運籌學網絡計劃技術（統籌法）3/3/20231統籌方法計劃管理與統籌法1.定義1：對于任何一項生產制造、科學實驗、工程實施、軍事作戰(zhàn)等活動，為了充分利用有限的時間、空間與資源（人力、物力、財力），都必須編制一個科學的工作組織計劃來有效地組織、調度與控制該項活動的進程，以實現最佳的效應和效益。而這種為編制科學的組織計劃的有效方法統稱為統籌方法。3/3/20232例1甲、乙兩工程師從早上六時起床到上班前有一系列活動要做。對于同樣的活動過程，有人忙亂不堪，甚至遲到，有人則又快又好，關鍵在于一個科學的活動實施計劃。穿衣刷牙洗臉做稀飯熱饅頭吃早飯收拾房間整理出門上班甲穿衣洗臉刷牙收拾房間整理吃早飯出門上班做稀飯熱饅頭乙3/3/20233例2大型工程實施（三峽工程、南水北調工程、人造衛(wèi)星工程、宇航工程等）有如下活動：產品設計、仿真、試制、中試原材料設備定貨、采購、運輸、入庫廠房、設備施工建筑、安裝產品計劃、生產、銷售、安裝、調試、維護參與單位涉及國家各部門、各行業(yè)、事業(yè)單位，為高速度、低成本、高質量，并在規(guī)定期限內完成該工程項目，其關鍵在：

抓好科學技術抓好項目管理，組織協調好各單位、各任務、各工序的完成。3/3/20234例3三軍聯合作戰(zhàn)演習空軍奪取制空權，對敵實施地面攻擊，運送空降兵海軍艦艇護衛(wèi)，運送陸軍、海軍陸戰(zhàn)隊登陸奪取灘頭陣地登陸完成后的鞏固陣地與縱深發(fā)展電子對抗部隊實施情報收集分析與電子對抗參與兵種：海軍航空兵、海軍陸戰(zhàn)隊、水面艦艇部隊、空軍殲擊機、攻擊機、轟炸機、電子對抗機各團、大隊，坦克、炮兵、步兵、防化兵、通訊兵、偵察兵、導彈部隊等。需迅速訂好科學的作戰(zhàn)演習計劃，以便對作戰(zhàn)演習過程演習過程進行有效的管理與控制。3/3/20235計劃管理與統籌法統籌法研究內容PERT(ProgramEvaluationandReviewTechnique)計劃評審技術CPM(CriticalPathMethod)關鍵路線法GERT(GraphicalEvaluationandReviewTechnique)隨機網絡技術（直譯為圖示的評價與評審技術）PERT/CRM，GERT/CPM3/3/20236統籌法發(fā)展歷史CPM：1956年在美杜邦公司化工廠建立過程中由美蘭德公司提出。PERT：1958年美海軍特種計劃局在研制“北極星”導彈核潛艇過程中在哈密爾頓公司及洛克菲勒公司協助下提出了一個“北極星計劃”以管理整個工程過程中的8家總承包公司，250家分承包公司，3000家三包公司，9000家廠商，由于使用PERT技術，提高了工作效率使整個工期提前兩年完成。目前PERT/CPM在日、英、法、德中相繼推廣使用并由我國在寶鋼施工，與鋼（84~89年）512項工程，南陽油田工程管理均獲較大效益。目前國家經貿委、計委已要求重大工程必須采用此技術方法。GERT/CPM在1966年由美國提出，并在阿波羅登月計劃中首次使用成功，在英、阿的馬島之戰(zhàn)中，1982年4月，英軍三天完成計劃網絡，2003年美軍攻擊伊拉克（30萬大軍用三個月制訂計劃）建筑施工設備維修鋼鐵、造船、汽車制造、石油、地質勘探航空、航天、新材料、信息工程（含軟件工程）3/3/20237統籌法功能完成工程需做哪些工序，各工序需多長時間完成？總工期預計多長時間？完成工程的各工序采用什么樣的邏輯順序關系？關鍵工作是什么？如何加快工程的完成。環(huán)境發(fā)生變化時，該工程的風險分析。計劃管理與統籌法3/3/20238計劃網絡圖（工序流線圖）計劃網絡圖及其諸要素定義2：反映一個工程項目中各項作業(yè)（工序）的內在邏輯關系的一種有向圖稱為計劃網絡圖，又稱統籌圖，工序流線圖，網絡圖等，以符號G表示。此中“內在邏輯關系”是指由于工程本身的工藝與組織性要求，而對各工序提出的在時間上和空間上所要求的先后處理關系。定義3：如下表3/3/20239要素定義符號及含義事件（事項）一個或多個作業(yè)發(fā)生變化（開始或結束）的瞬間狀態(tài)圓圈內為事項名（編號），圓圈上方數字為瞬間狀態(tài)發(fā)生時刻工序（活動、作業(yè)）一個工程通?？蓜澐譃槿舾呻A段來完成，使在每一階段中來完成全部工程的部分內容，這一階段完成的部分工程內容稱為工序或作業(yè)、活動。有向線段上方標號為工序名，其下方數字表為完成工序a所需的資源（時間、人力、物力）數或工序長度路長每一網絡只有一個起點和一個終點，從起點開始經過一系列工序直到終點為止的一條通路稱為路線。路線中所經由的各工序長度之和稱為路長。t(i,j)緊前工序與緊后工序：b的緊前工序為a，工序a結束后方能完成工序b,a的緊后工序為b關鍵路線，關鍵工序在G的所有路線中，路長最大對應的路線稱為關鍵路線；在關鍵路線上的各工序稱為關鍵工序、序號工序代號工序名稱工序長度緊前工序1a……15--2b……2a作業(yè)明細表反映G中各工序間的前后邏輯關系的表格稱為作業(yè)明細表（詳見右表）3c……10b312a10ab3/3/202310例4某公司研制新產品的部分工序明細表如下，試畫出統籌圖。工序代號工序名稱（或內容）工序長度緊前工序a產品設計與工藝設計60--b外購配套零件15ac外購生產原料13ad自制主件38ce主配件可靠性試驗8b,d12453abced6015133883/3/202311網絡圖繪制規(guī)則每一作業(yè)用一箭線及前后兩節(jié)點連接，箭線上標出作業(yè)標號，箭線下寫上完成該作業(yè)的資源數（通常用時間表示）一對結點間只能有一條箭線，且不允許出現回路；若出現并行作業(yè)可引入虛工序或人為地將工序一分為二。（虛作業(yè)不消耗資源，用虛線表示）并行作業(yè)12ab46a12b46回路132ac40b6132a/222b6a/23/3/202312網絡圖繪制規(guī)則不允許出現交叉作業(yè)，若出現交叉作業(yè)時應引入虛工序123451A1A2A3B1B2B32345A1A2A3B1B2B312345A1A2A3B1B2B3雙向箭頭可畫成3/3/202313網絡圖繪制規(guī)則結點編號自左向右增長，工序的終止結點編號大于起始結點編號統籌圖只有一個起點與一個終點（圖的封閉性）3/3/202314例5(例4基礎上再加三道工序f、g、h)某工程項目作業(yè)明細表如下，（1）繪制計劃網絡圖；（2）求關鍵路線與路長；（3）求關鍵工序序號工序代號所需時間緊前工序路線路長1a60--{a,b,e,h}882b15a{a,c,d,e,h}1243c13a{a,c,d,f,h}1264d38c{a,c,d,g,h}關鍵路線1325e8b、d可從最終工序開始逆向完成網絡圖6f10d緊后工序列中沒有標明的工序即為最終的工序7g16d8h5e、f、g3/3/202315解：若已知緊后工序之作業(yè)明細表，故用正象（順向）搜索法，已知緊前工序之作業(yè)明細表，故可采用反向搜索法。（……fgh）1253476abedghfc1254376abedghfc8601513388101653/3/202316網絡計劃實施步驟工程項目任務分解確定工程全部事項（工序）的邏輯關系確定每一工序的延續(xù)時間，制定作業(yè)明細表繪制計劃網絡圖，并作調整對網絡圖各節(jié)點，箭線編號計算關鍵路線與關鍵工序，形成計劃初步方案是否有潛力可挖是否滿足要求優(yōu)化計劃方案編制日程計劃并執(zhí)行執(zhí)行中發(fā)生偏差是否在允許范圍內結束YNYNNY3/3/202317工序延續(xù)時間估計經驗法與專家法（平均值）：適用于重復性工作，不確定性因素少三點估計法（又稱六分法）其中a—對工序e延續(xù)時間的最樂觀時間（在順利情況下工序e完成的最短可能時間）b—對工序e延續(xù)時間的最悲觀時間（最不順利下工序e完成的最長可能時間）M—對工序e延續(xù)時間的最可能時間（在正常情況下工序e完成耗費時間）3/3/202318三點估計法這是由于通常認為工序延續(xù)時間3/3/202319三點估計法β分布隨機變量ξ的概率密度函數見右Mabxfξ(x)Mabxfξ(x)3/3/202320確定性網絡時間參數與關鍵路線時間參數的標識與關聯ttES(i,j)EF(i,j)t(i,j)R(i,j)TE(i)t(i,j)TL(j)LS(i,j)LF(i,j)t(i,j)00工序參數節(jié)點參數3/3/202321ij[ES(i,j),EF(i,j)]TE(i)TE(j)[LS(i,j),LF(i,j)]TL(i)TL(j)minmaxES(i,j)—工序（i,j）最早開始時間EF(i,j)—工序（i,j）最早完成時間LS(i,j)—工序（i,j）最晚開始時間LF(i,j)—工序（i,j）最晚完成時間設起始節(jié)點序號為1，終點節(jié)點序號為n，1≤i<j≤nTE(i)—節(jié)點(事項)i最早開始時間TL(i)—節(jié)點(事項)i最遲完成時間R(i,j)—工序(i,j)的時差(反映該工序的機動時間)R(i)—節(jié)點i的時差(反映該節(jié)點的機動時間)3/3/202322各時間參數的相互關系如下:3/3/202323例6某公司裝配一新生產線，該工程作業(yè)明細表如下，求完成該工程的關鍵路線和相應關鍵工序工序代號工序內容所需時間(天)緊前工序a生產線設計60--b外購零配件45ac下料、鍛件10ad工裝制造Ⅰ20ae木模鑄件40af機械加工Ⅰ18cg工裝制造Ⅱ30dh機械加工Ⅱ15d,ei機械加工Ⅲ25gj裝配調試35b,i,f,h3/3/202324時間參數計算順向計算法：（自左向右法）（工期SD未知）（最早時間）f[70,88]18j[135,170]35i[110,135]25g[80,110]30d[60,80]2012857643a[0,60]60b[0,60]45c[60,70]10e[60,100]40h[100,115]1506070801001101351703/3/202325時間參數計算逆向計算法：（自右向左法）（工期SD已知）10c[107,117]（最晚時間）18f[117,135]35j[135,170]25i[110,135]30g[80,110]20d[60,80]1285764360a[0,60]45b[90,135]40e[80,120]15[120,135]060117801201101351703/3/202326關鍵路線及其求解命題1：作業(yè)路線CP為G的關鍵路線CP上各工序時差為0，命題2：作業(yè)路線CP為G的關鍵路線CP上各工序時差為0，命題3：若G為有限網絡，則G至少有一條關鍵路線，至多有有限條關鍵路線，總工期不可能提前完成，因為是關鍵路線上的關鍵工序。對于非關鍵工序，工時不全為零，從而有潛力可挖。且關鍵路線是所有路線中最長的路線，故只要關鍵路線中各工序完成，其他非關鍵工序必完成，故有總工期公式。3/3/202327工序最早開始時間ES最晚開始時間LS最早完成時間EF最晚完成時間LF工序時差R(i,j)關鍵工序a0060600√b609010513530×c601077011747×d606080800√e608010012020×f701178813547×g80801101100√h10012011513520×i1101101351350√j1151351701700√3/3/202328節(jié)點i最早開始時間TE(i)最遲完成時間TL(i)時差100026060037011747480800510012020611011007135135081701700關鍵路線CL：adgij總工期T=Ta+Td+Tg+Ti+Tj=170天1246783/3/202329關鍵路線及其求解繪制計劃網絡圖自左向右（順向）計算各節(jié)點最早開始時間TE(i)及各工序最早開始時間ES(i,j)，最早完成時間EF(i,j)自右向左（逆向）計算各節(jié)點最遲完成時間TL(i)及各工序最晚完成時間LF(i,j)和最晚開始時間LS(i,j)計算各工序時差R(i,j)=LS(i,j)-ES(i,j)各節(jié)點時差R(i)=TL(i)-TE(i)尋找時差為0的節(jié)點并聯結，即可得關鍵路線與相應關鍵工序尋找時差為0的工序并聯結，亦可得關鍵路線CP與相應關鍵工序計算工程總工期對非關鍵工序進行研究，以挖掘潛力3/3/202330Hij3j2j1TL(i)t(i,j1)t(i,j2)t(i,j3)LS(i,j1)t(i,j1)LF(i,j1)TL(j1)TL(j2)LS(i,j2)t(i,j2)LF(i,j2)LS(i,j3)t(i,j3)LF(i,j3)TL(j3)TL(i)=節(jié)點i的最遲完成時間最晚開始時間網絡圖（a)時間圖(a)0tttt3/3/202331Kji3i2i1ES(i1,j)t(i1,j)EF(i1,j)TE(i1)TE(i2)ES(i2,j)t(i2,j)EF(i2,j)ES(i3,j)t(i3,j)EF(i3,j)TE(i3)TL(i)=網絡圖（b)時間圖(b)0tttt3/3/202332輸入節(jié)點數n，各工序長度t(i,j)，1≤i<j≤n，工期SD，TE(1)=0TL(n)=TE(n)或TL(n)=SDi≤1ES(i,j)=TE(i)，EF(i,j)=ES(i,j)+t(i,j)LF(i,j)=TL(j)，LS(i,j)=LF(i,j)–t(i,j)R(i,j)=LS(i,j)–ES(i,j)R(j)=TL(j)–TE(j)尋找使R(i,j)=0的對應關鍵工序，或尋找使R(j)=0的對應節(jié)點，輸出關鍵路線CP與關鍵工序，輸出工期（若未給出）ENDj≥nNYNY3/3/202333隨機性網絡時間參數與關鍵路線問題與求解例7(長征研究院MBA培訓網絡計劃制訂)P248序號工序緊前工序樂觀時間ai最可能時間mi悲觀時間bi1a--1.52.02.520.0282ba2.02.56.030.4453c--1.02.03.020.1114dc1.52.02.520.0285eb,d0.51.01.510.0286fE1.02.03.020.1117gb,d3.03.57.040.4458hg3.04.05.040.1119if,h1.52.02.520.0283/3/202334解計算各工序的期望與方差(見上表右)繪制計劃網絡圖612534678022591315a[0,2]2c[0,2]2d[2,4]2b[2,5]3g[5,9]4e[5,6]1f[6,8]2h[9,13]4i[13,15]2125346780235913152[0,2]2[1,3]2[3,5]3[2,5]g[5,9]41[10,11]2[11,13]4[9,13]2[13,15]113/3/202335解計算各工序的有關時間參數ES、LS、EF、LF、R(i,j)序號工序最早開始時間(ES)最晚開始時間(LS)最早完成時間(EF)最晚完成時間(LF)工序時序R=LS–ES是否關鍵工序1a00220√2b22550√3c01231×4d23451×5e5106115×6f6118135×7g55990√8h9913130√9i131315150√3/3/202336節(jié)點序號i最早開始時間TE(i)最遲開始時間TL(i)節(jié)點時差R=TL–TE10002220323145505611569907131308151503/3/202337解尋找使R(i,j)=0的關鍵工序及使R(i)=0的對應途經節(jié)點輸出關鍵路線與關鍵工序計算總工期T的期望和方差

E(T)=Ta+Tb+Tg+Th+Ti=μCP

=2+3+4+4+2=15（天）結論：該計劃網絡G關鍵路線CP：abghi或該計劃網絡G總工期T的期望μCP=E(T)=15天1246783/3/202338命題4：設n為計劃網絡G的工序數，CP為大型工程計劃網絡G的關鍵路線，T為G的任務總工期。若n>>1，則有：，其中與分別為關鍵路線CP路長的期望與方差對，G在規(guī)定工期T0內完工的概率有aij—工序（i,j）的最樂觀時間bij—工序（i,j）的最悲觀時間mij—工序（i,j）的最可能時間大型工程任務總工期的概率特性3/3/202339證：大型工程的工序數n>>1，且各工序對任務總工期的影響均勻地微小，且相互獨立，故由中心極限定理知：有3/3/202340例8：在例7中取工期T0分別為15，17，18，20周，求該計劃網絡按期T0內完工的概率欲使按期完工的概率達到95%或99%，試確定相應的工程任務總工期T。解：由命題4結論知對有現取T0=15，則有此中μCP=15，σCP=1.025，已由例7中求得。類似地有3/3/202341T015171820P(T≤T0)0.50.9740.99821解到3/3/202342系5：F(x)1μCPx3/3/202343系63/3/202344最關鍵路線與計劃難易系數定義4：若在G中有關鍵路線CPi，i=1~k，此中各關鍵路線有對應路長的期望與方差，，i=1,2…k，（此中顯然有），若有，則稱為G的最關鍵路線（即方差最大的關鍵路線稱為最關鍵路線）有系6知，若表執(zhí)行最關鍵路線的對應工期，則有，j=1~k，即對任何給定工期T0，執(zhí)行最關鍵路線時要在T0內完成的可能性最小，而考慮到只有該（最關鍵路線）上所有工序全部完成后工程方能完工，因此在G設計時應對上的工序予以特別關注。3/3/2023453/3/202346-6-116Δ2Δ3Δ43/3/2023473/3/202348定義5：設T為G的工期（隨機變量），CP為G的關鍵路線，μCP與為CP路長的期望與方差，則稱為執(zhí)行給定工期T0的計劃難易系數。例9對于例7的計劃網絡G，求解給定工期T0分別取13,15,17,18,20（周）時的計劃難易系數δ0。解：T01315171820δ0-3.9003.905.859.75太保守，有潛力可挖完成可能性很大完成可能性很大完成可能性較大完成可能性小3/3/202349網絡計劃的優(yōu)化前述的網絡計劃僅給出了初等的計劃模型，該模型一般是不成熟的，它可能在工期（時間）、資源、或費用上存在種種的問題與矛盾或缺陷，因此需要作進一步的統籌處理，這就是網絡計劃優(yōu)化的主要目的，也是整個統籌法研究的精華與主要內容。初步的計劃網絡往往存在著下述矛盾或問題：時間上—計算的總工期有可能超過用戶要求期限；或部分工序的時間潛力來得到充分發(fā)揮。（浪費時間）資源（有限）上—有的工序由于資源供應過多而浪費，而另一些工序則出現資源的供不應求現象。費用上—為趕工期而使用的工序增買設備、材料或增發(fā)獎金等，但事實上這樣的措施卻可能不是節(jié)約的，而仍然有潛力可挖。優(yōu)化目的是調整與改善原始計劃，以求得一個時間進度快，資源消耗少，成本低的最優(yōu)計劃方案。3/3/202350網絡優(yōu)化模型的類型單目標優(yōu)化模型，通常有：時間優(yōu)化資源（設備、材料、人力等）優(yōu)化費用優(yōu)化多目標優(yōu)化模型時間—資源優(yōu)化模型時間—費用優(yōu)化模型時間—資源—費用優(yōu)化模型3/3/202351炒菜8切菜12淘米5時間優(yōu)化的一般原理向關鍵路線上要時間強制壓縮關鍵工序工時（技術革新）將串聯作業(yè)調整為平行作業(yè)，如例10，例11。1234淘米5燒水10洗菜55678蒸飯15炒菜8吃飯25切菜121234燒水10洗菜567蒸飯15吃飯25G1：G2：T1=80分T2=55分例103/3/202352挖地基3012澆柏油534鋪石子12澆柏油鋪石子挖地基例11G3G4T3=60天T4=42天6664441010103/3/202353將富裕線路（非關鍵線路）上的資源調整到關鍵線路上來。以推遲非關鍵工序的開始時間來換取工期的節(jié)省。以推遲非關鍵工序的延續(xù)時間來換取工期的節(jié)省。同時推遲非關鍵工序的開始時間和延續(xù)時間。從計劃G外增撥資源增撥運輸車輛，工人由二班變?yōu)槿嗟确绞健砜s短工期。時間優(yōu)化的一般原理3/3/202354優(yōu)化工序間的邏輯結構變化G中各工序的邏輯順序關系直接建立G的優(yōu)化結構模型通過線性規(guī)劃等的建立與求解時間優(yōu)化的一般原理124356a8M6c8d6N10b4124356a8M6c8d6N10b4124356a8M6c8d6N10b416MN……Ta=30天16NM……Tb=28天16M,N并行……Tc=22天(a)(b)(c)例123/3/202355時間—資源優(yōu)化合理利用現有資源，以最大限度的縮短工期，這就是網絡計劃的時間—資源優(yōu)化的目的。設T(G)表網絡計劃G對應的工期A(G)表網絡G所消耗的資源則時間—資源優(yōu)化模型為如下雙目標數學規(guī)則3/3/202356時間—資源優(yōu)化時間—資源優(yōu)化準則：關鍵工序所需資源優(yōu)先安排“削峰填谷”原則：利用非關鍵工序的時差推遲某些非關鍵工序的開始時間，以降低某些資源需求高峰時段的資源需求量，同時提高某些資源需求低谷時段的資源需求量，在不影響網絡工期的前提下實現工期內各時段的資源均衡使用。特殊資源特殊利用，工序資源調配以公共資源為主。3/3/202357G時間資源優(yōu)化程序框圖輸入工序明細表，資源需求表計算網絡時間參數，確定關鍵路線CP利用橫道圖及逐日（或月、年）資源需求量A(t)，繪制t—A(t)曲線，并作系統分析搜索資源需求峰值Gp及其對應時段（ta,tb），設置控制水平G0，作ts<==tb計算高峰期間（ta,tb）內開工的非關鍵工序的有效機動時間Th(i,j)及時差Ta(i,j)=LS(i,j)–ts=TL(j)–t(i,j)-ts按照削峰填谷原則，對高峰期（ta,tb）內開工的各非關鍵工序，進行排隊，并從中選出有效機動時間Tn(i,j)大且資源強度V(i,j)小的對應工序(i,j)將上述工序(i,j)的最早開工時間推遲到tb，即ES(i,j)<==ts重新累計逐日（或月、年）資源需求量A(t)資源高峰是否減少調整提前量tb

資源均衡滿意結果輸出ENDts為非關鍵工序推遲后的最早開始時間3/3/202358時間—資源優(yōu)化例13在例6的工序明細表中增加各工序的資源需求如下表，此中工序a,b,c,e,j由于各自的特殊性，需由相關的生產設計人員，鑄工、鍛工、木工來完成。故在編制計劃網絡時只能給予充分保障；而其余的d,f,g,h,i五道工序則具有通用性，此中每一工序均可由任一機加工人來完成?，F設該公司現有機加工工人65人，試求該工程的時間—資源優(yōu)化方案，故可作資源調配以實現各時段的均衡使用。3/3/202359工序代號資源需求（人/天）所需時間t(i,j)最早開始時間ES(i,j)最遲開始時間ES(i,j)工序時差R(i,j)=LS-ES是否關鍵工序a--60000√b--45609030×c--106010747×d582060600√e--40608020×f22187011747×g423080800√h391510012020×i26251101100√j--351351350√3/3/202360(i,j)tatb()LSEFESLF資源高峰Th(i,j)=LS(i,j)–ts=LS(i,j)–tb>0即LS(i,j)>tb，說明工序(i,j)有后移到tb后的可能R(i,j)=LS–ES(i,j)Th(i,j)=LS–tb為對后移到tb后的有效機動時間3/3/202361e[60,100]40[80,120]g(42人)[80,110]30[80，110]i(26人)[110,135]25[110,135]c[60,70]10a[0,60]60[0，60]f(22人)[70,88]18[117,135]j[135,170]35[135,170]d(58人)[60,80]20[60,80]1857643b[60,105]45[90,135]h(39人)[100,115]15[120,135]06070801001101351702G圖3/3/202362解根據工序明細表及資源需求表計算G的網絡參數，并確定關鍵路線CP及關鍵工序集為：{a,d,g,i,j}，根據向非關鍵路線上要資源的原則，故應考慮非關鍵工序b,c,e,f,h的資源調整問題，但此中由于工序b,c,e的特殊性無法用其它資源替代故不予考慮其資源調整。此外又由于公司所擁有的共用資源（機加工工人）共給僅為65人，而關鍵工序d,g,i之一。若與其它工序并行工作時還可能會出現資源超負荷問題，綜合上述考慮，以下來討論工序{d,f,g,h,i}的資源調整與優(yōu)化問題。根據工序d,f,g,h,i的最早開始時間ES和最早結束時間LS畫出橫道圖（a）及相應的資源負荷（b），其中A(t)表t日的資源需求總累計量（t日這一天的各開工工序所需總資源量)，橫道圖中的時間起點與終點均用ES與EF）3/3/202363d(58)f(22)g(42)h(39)6070809010011012013014060708090100110120130140i(26)201830152520406080關鍵工序非關鍵工序非關鍵工序資源需求工序長度ttdfgih工序65808164426526橫道圖（a）資源負荷圖（b）58G03/3/20236464d(58)f(22)g(42)h(39)6070809010011012013014060708090100110120130140i(26)201830152520406080ttdfgih工序6558426526橫道圖（a）資源負荷圖（b）G03/3/202365解：對資源負荷圖(b)系統分析可知：G0=65(公司供給量)，Δ=(ta,tb)，在Δ1=(70,80)時段工程實際需求80人>65人，在Δ2=(70,80)時段工程實際需求81人>65人，根據“削峰填谷”原則應將峰Δ1與Δ2中的非關鍵工序后移以填谷，注意到在二個峰期中Δ1中d為關鍵工序，f為非關鍵工序。Δ2中g為關鍵工序，h為非關鍵工序。故將非關鍵工序f與h后移以填谷，從而可獲得橫道圖(c)及資源負荷圖(d),此中f與h的后移時段多少應視資源負荷的均衡程度為好。3/3/202366工序高峰期后移計算（見程序框圖）工序高峰期（ta,tb）A(t)G0tsLSTh(*)=LS-ts資源V(i,j)ES(*)后移f(70,80)8065801173722ES(f)=80h(100,110)81651101201039ES(f)=1103/3/202367解由資源負荷圖(d)及橫道圖(c)獲得經調整后各工序f,h的最早開工時間ES(i,j)，最早結束時間EF(i,j)對未調整的工序之ES(i,j)與EF(i,j)仍用原網絡G圖之數據，可得如下新網絡圖。對重新計算各網絡時間參數。最終仍可得工期

當G后，由于與G有相同工期，且各時段之資源負荷均小于供應量G0且相對均衡，故END。e[60,100]40g(42人)[80,110]30i(26人)[110,135]25c[60,70]10a[0,60]60f(22人)[80,98]18j[135,170]35[135,170]d(58人)[60,80]201857643b[60,105]45h(39人)[110,125]15060808011011013517023/3/202368時間—費用優(yōu)化基本概念與符號（前述模型為后移工序的ES，以下模型為縮短工序長度t(i,j)）直接費用—為加快工程進度需對關鍵工序新增人力，設備和工作班次，從而需新增一筆投入費用（作為獎金或設備購置費），此筆費用稱之為直接費用。間接費用—管理人員的工資，辦公費用（出差費、用車費、復印費等）統稱為間接費用。通常當工序作業(yè)時間愈短，直接費用愈多，間接費用愈少。3/3/2023693/3/202370優(yōu)化模型Ⅰ目標：在給定工期T的約束下，求計劃網絡G各工序完成時間，以使因縮短工期而增加的直接費用達最小。3/3/202371優(yōu)化模型Ⅰ正常（最慢）實際最快（最大）工序完成時間TijTij–yij工序提前量0yij3/3/202372優(yōu)化模型Ⅰ說明：優(yōu)化模型Ⅰ僅考慮直接費用，未考慮間接費用，后述優(yōu)化模型Ⅱ，則同時考慮直接費用與間接費用的綜合效果。上述LP模型之決策變量為yij，亦即僅考慮工序(i,j)的提前，而未考慮工序(i,j)是否關鍵，因此對上述優(yōu)化模型求解后有可能改變關鍵路線，從而使實際總工期并未縮短，此時應重新建立優(yōu)化模型求解。模型中的xj為中間變量（yi決定）由LP求得yij有（工期提前量），但不一定有（詳見下例14(2)）3/3/202373例14：對例6的計劃網絡補充如下有關信息，以研究工期Ｔ的提前性以及相應工序的提前量。若該工程按G需170天完成，現需要提前到150天完成，試求相應各工序的提前量。若該工程需提前到140天完工，試求相應各工序的提前量及應增加的費用投入。3/3/202374工序正常情況下（天）采取措施后（天）（元/天）（天）提前量yij提前量的上限正常完工時間Tij(t(i,j))正常下直接費用Cij最快完工時間相應直接費用a(1,2)60100006010000--y120b(2,7)454500306300120y2715c(2,3)10280054300300y235d(2,4)2070001011000400y2410e(2,5)40100003512500500y255f(3,7)183600105440230y378g(4,6)3090002012500350y4610h(5,7)153750105750400y575i(6,7)256250159150290y6710j(7,8)35120003512000--y7803/3/202375解1：由優(yōu)化模型Ⅰ思路有LP如下：3/3/202376f[70,88]18j[135,170]35i[110,135]25g[80,110]30d[60,80]2012857643a[0,60]60b[0,60]45c[60,70]10e[60,100]40h[100,115]150607080100110135170圖G（原網絡）2467860d20g30i25j35801101351701001151502015圖G1（經LP1優(yōu)化后網絡）3/3/202377原計劃（未調整）網絡見右上圖G，經上述優(yōu)化后之網絡見右上G1結論：即縮短工序g與i各10天，其余工序長度不變，為此需付出的最少直接費用為6400元，這樣即可將工期由原170天提前20天，即T=150天可完工。GG″（見上右圖G1）3/3/202378(2)將上述優(yōu)化模型的最后一個約束x8≤140，其它均不變，則構成LP2，運用軟件包計算可得f1=14900元3/3/202379f18j35i25g30d2012857643a60b45c10e40h150607080100110135170圖G（原計劃網絡）f18j35i15g20d1012857643a60b45c10e35h1006087709590105140圖G2（LP2優(yōu)化后網絡）3/3/202380由上述求解結果知只要工序e，h提前5天d，g，i工序提前10天，其它工序完工時間不變，則可使整個工程在T=140天完成，此時需至少增加投入經費1.49萬元。此時有，對于上述LP2之結果畫出網絡圖G2，對該G計算網絡時間參數，得知工程工期恰為140天，且四條路線均為關鍵路線。3/3/202381解Ⅱ：（分析法）由題設要求縮短工期20天（由170天提前到150天）完成工程。根據統籌法原理：向關鍵工序要時間，故需從關鍵工序a，d，g，i，j要時間，比較這五個關鍵工序的直接費用變動率（見下表）可知：工序i直接費用變動率最低，其次是工序g，注意到直接費用變動率表中有約束如下：iy67≤10，gy46≤10，y12≤0(a)，y78≤0(j)（i，j工序無提前余地）。取上限有y67=10，y46=10，經由G1圖計算知恰有TG1=150天，此時需增加支出最少的直接費用為f1=350×10+290×10=6400元，此結果與解1（1）相同。3/3/202382CP1關鍵工序KijCP2關鍵工序Kija--0a--0d40010e5005g35010h4005i29010j--0j--03/3/202383解Ⅱ：若工程期限要求在140天完成（提前工期30天），根據向關鍵路線CP1：adgij要時間的原理，可根據上述(1)同理，可設想將關鍵工序d，g，i分別縮短工期10天，注意到有，故這種設想是可以做到的，即取y24=y46=y67=10，此時若其它工序長度若仍不變，則有，然而據此對應的G3計算可知仍有TG3=150，即有，仍然未能達到縮短30天的要求，且此時關鍵路線亦由CP1：adgij轉變?yōu)镃P2：aehj（祥見圖G3），為此可再進一步在CP2的關鍵工序e與h再各提前5天（共10天，ey25≤5，hy57≤5），則此時可由G3轉變?yōu)镚2，由圖G2之計算可知，此時有TG2=140天，達到要求。為縮短d，g，i各10天，e，h各5天需多付出的最少直接費用為此結果亦與解Ⅰ相同。3/3/202384優(yōu)化模型Ⅰ設f直—為趕工而需增加支出的直接費用，顯然有f間—為完工而需支出的間接費用，設其與工程完工時間成正比，則有f間=α(xn-x1)從而可建立如下優(yōu)先模型Ⅱ（綜合考慮，f直與f間，求總費用最小目標下的網絡計劃趕工方案）LP3之約束是將LP1約束中去掉xn-x1≤T之工期的約束外，其它與LP1約束全部相同3/3/202385例15：在例14中除考慮f直外，還綜合考慮f間，并使工期內的間接費用支出為α=330元。試求在總費用最少的目標下，求網絡計劃的趕工方案。解：建立目標與約束如下：3/3/202386可得最優(yōu)值f=55700元=5.57萬元=290×10+330×160此為有無窮最優(yōu)解之案例，這可由如下G4圖所證實，若將xj看作為節(jié)點j的最早開始時間，則可取x3=70，x5=100，其余同左，TG4=160天，若xj看作開工時間，則取x3=105，x5=110，其余同左。3/3/202387說明：x3與x5取任何一值不影響目標函數值由約束(c)有x3≥x2+10=60+10=70，由約束(f)有x3≤x7–

18=125–18=107，故知有70≤x3≤107由約束(d)有x4≥x2+20=60+20=80，由約束(g)有x4≤x6–30=110–30=80，故知有x4=80由約束(e)有x5≥x2+40=60+40=100，由約束(h)有x5≤x7–15=125–15=110，故知有100≤x5≤110書中P260之解x3=125不滿足約束(f)，x4=107不滿足約束(g)，故有錯誤e[60,100]40[70,110]g[80,110]30[80，110]i[110,125]15[110,125]c[60,70]10[97,107]a[0,60]60[0，60]f[70,88]18[107,125]j[125,160]35[125,160]d[60,80]20[60,80]1857643b[60,105]45[80,125]h[100,115]15[110,125]06070801001101251602060107110110125160803/3/202388KHmB-wLqol1hPduba9!9Jatceg0lZtPCIOD$A8zrBMG1OsZW3ccL!7DzbXP7gnMz4HrKKJYD-s2c2!(AV4EDi(#jsAYLeQyOLGRrR5KNwdbGS$i6Ld(cqwlNo2zzT5bUMHmD4I(W)97GqdU%9NwNJDMjFYnj*EsNOMZAKnVW8wGigg1q+L891ND#$!5P5r$ZBaBghmbEj1EL4(P&XNSiyJ+VdQ5-cvz70-PrS5GDeWHLQZUj4&FL9Dbe(JANMQH2TEj7I5PVEgo103&ppD&RgLfcvT&KTLRhvEJ$yaIUu+Q%R)0IDE4K&8zePmRPs+T-KY#yt2eU3j&aO8KHgU0#4o0mldhSHCaV8bS*xr(&ErMCOtkE+97T##2!Kzi-pZtE3Xtsw$drbYXFNFC$FKFqzCSb%N+OvcOA-bJPlT76uGltnLGVK7eCymeYKDIun8iPCxeVwmu6t!DK1eVw$fW)-qHOlQehWkGGA2WSq*#Us+TLDcDtXzf2f%TFOtiuiAL1!#0N*d9rhyYsBNEMVtf)q7Bc3PZXX6e5h%REOsln8PAL50SIEbI%HnWZ+-I#dMgcSnM&svFQd-%OsnV4QEe#ph1uhdv)t2qCH+yKMI(UW5g5cLDK9!)A8%7yyLi41NwOz7pD6qfWP#H)FM*S%fA3Ri$ItMkqCN9K7iuz8ra&D7k*ruXDHoRUf$1Lc6Mdz(Kr9y(h6NDWbY3pIe#pVXu$PVPs1NJT(6QPfJ3LbaEogehG)i4k%22*3RpX5mmNLM#ZKe-z&*5dAW!s-t5WBkF*&Bui&PC0E04N(nZH3WgAkq*11HQ*TgZSg-Y+XKNvDJq2vwDV+6eSRD3%kU8jIW3#UGBP*8QWp8Mi49cGsxW!6pUd2sqW0tPK86Uetnj(cIyqU+fMIQIVAx*9UY0wujytV5zeuv-KVcAEsK&yEua-kWmDhnuVOr54EXnSLU$R6Kbt962NYfEKf0UlkAOK4PoPEKPAVmX4URNqDA8-qBM72Q47Ir9IHJux1oLhbmwoQ7z9kmthFlQtH(0W7Vi)mprb0y(XHJV1RkW6FC+U5Yl+mq2fHcSqC4bv5wM3AqkeYb2y1W%$4m(y*#cfJPFiqTj76twT1&7sintdNnywsZ##4f1#Qq-L8ckunZ3TXU&InuNn6PteXPP1PgN9yabiQzdK&dNHG$H4R802sY%zE2pvjOnXBWZLnp(%PnIGNVDYc2Ls-Dq!q3C3GI6(u0%n&yo3-h4XUjT-ND6uDrh#6$9z6FYHxrbsrAY674S*XUSKtVHk8VnY(N*A$ywi%d$t0JjBb3#F9zFY%BdXT2wN0$PQka5LpPu*1tIoznps1()PnHXg3$wYV4t%c7)0yIO*IyfS!oZf9rP#HLVSmc8$i*Olx)DzzcTCPEnj!Z&Wl70PsR0vfOkNNu0R$U4c#DuwGzylR+a2m*Wir#vGFkQ1CmBN+!N#B*ZG8wyZjtCM+Uy6aGF6hPkRQaXA&h##RDi3kn%Yo5EDlbglQYLAyYNG+OL4T-n+d(RqZgBCPe(-KmVctGyC0102yGtMWkNuttGgkBAkh%0bh*)jkyFc75Vs-kU-GkGHM6)VRvwUT1yNP6*FZgT442BorOlRNhVj9Kv*5$gT(-jT0I9zh%P6S2k2ulrEocb2*2-t+-67QMysL&htgvVwDiWyz7Fas#z1eTz8s4$I+TOC1%*!y-XT3*MzMvwRN3E-s%jPAHq3smsF7knk%Anf3fEKQtG+s&jU0W0eGs6fXVByQ#k4nJpDHqPtKad*5ikg!&nl78U7pFcS*$69&s38-vj3gBAo6#*8qt(Pilkb2lBOQqLmoBS+$QUPt)U1EiNh6-T+!RSS5zN0(cZ9&czQercgC7yOTgI0Q16hXLvdwaXj5xUCBI&)PGdHKpK0VHI&jaI!#eF+SzwpCxd)uWu-hCHP84VFVdVpJpleX$dvsXx4rba7T$hEG5UxZPMJ#KfVXug0A)UIRsMfxilqQ!gC!qKE+Evo+kKaFkfoO$g%#a!Y72i8hGkS3JJY%PeYOtdaPN7q5%XrXO)o2tvLxZC0UsHpro8rWwxF5QL%f9QreLL)6d(YFxf4JW(hjN!pH!c2w-Rzywj*%4K#8a4MPhwVp6U-3!4gWGiDLgpyHSp$QsniCnZ4l3vuKpKfCqx%2L0o%yN$!ra&yCZemELS5!tEWFIMAZx7AvJHH6mA&M3vHlddua&A#NBo9IsjNGkNF#!JvN53x2W*-$3n+jPf*8zW!5JZeaTa7pbg8Aj*1BYhsq8nAnyNle($uRRS$*!lNXnBUt4xbO59NP9&T*ZQY6JWj4#sUDPE&z9i-gWvII9y#ll9iIppTXkVrA8ptzFYI($dMZgM*RIvvFwr9vvSieXr9ajxy4(%N2Nt(4z+lcrKQs62cR-bAfSqVVn&O$P%&*12kMrjLxD9$$FnE6(SV25vlP*sq8-KljNiEyQ7iv9bb&I!Qm(LBU48VWdYggCBfuh)Iaq)yu(-Liw$#%%l%rIhNTlMwzjX!QFcmw6jdE#DIqhjvvjsV9W$iw3Set&Czu++rrTm06K1j7d#O&U%1QV-2NOWN6949GNMUlvx#m94Zi2%MtMX7Tvi*hCR5Vo8SvW53kEXgz6K3LhA&UqrW$xkV+!n$oSwtl!Yiyq#-TrmWqTCiBi2R5NK7R+qoCahuzbjpH0x8EXGX5qz+8obqtmr-htUGOEdC4S9y3MlPQjTj6D!brAR5Nsiz6k8)xq6aDDs7W%cn9oUBHkVus(pZOavWCZygJvtjWRHG*Z!1X22PTtH29Xb%bWX7VH!+31mi*56!zUfLOkYrZk5Khsu-%GRIJKe-3W7ZxG917ar)(zYP0KykgXfT#0h)9bn5NS*sEc#y2(jV6MODuwagzlD#IcCyR5drFBKU2Y+nnU5zgBINfdpxjA(c6F#f#56bCwdBuUoY2MBaLQGBS+uVF3mZh4pqN(l##5QnW3t8z5qZ%+Zkyfm5MP3diJfY7IWRp1R+AsuLzSPP6BHdjO450m6ud5Yhp(PBx)bcbAtFY&yswovRPg(Yu%1rFbMb9wCVt0OtsDi(rf6-aYbM&LIEgrSqjO$7FFbrnTv6ypx$5SfM6ZYX%OjYXy5dE2sPK5h2#Y*ehRzgRP*m9Fd+u7EQW6PuJR$u(80W3&sfnDkYh8ftnRrvv9AV#2TrYO)moGcvB-P+y(l6ZU-m7AWMe4UeqwAEHYnMtJZ%Q4LgZ)WKOiCKacwSXtjaU*5JtMMKYBEcExWIKb7$w%Dcyc8pGdR8TIUyByhtLTl!V&&H3VtrC(O4nSXFd)2!*L-lbVyb*rCxk7jngO2gWEmQySLDWgzRd5Ug2hk7dPxiKBpXsGy85EalLyw-mda&$nwCW%y6BzT6f$!&SaI#meVo4irFE7zG#$y8$$Fkxif7lT$37mIx#IpyX8s)5!U(e2+#w19QDNOFZ5hm$jX)1qA+daaFXkjbc#peJ4JgNQtyR%S*zZEH2GWzb5zI7c&waetPY(%VYm0(Q6UEcq$A(+pV6)cxGmpz-tABOf)WzN5qLVjIfjHuaktPHJOFECz#B0IVFAO*kxrW6(3W8lGrw4QosgxO*TWv7NK)BC+*vCVU#2YSxY*73azQo&nXr(uUbjQdROcN554Gimw!c5oQ)Y4tIvJ*7$4oyhqIQ+!LEKQ&0SNA3QMzwPSCzLOGEHJL#C$QW-*QNyCRW(HVGHS*uVDcc5izWwZ*p(mzR#ZhztU7v6Om*B&2X$bFpxB!7jL)qm*O9Ya9#g+HWqCDMkeifWW(-LR)6#2pE1Sp25PkOSfJ8(7XvR4i-6l9--5yvsrl5olZKPx2VLhKcwxQ8K9fztgilRR!BML8afBzp5HyxfYZnO+umJL&-UK8ph&1uAyWfzd2MgploSX5g5oT9cJjY5RGpVMQOqwRDMq$07I9Ad3-X68CI5#0n9Ou)h&U!60odDrxPSkNo!jn)1s*H7EAlbU139q2Fx0UYVzxGvG8sya5s7h!!!nB&XEA6zwnBuTdNyX)bLS&3!bJ5fWIqXOFzPx1$0Fqp$+INyQj#SomDto)#wQgP!*tfPTym421$LD)uub+SOhDGAXG&U%rM*&rfRQBm50qN1MWW(S9CYg3Zs6ZKScX3NZVOxQeLZC4cEx9XUizRfcqDwZ)p0c7whBt%MEB-krVh62%M5AHkkYWxwuoZKmFKn97H$3PxD#tjjKa02qERLsOvIT)oszmIkg4#C+V6XVyhjMtaKYFmkNyjW#dAGcuE(X3vGid8W1)yhzy3YaQbWDMKRnZDv2k%#c-KwEAs!dif2lIvNLM)FpsX9sT3mVTK8#8X)WD4A2aF3yXla+(EV(Bq-4GWManxIUgP-QKCJezRe9TrfzAxKkZC01mVM14ueBnMjh*IBJ$%pMcBu2S4j$ZGOtTuD-aPEKUTW6LHllRe+axYInx!%KqA6nHE1OVS%(L5A5A+epd-A6-&Nz#dNKjZIWPDE1ciCi#C033Ir%1eiNWIrR77IQnK(K2l630t*6p(#Y60u3Tltio*Em67CnuZ+TgKikZ2lqiA&jcgq%pgDiJB3c#o-2O4i3ba7zDAJcrAUyY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