/06/6/1．本章主要內(nèi)容有集合的初步知識；基于集合和對應(yīng)觀點的函數(shù)概念，函數(shù)的表示和基本性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．集合是最基本的數(shù)學(xué)概念，元素和集合的關(guān)系(屬于或不屬于)，集合的關(guān)系及運算(包含、相等、交、并、補)，這些都是今后經(jīng)常要使用的數(shù)學(xué)概念，要能熟練地運用集合語言描述數(shù)學(xué)事實．3．集合的表示方法有列舉法、描述法和圖象法，其中圖象法又有維恩圖表示和對特定數(shù)集(區(qū)間)在數(shù)軸上表示的方法．4．以x為自變量的函數(shù)y＝f(x)就是從它的定義域到值域的一個映射．設(shè)b＝f(a)，那么(a，b)就是函數(shù)圖象上的一個點，所有這樣的點組成的集合就是函數(shù)y＝f(x)的圖象．顯然，任作垂直于x軸的直線，它和任一函數(shù)的圖象最多只能有一個公共點．5．函數(shù)的定義域有兩種確定方式，即由解析式確定或由函數(shù)對應(yīng)法則的實際含義所確定．一般說，如給出了一個解析式而未說明它的實際含義，那么這一函數(shù)的定義域就是使解析式有意義的自變量的取值范圍．6．函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的概念、直觀形象和基本判別方法；函數(shù)的最大(小)值和最大(小)值點的概念和直觀形象；奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念、直觀形象和基本判別方法．7．二次函數(shù)的圖象特征、增減性、對稱性、頂點和在一個區(qū)間的最大、最小值．8．分段函數(shù)概念的引入是因為解決實際問題的需要，與分段函數(shù)有關(guān)的問題，必然要分段討論，這里再次提醒，分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是兩個或更多個函數(shù).題型一集合的運算集合的運算是指集合間的交、并、補這三種常見的運算，在運算過程中往往由于運算能力差或考慮不全面而出現(xiàn)錯誤，不等式解集之間的包含關(guān)系通常用數(shù)軸法，而用列舉法表示的集合運算常用Venn圖法，運算時特別注意對?的討論，不要遺漏．例1已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范圍．(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？解(1)A＝{x|0≤x≤2}，∴?RA＝{x|x<0，或x>2}．∵(?RA)∪B＝R.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2，))∴－1≤a≤0，即a的取值范圍是[－1,0]．(2)由(1)知(?RA)∪B＝R時，－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，∴A?B，這與A∩B＝?矛盾．即這樣的a不存在．跟蹤演練1(1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，則(?UA)∩B＝________.(2)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，則A∩B等于()A．(－∞，2] B．[1,2]C．[－2,2] D．[－2,1]答案(1){6,8}(2)D解析(1)先計算?UA，再計算(?UA)∩B.∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴?UA＝{6,8}．∴(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．(2)先化簡集合A，再借助數(shù)軸進行集合的交集運算．A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．題型二函數(shù)的概念與性質(zhì)研究函數(shù)往往從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性入手，分析函數(shù)的圖象及其變化趨勢，從近幾年的高考形式來看，對函數(shù)性質(zhì)的考查體現(xiàn)了“小”、“巧”、“活”的特征，做題時應(yīng)注重上述性質(zhì)知識間的融合．例2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(mx2＋2,3x＋n)是奇函數(shù)，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求實數(shù)m和n的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最值．解(1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq\f(mx2＋2,3x＋n)＝eq\f(mx2＋2,－3x－n).比較得n＝－n，n＝0.又f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(4m＋2,6)＝eq\f(5,3)，解得m＝2.因此，實數(shù)m和n的值分別是2和0.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)＝eq\f(2x,3)＋eq\f(2,3x).任取x∈[－2，－1]，且h＜0，則f(x＋h)－f(x)＝eq\f(2,3)(x＋h＋eq\f(1,x＋h)－x－eq\f(1,x))＝eq\f(2h,3)·eq\f(x?x＋h?－1,x?x＋h?).∵h＜0，x∈[－2，－1]，∴x(x＋h)＞1，即x(x＋h)－1＞0，∴f(x＋h)－f(x)＜0，∴函數(shù)f(x)在[－2，－1]上為增函數(shù)，因此f(x)max＝f(－1)＝－eq\f(4,3)，f(x)min＝f(－2)＝－eq\f(5,3).跟蹤演練2(1)函數(shù)y＝eq\f(2,1－\r(1－x))的定義域為()A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]C．(－∞，0)∪(0,1) D．[1，＋∞)(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝________.答案(1)B(2)－eq\f(x?x＋1?,2)解析(1)要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))即x≤1且x≠0.(2)設(shè)－1≤x≤0，則0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又因為f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝eq\f(f?x＋1?,2)＝－eq\f(x?x＋1?,2).題型三函數(shù)圖象及其應(yīng)用函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，它具有明顯的直觀性，通過函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)重要的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等．反之，掌握好函數(shù)的性質(zhì)，有助于圖象正確的畫出．函數(shù)圖象廣泛應(yīng)用于解題過程中，利用數(shù)形結(jié)合解題具有直觀、明了、易懂的優(yōu)點．例3對于函數(shù)f(x)＝x2－2|x|.(1)判斷其奇偶性，并指出圖象的對稱性；(2)畫此函數(shù)的圖象，并指出單調(diào)區(qū)間和最小值．解(1)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.則f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．圖象關(guān)于y軸對稱．(2)f(x)＝x2－2|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＝?x－1?2－1，x≥0，,x2＋2x＝?x＋1?2－1，x＜0.))畫出圖象如圖所示，根據(jù)圖象知，函數(shù)f(x)的最小值是－1.單調(diào)增區(qū)間是[－1,0]，[1，＋∞)；減區(qū)間是(－∞，－1]，[0,1]．跟蹤演練3對于任意x∈R，函數(shù)f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的較大者，則f(x)的最小值是________．答案2解析首先應(yīng)理解題意，“函數(shù)f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的較大者”是指對某個區(qū)間而言，函數(shù)f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中最大的一個．如圖，分別畫出三個函數(shù)的圖象，得到三個交點A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．從圖象觀察可得函數(shù)f(x)的表達式：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x＋3，0<x≤1，,\f(3,2)x＋\f(1,2)，1<x≤5，,x2－4x＋3，x>5.))f(x)的圖象是圖中的實線部分，圖象的最低點是點B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.題型四分類討論思想分類討論思想的實質(zhì)是：把整體問題化為部分來解決，化成部分后，從而增加題設(shè)條件，在解決含有字母參數(shù)的問題時，常用到分類討論思想，分類討論要弄清對哪個字母進行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么，分類時要做到不重不漏．本章中涉及到分類討論的知識點為：集合運算中對?的討論，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題、函數(shù)性質(zhì)中求參數(shù)的取值范圍問題等．例4設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，對稱軸為x＝1.當(dāng)t＋1<1，即t<0時，函數(shù)圖象如圖(1)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，函數(shù)圖象如圖(2)，最小值為f(1)＝1；當(dāng)t>1時，函數(shù)圖象如圖(3)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2.綜上所述f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋1，t＜0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t＞1.))跟蹤演練4已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求實數(shù)a組成的集合C.解∵A∪B＝A，∴B?A.(1)當(dāng)B≠?時，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.當(dāng)x＝1時，a＝2；當(dāng)x＝2時，a＝1.(2)當(dāng)B＝?時，即當(dāng)a＝0時，B＝?，符合題意．故實數(shù)a組成的集合C＝{0,1,2}．1.函數(shù)單調(diào)性的判定方法(1)定義法．(2)直接法：運用已知的結(jié)論，直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)；還可以根據(jù)f(x)，g(x)的單調(diào)性判斷－f(x)，eq\f(1,f?x?)，f(x)＋g(x)的單調(diào)性等．(3)圖象法：根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性．2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值對于二次函數(shù)f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a>0)在區(qū)間[m，n]上的最值問題，有以下結(jié)論：(1)若h∈[m，n]，則ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；(