PAGEPAGE1專題28豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1．“拱橋”模型特點(diǎn)：下有支撐，上無(wú)約束，最高點(diǎn)速度有最大值vm＝eq\r(gR).2.“繩—球”模型特點(diǎn)：下無(wú)支撐，上有約束，最高點(diǎn)速度有最小值vmin＝eq\r(gR).3.“桿—球”模型特點(diǎn)：下有支撐，上有約束．最高點(diǎn)速度可以為0，但速度為eq\r(gR)是對(duì)桿有壓力還是拉力的分界點(diǎn).4.通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，且由動(dòng)能定理聯(lián)系兩點(diǎn)的速度．1.(2020·河南鄭州市中原聯(lián)盟3月聯(lián)考)如圖1所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿，一端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，現(xiàn)讓桿繞轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，某時(shí)刻桿對(duì)球的作用力恰好與桿垂直，則此時(shí)桿與水平面的夾角θ滿足()圖1A．sinθ＝eq\f(ω2L,g) B．tanθ＝eq\f(ω2L,g)C．sinθ＝eq\f(g,ω2L) D．tanθ＝eq\f(g,ω2L)答案A解析小球所受重力和桿的作用力的合力提供向心力，受力如圖所示，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ＝mLω2，解得：sinθ＝eq\f(ω2L,g)，A正確，C錯(cuò)誤；求出來(lái)是sinθ的表達(dá)式，而并非tanθ的表達(dá)式，B、D錯(cuò)誤．2.(多選)如圖2所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的、質(zhì)量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，下列有關(guān)說(shuō)法中正確的是()圖2A．小球能夠通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0B．小球能夠通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為eq\r(gR)C．如果小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為2eq\r(gR)，則此時(shí)小球?qū)艿赖耐獗谟凶饔昧．如果小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為eq\r(gR)，則小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)與管道間無(wú)相互作用力答案ACD解析因?yàn)楣艿纼?nèi)壁可以提供支持力，故最高點(diǎn)的最小速度可以為零．若在最高點(diǎn)v>0且較小時(shí)，球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由球的重力與管道內(nèi)壁對(duì)球向上的彈力FN1的合力提供，即mg－FN1＝meq\f(v2,R)，當(dāng)FN1＝0時(shí)，v＝eq\r(gR)，此時(shí)只有重力提供向心力．由此可知，速度在0<v<eq\r(gR)時(shí)，球的向心力由重力和管道內(nèi)壁對(duì)球向上的彈力提供；當(dāng)v>eq\r(gR)時(shí)，球的向心力由重力和管道外壁對(duì)球向下的彈力FN2提供，綜合所述，選項(xiàng)A、C、D正確，B錯(cuò)誤．3．(2020·云南昆明市高三“三診一?！睖y(cè)試)如圖3所示，豎直平面內(nèi)的光滑固定軌道由一個(gè)半徑為R的eq\f(1,4)圓弧AB和另一個(gè)eq\f(1,2)圓弧BC組成，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿軌道下滑，恰好能通過(guò)C點(diǎn)，則BC弧的半徑為()圖3A.eq\f(2,5)RB.eq\f(3,5)RC.eq\f(1,3)RD.eq\f(2,3)R答案A解析設(shè)BC弧的半徑為r.小球恰好能通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，僅由重力提供向心力，則有：mg＝meq\f(v\o\al(,C2),r)小球從A到C的過(guò)程，以C點(diǎn)所在水平面為參考平面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg(R－2r)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(,C2)聯(lián)立解得：r＝eq\f(2,5)R，故選A.4.(多選)(2020·安徽皖江聯(lián)盟名校聯(lián)考)如圖4所示，輕質(zhì)細(xì)桿一端連接有質(zhì)量為m的小球，輕桿可繞另一端在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的長(zhǎng)度為l，小球可以當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直平面的最高點(diǎn)時(shí)，小球的速度為v＝eq\r(\f(gl,2))，忽略小球受到的阻力，g為重力加速度．下列說(shuō)法中正確的是()圖4A．小球在最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)p桿的彈力方向向上B．小球在最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力大小為eq\f(1,2)mgC．小球轉(zhuǎn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球的彈力大小為eq\f(11,2)mgD．若小球在最高點(diǎn)受到桿的彈力大小為eq\f(1,3)mg，小球在最高點(diǎn)的速度一定為eq\r(\f(2,3)gl)答案BC解析對(duì)位于最高點(diǎn)的小球受力分析，設(shè)輕桿對(duì)小球的彈力F方向向下，由牛頓第二定律有mg＋F＝meq\f(v2,l)，代入速度值，解得F＝－eq\f(1,2)mg，負(fù)號(hào)表示方向向上，輕桿對(duì)小球的彈力方向向上，則小球?qū)p桿的彈力方向向下，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確．設(shè)輕桿在最低點(diǎn)對(duì)小球的彈力為F1，根據(jù)動(dòng)能定理可得eq\f(1,2)mveq\o\al(,12)－eq\f(1,2)mv2＝2mgl，解得小球在最低點(diǎn)的速度v1＝eq\r(\f(9gl,2))，由牛頓第二定律有F1－mg＝meq\f(v\o\al(,12),l)，則F1＝eq\f(11,2)mg，選項(xiàng)C正確．若小球在最高點(diǎn)受到桿的彈力大小為eq\f(1,3)mg，小球受到桿的力可能是拉力也可能是支持力，mg±eq\f(1,3)mg＝meq\f(v2,l)，v＝eq\r(\f(2,3)gl)或v＝2eq\r(\f(1,3)gl)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．5.(多選)(2019·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)“水流星”是一種常見(jiàn)的雜技項(xiàng)目，該運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為細(xì)繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型，如圖5所示，已知繩長(zhǎng)為l，重力加速度為g，則()圖5A．小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí)，處于失重狀態(tài)B．小球初速度v0越大，則在P、Q兩點(diǎn)繩對(duì)小球的拉力差越大C．當(dāng)v0>eq\r(6gl)時(shí)，小球一定能通過(guò)最高點(diǎn)PD．當(dāng)v0<eq\r(gl)時(shí)，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)答案CD解析小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí)，由于加速度向上，故小球處于超重狀態(tài)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球在最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)繩的拉力為FT1，有FT1－mg＝meq\f(v\o\al(,02),l)，在最高點(diǎn)時(shí)，設(shè)繩的拉力為FT2，小球的速度為v，有FT2＋mg＝meq\f(v2,l)，其中eq\f(1,2)mveq\o\al(,02)－mg·2l＝eq\f(1,2)mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q兩點(diǎn)繩對(duì)小球的拉力差與初速度v0無(wú)關(guān)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)v0＝eq\r(6gl)時(shí)，得v＝eq\r(2gl)，因?yàn)樾∏蚰芙?jīng)過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為eq\r(gl)，而eq\r(2gl)>eq\r(gl)，則當(dāng)v0>eq\r(6gl)時(shí)小球一定能通過(guò)最高點(diǎn)P，選項(xiàng)C正確；當(dāng)v0＝eq\r(gl)時(shí)，由eq\f(1,2)mveq\o\al(,02)＝mgh得小球能上升的高度h＝eq\f(1,2)l，即小球不能越過(guò)與懸點(diǎn)等高的位置，故當(dāng)v0<eq\r(gl)時(shí)，小球?qū)⒃谧畹忘c(diǎn)附近來(lái)回?cái)[動(dòng)，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)，選項(xiàng)D正確．6.(多選)(2020·安徽十校聯(lián)盟檢測(cè))如圖6所示，半圓形圓弧軌道固定在豎直面內(nèi)，直徑AD水平，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從A點(diǎn)以一定的初速度沿圓弧軌道向下運(yùn)動(dòng)，物塊恰好勻速率沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)物塊與圓心O的連線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，則()圖6A．物塊在B點(diǎn)受到軌道支持力的大小等于mgcosθB．物塊在B點(diǎn)受到軌道摩擦力的大小等于mgsinθC．物塊在B點(diǎn)時(shí)與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)等于tanθD．物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，受到軌道的作用力不斷增大答案BD解析對(duì)物塊受力分析如圖所示：物塊在B點(diǎn)時(shí)，有：FN－mgcosθ＝meq\f(v2,R)，因此物塊在B點(diǎn)受到軌道的支持力大于mgcosθ，故A錯(cuò)誤；在B點(diǎn)沿切向方向加速度為零，即物塊在B點(diǎn)受到軌道摩擦力的大小等于mgsinθ，故B正確；在B點(diǎn)，μFN＝mgsinθ，則μ＝eq\f(mgsinθ,FN)<eq\f(mgsinθ,mgcosθ)＝tanθ，故C錯(cuò)誤；由于軌道對(duì)物塊的作用力F和重力mg的合力大小恒定，方向始終指向圓心，根據(jù)力的合成及動(dòng)態(tài)分析可知，隨著物塊向下運(yùn)動(dòng)，軌道對(duì)物塊的作用力逐漸增大，故D正確．7．(多選)(2020·甘肅蘭州一中模擬)如圖7甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)(不計(jì)一切阻力)，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小球的拉力為FT，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其FT－v2圖象如圖乙所示，則()圖7A．輕質(zhì)繩長(zhǎng)為eq\f(mb,a)B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹閑q\f(a,m)C．當(dāng)v2＝c時(shí)，輕質(zhì)繩最高點(diǎn)拉力大小為eq\f(ac,b)＋aD．若v2＝b，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩的拉力為6a答案ABD解析在最高點(diǎn)，F(xiàn)T＋mg＝meq\f(v2,L)，解得：FT＝meq\f(v2,L)－mg，可知縱截距的絕對(duì)值為a＝mg，g＝eq\f(a,m)，圖線的斜率k＝eq\f(a,b)＝eq\f(m,L)，解得繩的長(zhǎng)度L＝eq\f(mb,a)，故A、B