1,7,且求，并寫(xiě)出的相似對(duì)角陣.解:由題意知A可對(duì)角化，即存在可逆陣P，使……第六章二次型二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣第一節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型及有關(guān)概念第六章二次型化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例對(duì)二次曲線作坐標(biāo)變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形線性變換稱為二次型.1、定義一、二次型及有關(guān)概念含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)當(dāng)aij是復(fù)數(shù)時(shí)，f稱為復(fù)二次型．當(dāng)aij是實(shí)數(shù)時(shí)，f稱為實(shí)二次型．說(shuō)明：我們只考慮實(shí)二次型．

只含有平方項(xiàng)的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形．例如都為二次型；而也為標(biāo)準(zhǔn)形.(1)用和號(hào)表示對(duì)二次型2、表示法取aij=aji,則2aijxixj=aijxixj+ajixj

xi,于是(2)用矩陣表示若記則二次型可記作f

＝xTAx，其中A為實(shí)對(duì)稱矩陣．二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：任給一個(gè)二次型可唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型．實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為二次型f

的矩陣；

f稱為實(shí)對(duì)稱矩陣A的二次型；實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩稱為二次型f

的秩；標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣為對(duì)角陣.【例1】

試寫(xiě)出下列二次型的矩陣【解】說(shuō)明雖然實(shí)際表達(dá)式中只有三個(gè)不同變量，但必須按記號(hào)中出現(xiàn)的變量個(gè)數(shù)為準(zhǔn)．不過(guò)一般不特別指明的話，總以實(shí)際出現(xiàn)的不同變量數(shù)為其矩陣的維數(shù)．【解】以題意，該二次型的矩陣應(yīng)為【例2】試寫(xiě)出下列二次型的矩陣．【解】一般二次型f(x)＝xTBx的矩陣為(因?yàn)閒(x)=fT(x))問(wèn)題：給定二次型，如何即即x=Py(|P

|≠0)，使二次型在新變量下成標(biāo)準(zhǔn)形，即關(guān)于為標(biāo)準(zhǔn)形,也即要使成為對(duì)角陣.確定一個(gè)可逆的線性變換由于對(duì)任一對(duì)稱陣A，總可找到正交陣Q，使二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義：對(duì)n階方陣A,B，若存在滿秩陣P，使成立B=PTAP,則稱A與B合同．合同關(guān)系滿足：自反性，對(duì)稱性，傳遞性化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形使實(shí)對(duì)稱矩陣合同于實(shí)對(duì)角矩陣即A與既相似又合同.定義:

若Q為正交陣，則線性變換y=Qx

稱為正交變換．定理1

任給二次型總有正交變換x＝Qy，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中為f的矩陣A=(aij)的特征值．1、正交變換法【例3】

求正交變換x＝Qy，將化為標(biāo)準(zhǔn)形.并問(wèn)f＝2表示什么曲面？【解】對(duì)應(yīng)的特征向量

規(guī)范化記,則令x＝Qy，則表示雙曲面.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：1.將二次型表成矩陣形式f

＝xTAx

，求出A；2.求出A的所有特征值;

3.求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量；4.將特征向量正交化，單位化得，記；5.作正交變換x＝Qy，則得f的標(biāo)準(zhǔn)形注意:(1)f

＝xTAx

經(jīng)過(guò)正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形，其系數(shù)一定是A的特征值．(2)正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變.

即若x＝Qy是正交變換，則必有

(3)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變．【例4】設(shè)二次型經(jīng)正交變換x＝Qy

化成則常數(shù)a=___、b=___、r(A)=___.【解】f

＝xTAx,A的特征值0，1，4.由0+1+4=1+a+1得a=3再由|A|=0可得b=1進(jìn)一步可求出正交變換x＝Qy

r(A)=2

對(duì)應(yīng)于特征值0、1、4的特征向量規(guī)范化得記則正交變換為x＝Qy.

【例5】已知A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，二次型f

＝xTAx經(jīng)正交變換x=Qy化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中矩陣，且．試求所作的變換x=Qy．【解】由Q正交知，兩兩正交，且由題設(shè)知A的特征值為1,1,－4,是對(duì)應(yīng)于－4的特征向量．設(shè)A的對(duì)應(yīng)于特征值1的特征向量為，則由知由此可得A的對(duì)應(yīng)于特征值1的線性無(wú)關(guān)特征向量經(jīng)正交化，規(guī)范化得即因此，正交變換x=Qy為用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何問(wèn)題：形狀不變．2.(拉格朗日)配方法有沒(méi)有其它方法,也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？令即記滿秩陣則x=Pz時(shí)，有用配方法例3中用正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形規(guī)范形為令即記滿秩陣則x=Pz時(shí)，有用配方法用正交變換x＝Qy可化為標(biāo)準(zhǔn)形例4中規(guī)范形為1.若二次型含有xi的平方項(xiàng)，則直接配方;拉格朗日配方法的步驟：2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是aij≠

0(i≠j),則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再配方.即

【例6】化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所作的可逆線性變換．得標(biāo)準(zhǔn)形所作的可逆線性變換為x=P1P2

z

，即

【解】令即x=P1

y，

可逆有再令即即

y=P2

z，

可逆規(guī)范形可見(jiàn)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的.但不論變換如何，標(biāo)準(zhǔn)形中非零系數(shù)的個(gè)數(shù)總是確定的，即為r(A)也即為二次型的秩.進(jìn)一步還有：西爾維斯特(Sylvester)慣性律:對(duì)給定的二次型f

＝xTAx

，其任一標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)個(gè)數(shù)和負(fù)系數(shù)個(gè)數(shù)均為確定的數(shù)，分別稱為f的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，記作稱為符號(hào)差.由Sylvester慣性律可進(jìn)一步將標(biāo)準(zhǔn)形規(guī)范化：稱為二次型f的規(guī)范形.規(guī)范形的系數(shù)分別為1,…,1,－1,…,－1,0,…,0在這個(gè)順序下，二次型的規(guī)范形是唯一的.

所以一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形可以不止一個(gè)，但它的規(guī)范形是唯一的.由此可給二次型分類(lèi).(1,－1,0可以不同時(shí)出現(xiàn)).復(fù)習(xí)2.二次型:f(x1,x2,…,xn)＝xTAx其中A=AT

二次型f與對(duì)稱陣A一一對(duì)應(yīng),A的秩稱為f

的秩