【新課教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】第三章 直線與方程第3.1.2節(jié) 兩條直線平行與垂直的判定【本節(jié)教材分析】（一）三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直.2．過(guò)程與方法通過(guò)探究?jī)芍本€平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用正確知識(shí)解決新問(wèn)題的能力，以及數(shù)形結(jié)合能力.3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)對(duì)兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識(shí)，合作交流的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.（二）教學(xué)重點(diǎn)兩條直線平行和垂直的條件.（三）教學(xué)難點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生，把研究?jī)蓷l直線的平行或垂直問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓷l直線的斜率的關(guān)系問(wèn)題.（四）教學(xué)建議直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關(guān)系，它們的判定，又都是由相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系來(lái)確定的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學(xué)時(shí)采用對(duì)比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯(lián)系與區(qū)別.值得注意的是，當(dāng)兩條直線中有一條不存在斜率時(shí)，容易得到兩條直線垂直的充要條件，這也值得略加說(shuō)明.【新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)】導(dǎo)入一：嘗試指導(dǎo)與合作交流相結(jié)合，通過(guò)提出問(wèn)題，觀察實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解掌握兩條直線平行與垂直的判定方法.上一節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的傾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用傾斜角和斜率來(lái)表示直線相對(duì)于x軸的傾斜程度，并推導(dǎo)出了斜率的坐標(biāo)計(jì)算公式.現(xiàn)在，我們來(lái)研究能否通過(guò)兩條直線的斜率來(lái)判斷兩條直線的平行或垂直.導(dǎo)入二：設(shè)問(wèn)（1)平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種？(2)兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過(guò)來(lái)是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么條件？根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系,能否利用斜率來(lái)判定兩條直線平行呢?導(dǎo)入三：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的是什么知識(shí)？想一想傾斜角具備什么條件時(shí)兩條直線會(huì)平行、垂直呢?你認(rèn)為能否用斜率來(lái)判斷.這節(jié)課我們就來(lái)專門來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.【教學(xué)過(guò)程】提出問(wèn)題①平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有幾種？②兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過(guò)來(lái)是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么條件？④兩條直線的斜率相等，這兩條直線是否平行？反過(guò)來(lái)是否成立？⑤l1∥l2時(shí)，k1與k2滿足什么關(guān)系？⑥l1⊥l2時(shí)，k1與k2滿足什么關(guān)系？活動(dòng):①教師引導(dǎo)得出平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②數(shù)形結(jié)合容易得出結(jié)論.③注意到傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率,即tan90°不存在.④注意到傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如圖1所示，它們的傾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.圖1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥學(xué)生討論，采取類比方法得出兩條直線垂直的充要條件.討論結(jié)果：①平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線平行，反過(guò)來(lái)成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要條件.④兩條直線的斜率相等，這兩條直線平行，反過(guò)來(lái)成立.⑤l1∥l2k1=k2.⑥l1⊥l2k1k2=-1.【例題講解】例1已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判斷直線BA與PＱ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解:直線BA的斜率kBA==0.5,直線PQ的斜率kPQ==0.5,因?yàn)閗BA=kPQ.所以直線BA∥PQ.變式訓(xùn)練若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三點(diǎn)共線，則m的值為()A.B.C.-2D.2分析：kAB=kBC,，m=.答案：A例2已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.解：AB邊所在直線的斜率kAB=-,CD邊所在直線的斜率kCD=-,BC邊所在直線的斜率kBC=,DA邊所在直線的斜率kDA=.因?yàn)閗AB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA.因此四邊形ABCD是平行四邊形.變式訓(xùn)練直線l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它們的傾斜角及斜率依次分別為α1，α2，k1，k2.（1）a=_____________時(shí)，α1=150°；（2）a=_____________時(shí)，l2⊥x軸；（3）a=_____________時(shí)，l1∥l2；（4）a=_____________時(shí)，l1、l2重合；（5）a=_____________時(shí)，l1⊥l2.答案：（1）（2）2（3）3（4）-1（5）1.5例3已知P（－3，2），Q（3，4）及直線ax+y+3=0.若此直線分別與PQ的延長(zhǎng)線、QP的延長(zhǎng)線相交，試分別求出a的取值范圍.（圖2）圖2解：直線l：ax+y+3=0是過(guò)定點(diǎn)A（0，-3）的直線系，斜率為參變數(shù)-a，易知PQ、AQ、AP、l的斜率分別為：kPQ=，kAQ=，kAP=，k1=-a.若l與PQ延長(zhǎng)線相交，由圖,可知kPQ＜k1＜kAQ，解得-＜a＜-；若l與PQ相交，則k1＞kAQ或k1＜kAP，解得a＜-或a＞；若l與QP的延長(zhǎng)線相交，則kPQ＞k1＞kAP，解得-＜a＜.變式練習(xí)已知四邊形ABCD，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－1，－2)，B(2,1)，C(3,3)，D(0,0)．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．證明：在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出四邊形ABCD，由斜率公式得kAD＝eq\f(0－(－2),0－(－1))＝2，kBC＝eq\f(3－1,3－2)＝2，kAB＝eq\f(1－(－2),2－(－1))＝1，kCD＝eq\f(0－3,0－3)＝1，kAD＝kBC，kAB＝kCD.且AD與BC，AB與CD不共線，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD為平行四邊形．例4已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－2,3)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．思路分析：由題目可獲取以下主要信息：①直線l1與l2都是由兩點(diǎn)確定的直線；②點(diǎn)的坐標(biāo)中含參數(shù)a；③l1與l2垂直．解答本題可由兩條直線垂直的條件列方程求解．解：由題意知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在，(1)當(dāng)l1的斜率不存在時(shí)，即3＝a－2，a＝5時(shí)，k2＝0，此時(shí)l1⊥l2滿足題意．(2)當(dāng)l1的斜率k1存在時(shí)，a≠5，由斜率公式k1＝eq\f(3－a,a－2－3)＝eq\f(3－a,a－5)，k2＝eq\f(a－2－3,－1－2)＝eq\f(a－5,－3).∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即eq\f(3－a,a－5)×(eq\f(a－5,－3))＝－1.解得a＝0.綜上，a的值為0或5.溫馨提示：(1)兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系：l1⊥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1·k2＝－1,或一條直線斜率為零，另一條斜率不存在.))(2)用斜率公式時(shí)要一看，二用，三求值．一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步；二用，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式；三求值，就是計(jì)算斜率的值．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)討論．變式練習(xí)已知點(diǎn)A(2,3)、B(－1,1)，在y軸上求一點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，且∠A為直角．解：由題意設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，y0)，由斜率公式得kAB＝eq\f(3－1,2－(－1))＝eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(y0－3,0－2)＝－eq\f(y0－3,2).∠A為直角即AC⊥AB，∴kAB·kAC＝－1，eq\f(2,3)×(－eq\f(y0－3,2))＝－1，解得y0＝6，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6)例5已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?．思路分析：由直角梯形的知識(shí)，若四邊形ABCD為直角梯形，則必有一邊垂直于與它相鄰的兩邊，且這一邊與它相對(duì)的邊不平行．因此可設(shè)出點(diǎn)D(x、y)，將各邊的斜率表示出來(lái)之后，建立斜率之間的關(guān)系即可．解：設(shè)所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，如圖．由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB與BC不垂直，故AB，BC都不可作為直角梯形的直角邊．(1)若CD是直角梯形的直角邊，則BC⊥CD，AD⊥CD.∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，從而有x＝3.又kAD＝kBC，∴eq\f(y－3,x)＝0，即y＝3.此時(shí)AB與CD不平行．故所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,3)．(2)若AD是直角梯形的直角邊，則AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝eq\f(y－3,x)，kCD＝eq\f(y,x－3)，又由于AD⊥AB，∴eq\f(y－3,x)·3＝－1，①又AB∥CD，∴eq\f(y,x－3)＝3.②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,5)，,y＝\f(9,5).))此時(shí)AD與BC不平行．綜上可知，使四邊形ABCD為直角梯形的點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為(3,3)和(eq\f(18,5)，eq\f(9,5))．溫馨提示：(1)把哪條邊作為直角梯形的直角邊是分類的標(biāo)準(zhǔn)，解決此題時(shí)注意不要丟情況．(2)在遇到兩條直線的平行或垂直的問(wèn)題時(shí)，一定要注意直線的斜率不存在時(shí)的情形，如本例中的CD作為直角邊時(shí)，其斜率便不存在．變式練習(xí)已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點(diǎn)，若順次連接A、B、C、D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀．解：A、B、C、D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如右圖，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－(－4))＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－(－4))＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，∴AB∥CD，由kAD≠kBC.∴AD與BC不平行．又∵kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四邊形ABCD為直角梯形．【課堂小結(jié)】通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：1.掌握兩條直線平行的充要條件，并會(huì)判斷兩條直線是否平行.2.掌握兩條直線垂直的充要條件，并會(huì)判斷兩條直線是否垂直.3.注意解析幾何思想方法的滲透，同時(shí)注意思考要嚴(yán)密，表述要規(guī)范，培養(yǎng)學(xué)生探索、概括能力.4.認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.作業(yè)習(xí)題3.1A組4、5.當(dāng)堂檢測(cè)1.有如下幾種說(shuō)法：①若直線EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3都有斜率且斜率相等，則EMBEDEquation.3//EMBEDEquation.3；②若直線EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，則他們的斜率之積為-1；③兩條直線的傾斜角的正弦值相等，則兩直線平行。以上三種說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、02、順次連接A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，1）四點(diǎn)所組成的圖形是（）A、平行四邊形B、直角梯形C等腰梯形D以上都不對(duì)3、若過(guò)點(diǎn)P（1，4）和Q（a，2a+2）的直線與直線EMBEDEquation.3平行，則a的值是（）A、1B、-1CEMBEDEquation.3DEMBED