PAGEPAGE52022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.2空間幾何體的外表積、體積真題演練集訓(xùn)理新人教A版1．[2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ]在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．假設(shè)AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，那么V的最大值是()A．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)答案：B解析：由題意可得，假設(shè)V最大，那么球與直三棱柱的局部面相切，假設(shè)與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，那么球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝eq\f(3,2)，該球的體積最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).2．[2022·安徽卷]一個(gè)四面體的三視圖如下圖，那么該四面體的外表積是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)答案：B解析：根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體如下圖，其中側(cè)面ABD⊥底面BCD，另兩個(gè)側(cè)面ABC，ACD為等邊三角形，那么有S外表積＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).應(yīng)選B.3．[2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm)，圖中粗線畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，那么切削掉局部的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為()A.eq\f(17,27) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27) D.eq\f(1,3)答案：C解析：原毛坯的體積V＝(π×32)×6＝54π，由三視圖可知該零件為兩個(gè)圓柱的組合體，其體積V′＝V1＋V2＝(π×22)×4＋(π×32)×2＝34π，故所求比值為1－eq\f(V′,V)＝eq\f(10,27).4．[2022·湖南卷]一塊石材表示的幾何體的三視圖如下圖．將該石材切削、打磨，加工成球，那么能得到的最大球的半徑等于()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長(zhǎng)分別為6,8,10的直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，其半徑為r＝eq\f(2×\f(1,2)×6×8,6＋8＋10)＝2，應(yīng)選B.課外拓展閱讀空間幾何體外表上的最值問(wèn)題所謂空間幾何體外表上的最值問(wèn)題，是指空間幾何體外表上的兩點(diǎn)之間的最小距離或某些點(diǎn)到某一個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最值問(wèn)題．[典例]如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝5，那么沿著長(zhǎng)方體外表從A到C1的最短路線長(zhǎng)為_(kāi)_______．[審題視角]將此長(zhǎng)方體沿某一條側(cè)棱剪開(kāi)，得到展開(kāi)圖，求展開(kāi)圖中AC1的平面距離即可，注意對(duì)不同情況的討論．[解析]在長(zhǎng)方體的外表上從A到C1有三種不同的展開(kāi)圖．(1)將平面ADD1A1繞著A1D1折起，得到的平面圖形如圖①所示．那么AB1＝5＋3＝8，B1C1＝4，連接AC1，在Rt△AB1C1中，AC1＝eq\r(AB\o\al(2,1)＋B1C\o\al(2,1))＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).①(2)將平面ABB1A1繞著A1B1折起，得到的平面圖形如圖②所示．那么BC1＝5＋4＝9，AB＝3，連接AC1，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\r(AB2＋BC\o\al(2,1))＝eq\r(32＋92)＝3eq\r(10).②③(3)將平面ADD1A1繞著DD1折起，得到的平面圖形如圖③所示．那么AC＝4＋3＝7，CC1＝5，連接AC1，在Rt△ACC1中，AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(72＋52)＝eq\r(74).顯然eq\r(74)<4eq\r(5)<3eq\r(10)，故沿著長(zhǎng)方體外表從A到C1的最短路線長(zhǎng)為eq\r(74).[答案]eq\r(74)反思提升將空間幾何體外表進(jìn)行展開(kāi)是化解最值問(wèn)題的主要方法，對(duì)于多面體可以把各個(gè)面按照一