3.5LU分解法我們知道對矩陣進(jìn)行一次初等變換，就相稱于用相應(yīng)初等矩陣去左乘本來矩陣。因此我們從這個觀點來考察Gauss消元法并用矩陣乘法來表示，即可得到求解線性方程組另一個直接法：矩陣三角分解。

第1頁第1頁高斯消元過程矩陣表示第2頁第2頁高斯消元過程矩陣表示第3頁第3頁高斯消元過程矩陣表示第4頁第4頁高斯消元過程矩陣表示第5頁第5頁LU分解法第6頁第6頁矩陣分解理論

第7頁第7頁矩陣分解理論

第8頁第8頁矩陣分解理論

第9頁第9頁3.2.2Doolittle分解第10頁第10頁第11頁第11頁A各階順序主子式均不為零，即第12頁第12頁Doolittle分解第13頁第13頁Doolittle分解第14頁第14頁Doolittle分解第15頁第15頁Doolittle分解第16頁第16頁Doolittle分解第17頁第17頁Doolittle分解第18頁第18頁例題第19頁第19頁例題第20頁第20頁例題第21頁第21頁例題第22頁第22頁例題第23頁第23頁Doolittle分解第24頁第24頁3.6平方根法(Cholesky分解法)在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，線性方程組大多數(shù)系數(shù)矩陣為對稱正定這一性質(zhì)，因此利用對稱正定矩陣三角分解式求解對稱正定方程組一個有效辦法，且分解過程無需選主元，有良好數(shù)值穩(wěn)定性。第25頁第25頁對稱矩陣Cholesky分解A對稱：AT=AA正定：A各階順序主子式均不小于零。即

第26頁第26頁對稱矩陣Cholesky分解由Doolittle分解，A有唯一分解

第27頁第27頁對稱矩陣Cholesky分解定理設(shè)A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)第28頁第28頁對稱矩陣Cholesky分解證實：

第29頁第29頁對稱矩陣Cholesky分解第30頁第30頁對稱矩陣Cholesky分解第31頁第31頁對稱矩陣Cholesky分解推論：設(shè)A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解其中L為含有主對角元素為正數(shù)下三角矩陣。第32頁第32頁對稱矩陣Cholesky分解證實：

第33頁第33頁Cholesky分解求法第34頁第34頁Cholesky分解求法第35頁第35頁Cholesky分解求法第36頁第36頁Cholesky分解法Cholesky分解法缺點及長處長處：能夠減少存儲單元。缺點：存在開方運算，也許會出現(xiàn)根號下負(fù)數(shù)。第37頁第37頁改進(jìn)Cholesky分解法改進(jìn)cholesky分解A=LDLT第38頁第38頁改進(jìn)cholesky分解第39頁第39頁改進(jìn)cholesky分解第40頁第40頁第41頁第41頁改進(jìn)cholesky分解算法第42頁第42頁改進(jìn)cholesky分解算法第43頁第43頁例題第44頁第44頁例題第45頁第45頁例題第46頁第46頁例題第47頁第47頁A=LDLT分解，既適合于解對稱正定方程組，也適合求解A為對稱，而各階順序主子式不為零方程組而對A=LLT只適合于對稱正定方程組第48頁第48頁3.7三對角方程組求解追趕法第49頁第49頁三對角方程組求解追趕法第50頁第50頁三對角方程組求解追趕法第51頁第51頁三對角方程組求解追趕法第52頁第52頁三對角方程組求解追趕法其計算工作量為5n-4次乘除法。工作量小，其實現(xiàn)條件為qi不為零。有下列定理可得證三對角矩陣求解充足性條件。第53頁第53頁解三對角矩陣線性方程組追趕法程序框圖第54頁第54頁補(bǔ)充1:矩陣求逆---分塊乘法

第55頁第55頁補(bǔ)充2:初等變換法求矩陣逆第56頁第56頁補(bǔ)充3:矩陣原地求逆法第57頁第57頁為使求逆過程不斷提升求解精度，因此增長選主元工作，最慣用是選列主元求逆。因此增長一個數(shù)組Z(n)，統(tǒng)計選主元互換號，最后在消元工作完畢后，依據(jù)Z(n)對A中元素進(jìn)行相應(yīng)列互換，得到A-1Gauss—Jordan原地求逆法第58頁第58頁算法（原地求逆